Creencias de los estudiantes de matemáticas : la influencia del contexto de clase

309 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(3), 309–324 CREENCIAS DE LOS ESTUDIANTES DE MATEMÁTICAS. LA INFLUENCIA DEL CONTEXTO DE CLASE Gómez-Chacón, Inés María1, Op ’t Eynde, Peter2 y De Corte, Erik2 1 Facultad de Ciencias Matemáticas. Universidad Complutense de Madrid 2 Center for Instructional Psychology and Technology (CIP&T). University of Leuven. Belgium INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA Resumen. En este artículo se describe la estructura y la naturaleza de los sistemas de creencias de un grupo de estudiantes de secundaria obtenidas a través de un cuestionario diseñado para este fi n desde un enfoque sistémico. Se identifi can las relaciones entre creencias, género, contexto sociocultural, rendimiento y opción de estudio elegida por los estudiantes. A través de un estudio de casos se estudian las relaciones existentes entre el rol y el funcionamiento del profesor y el estilo instructivo en clase y las creencias de los estudiantes. Palabras clave. Sistemas de creencias de los estudiantes de matemáticas, cambios en las creencias, conceptualización y medidas de creencias. Belief systems of students of mathematics: Classroom context infl uences Summary. This article describes the nature and structure of systems of beliefs of a group of secondary level students, which were elicited by means of a questionnaire designed for this purpose with a distinct organising focus. The relations between beliefs, gender, socio-cultural context, achievement level, and the study area chosen by students are identifi ed. Through case studies we investigate the relations existing between the role and behaviour of the teacher, the teaching style in the classroom and the beliefs of the students. Keywords. Beliefs of mathematics students, conceptualisation and measurement of beliefs, change of beliefs. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 310 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(3) Recientes estudios internacionales de evaluación, como el informe PISA 2003, TIMSS, etc., ponen de relieve las difi cultades y la falta de destrezas de los alumnos para reconocer, formular y abordar problemas matemáticos en contextos reales. El impacto de los resultados en la comunidad internacional y en cada país está favoreciendo un debate sobre varios aspectos, como qué conlleva la competencia matemática de los estudiantes, cuáles son los conocimientos esenciales y qué ocurre con los conocimientos inertes, cómo infl uye el profesor en la práctica del aula y en el pensamiento de los alumnos en el aula, a qué son debidos los índices de ansiedad tan altos ante las matemáticas, etc. En los últimos 25 años los investigadores (De Corte, Verschaffel, y Op ‘t Eynde, 2000; Schoenfeld, 2002; De Corte, 2004) han destacado cinco categorías de aptitud que el estudiante debería adquirir para tener una buena disposición en matemáticas: conocimiento matemático, métodos heurísticos, metaconocimientos, habilidades de autorregulación y creencias positivas sobre la matemática y su aprendizaje. Estos autores señalan que gran parte de la complejidad de aprender y enseñar matemáticas se debe a la interconexión que el estudiante debe establecer entre estas aptitudes. Ahora bien, la difi cultad estriba en cómo determinar elementos operativos para favorecer esta conexión y cómo el profesor, en los procesos de enseñanza y aprendizaje, es uno de los factores determinantes para el cambio. En este artículo vamos a presentar una discusión detallada sobre una de las categorías: las creencias de los estudiantes. Para ello, en primer lugar se describen los sistemas de creencias de un grupo de estudiantes de matemáticas, en nivel de secundaria, mediante un cuestionario diseñado para ese fi n. En un segundo momento se identifi can las relaciones entre creencias, género, contexto sociocultural, rendimiento y opción de estudio elegida por los estudiantes. Y se profundizará, a través de un estudio de casos, en qué relaciones existen entre rol y el funcionamiento del profesor en clase y las creencias de los estudiantes. Interesa poner de relieve si las creencias y comportamientos de los estudiantes están en correspondencia con el enfoque y metodología planteados por el profesor en el aula. 1. ANTECEDENTES De la literatura más reciente sobre creencias, destacamos dos revisiones críticas y síntesis de investigaciones: la de Leder, Pehkonen y Töner (2002) y la de Muis (2004). En ellas se han puesto de manifi esto tres necesidades: – determinar las dimensiones constitutivas de los sistemas de creencias de los estudiantes para la constitución de un marco conceptual, – describir las relaciones entre las creencias de los estudiantes y su comportamiento en el aprendizaje, y – desarrollar estudios que profundicen en estilos instruccionales que favorecen un cambio de creencias. Como indican Muis (2004, p. 364) y Lester (2002, p. 346) urge plantear más investigaciones que examinen las relaciones entre creencias de los estudiantes y ambientes de clase. Esta autora señala que muchos de estos estudios han sido unidireccionales. Por ejemplo, investigaciones que examinan el impacto de creencias en el logro y aprendizaje de los estudiantes centrándose sólo en estrategias de aprendizaje o en procesos cognitivos o en factores motivacionales (Frank, 1988; Garofalo, 1989 y Schoenfeld, 1985a, 1992). Todas las investigaciones sobre cambios de creencias implícita o explícitamente proponen una modifi cación de las estrategias de aprendizaje. Ahora bien, cambiar un ambiente de aprendizaje supone un cambio más sustancial que afecta a la forma de comprometerse el estudiante en el aprendizaje y no sólo a las técnicas empleadas (Pintrich y Schrauben, 1992). En los estudios sobre cambios de creencias podemos encontrar algunas intuiciones y condiciones necesarias para esta modifi cación. Como primera condición señalan que el individuo debe estar insatisfecho con sus creencias. En segundo lugar, las nuevas concepciones deben ser inteligibles, es decir, la persona debe ser capaz de comprender las nuevas creencias. Tercero, las nuevas concepciones deben ser plausibles, de tal forma que los individuos se acomoden a ellas. Y por último, que éstas sean fructíferas. Los estudios realizados por Kloosterman (1996 y 2002) han puesto de manifi esto la infl uencia de las creencias en el interés y la motivación de los estudiantes. Este autor insiste en la urgencia de elaborar un marco explicativo sobre creencias teniendo en cuenta las teorías recientes sociológicas y psicológicas, como por ejemplo, la teoría de atribución y la teoría de la autoefi cacia. En el modelo que elaboró sobre creencias, motivación y logro incorporó el estudio de las creencias de los estudiantes sobre el rol del profesor como transmisor de conocimiento y como fuente de respuesta, asignándole una categoría clave. También este investigador ha señalado las limitaciones de las escalas de Likert para la elicitación de creencias en contexto. Recientemente, la aproximación sociocultural al estudio de las creencias ha explicitado la fuerte interacción entre las creencias, los valores y las normas sociales que gobiernan las actividades en clase, y la importancia de tener en cuenta estos aspectos para el cambio. Distintos autores han puesto de relieve que los conocimientos y las creencias de los estudiantes acerca de las reglas que gobiernan la clase –en la que se incluyen las creencias sobre el rol y funcionamiento del profesor–, en interacción con las creencias acerca de sí mismos y acerca de la matemática, operan en la construcción e interpretación del acto emocional (Bishop, 1988; Bishop y Abreu, 1991; Cobb et al., 1989; Eisenhart, 1988; Grows y Cramer, 1989; Nunes, 1992; Gómez-Chacón, 1995, 1997, 2000, 2005; Op ’t Eynde, De Corte y Verschaffel, 2001; Cobb, P. y Yackel, E., 1998). A continuación vamos a presentar un marco en el que nos apoyaremos para el diagnóstico y análisis de las creencias. Éste trata de estudiar los sistemas de creencias y sus relaciones internas y externas. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 311 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(3) 2. MARCO TEÓRICO Y CUESTIONES DE INVESTIGACIÓN Una creencia nunca se sostiene con independencia de otras, por ello se suele hablar más de sistemas de creencias que de creencias aisladas. Una defi nición clásica es la de Rokeach (1968, p. 2): «una forma organizada psicológicamente, aunque no necesariamente lógica, de todas y cada una de las incontables creencias personales sobre la realidad física y social». No se trata, por tanto, de una suma o yuxtaposición de creencias, sino de una red organizada. Hay autores que afi rman que la noción de sistema de creencias es «una metáfora» para examinar y describir cómo se organizan las creencias de una persona (Green, 1971). Como en los sistemas de conocimientos, su potencialidad no reside tanto en su contenido cuanto en sus relaciones: el sistema de creencias de una persona se caracteriza por la forma en que cree y no tanto por lo que cree. Dos personas pueden tener las mismas creencias y distintos sistemas de creencias y, por tanto, abordarán y desarrollarán de manera diferente la actividad matemática. En los trabajos de De Corte y de Op ‘t Eynde en el 2002 y 2003 se presenta un marco unifi cador para las investigaciones en creencias de los estudiantes, que permite una comprensión mejor de estas interacciones. Estos autores señalan, como elementos constitutivos para el análisis de la naturaleza y la estructura del sistema de creencias, el contexto social, el yo (self) y el objeto. Estas dimensiones las representan tal como aparece en la fi gura 1: Las creencias de los estudiantes sobre la educación de las matemáticas están determinadas por el contexto social en el que participan, así como por sus necesidades psicológicas individuales, los deseos, las metas, etc. En otras palabras, los sistemas de creencias están constituidos por creencias sobre la educación matemática, sobre sí mismos y sobre el contexto. Los estudios realizados en estas categorías por separado muestran la utilidad del establecimiento de subcategorías. De Corte y Op ’t Eynde (2002) establecen las siguientes categorías y subcategorías: Creencias sobre la educación matemática, que incluye: 1) creencias de los estudiantes sobre las matemáticas, 2) creencias sobre el aprendizaje y la resolución de problemas matemáticos, 3) creencias sobre la enseñanza de la matemática. Creencias de los estudiantes sobre sí mismos, se refi eren a: 1) su creencia intrínseca relativa a la orientación de la meta relacionada con las matemáticas, 2) creencia extrínseca de la orientación de la meta, 3) creencia sobre el valor de la tarea, 4) creencia sobre el control, 5) creencia sobre la auto-efi cacia. Creencias de los estudiantes sobre su contexto específi co de la clase, entre las que se puede distinguir: 1) creencias sobre el papel y el funcionamiento de su profesor, 2) creencias sobre el papel y el funcionamiento de los estudiantes en su propia clase, 3) creencias sobre las normas y las prácticas sociomatemáticas en la clase. De acuerdo con este planteamiento, en nuestro estudio se defi nieron los sistemas de creencias de los estudiantes como «las concepciones implícita o explícitamente sostenidas por los estudiantes acerca de la educación matemática, acerca de sí mismos como aprendices y acerca del contexto social. Estas creencias están en estrecha interacción entre ellas y con los conocimientos previos sobre el aprendizaje de la matemática y las actividades de resolución de problemas en el aula». Como podemos constatar, estas categorías no son realmente nuevas, sino que han sido reconocidas y trabajadas por otros investigadores. Sin embargo, el establecimiento de subcategorías realizado nos permite destacar un rango mayor de matices y una mayor profundización en su naturaleza sistémica. En este sentido, esta aproximación puede ser un marco complementario para el estudio del comportamiento de los estudiantes en el aula. En el marco sistémico que adoptamos para el diagnóstico y análisis de los sistemas de creencias, éstas serán estudiadas respecto a variables externas como género, rendimiento, opción de estudios y la trayectoria que el estudiante experimenta en el contexto de clase. Las creencias sobre el contexto social de las matemáticas se refi eren a la visión de los estudiantes y a las percepciones de las normas establecidas en clase, a las percepciones sobre el rol y el funcionamiento tanto de estudiantes como de profesores en el aula. Como se constata, esta perspectiva marca cierta diferencia con la categoría aportada por Kloosterman, quien incluye las creencias acerca del rol del profesor dentro de las categorías de creencias sobre el aprendizaje. La perspectiva sociocultural indica que la coordinación de la perspectiva psicológica (por ejemplo, creencias de los estudiantes) y sociológica (por ejemplo, normas Figura 1 Representación de la estructura de los sistemas de creencias. Objeto (educación matemática) Sistemas de creencias de los estudiantes relativas a las matemáticas Contexto (Clase) Yo (self) INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 312 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(3) sociomatemáticas en el aula) puede establecer modelos para la descripción de cambios de creencias y formas de nutrir las creencias de los estudiantes. Ya hemos mencionado que el análisis de la naturaleza y estructura de los sistemas de creencias muestra que tienen una fundamentación social y que están determinados por el contexto sociohistórico. En otros artículos hemos puesto de manifi esto cómo algunas de las creencias mostradas acerca de las matemáticas provienen del método de problemas usado en la clase, la forma de evaluación, las dinámicas de grupo y las tareas, que contribuyen directamente a que el estudiante desarrolle unas determinadas creencias que pueden dar lugar a patrones de falso o de verdadero aprendizaje. En este artículo se presentan los resultados del estudio realizado con estudiantes españoles en 2004. Éste forma parte de un estudio comparativo más amplio sobre sistema de creencias en estudiantes españoles y belgas de secundaria2. Las cuestiones a las que se tratará de dar respuesta en la investigación que se presenta aquí fueron: ¿cuáles son los sistemas de creencias de los estudiantes y cómo se organizan según el modelo de De Corte y Op ‘t Eynde? ¿Hay diferencias según el género, el nivel de rendimiento, la opción elegida por los estudiantes y el colegio? ¿Cuáles son las creencias de los estudiantes sobre las creencias acerca del rol y el funcionamiento del profesor? ¿Cómo afectan el profesor y el estilo instruccional en las creencias de los estudiantes? 3. DISEÑO DE INVESTIGACIÓN 3.1. Métodos e instrumentos La investigación realizada está orientada a la mejora de la práctica educativa. Ha sido diseñada y realizada con el propósito de proporcionar información sobre la infl uencia de las creencias y poder tomar decisiones en los contextos de aula. La metodología se ha basado en la aplicación empírico analítica de una escala de Likert para el diagnóstico de las creencias, complementada con una metodología cualitativa descriptiva e interpretativa, a través del estudio de casos para la descripción de colegios, grupos clase y análisis detallados de relaciones entre creencias de los estudiantes y estilo de enseñanza del profesor. Se han utilizado distintos instrumentos: – Un cuestionario aplicado a los estudiantes sobre creencias Mathematics-Related Beliefs Questionnaire (MRBQ). Este cuestionario está estructurado según el marco descrito anteriormente. Está compuesto por 44 ítems que contemplan diferentes subescalas o multidimensiones: las creencias acerca del papel y la función del profesor, creencias sobre el signifi cado y la competencia en matemáticas, creencias sobre las matemáticas como una actividad social, creencias sobre las matemáticas como un dominio de excelencia. (Op ‘t Eynde y De Corte (2003) (Anexo 1). – Un cuestionario sobre creencias respecto a la educación matemática aplicado a los profesores elaborado por Gómez-Chacón (2000a) (cuestionario Enseñar matemáticas (Anexo 2). – Entrevistas a los profesores para indagar el rendimiento de los estudiantes y las difi cultades de aprendizaje de los estudiantes. El cuestionario aplicado a los profesores nos permitió detectar algunas de las creencias de los profesores y aspectos metodológicos desarrollados en el aula. Estos resultados, junto con los de las entrevistas, se utilizaron para triangular la información obtenida de los estudiantes y la aportada por el profesor con respecto a las dimensiones cognitivas, motivadoras y afectivas en la enseñanza de la disciplina. 3.2. Grupo de estudio El cuestionario sobre creencias hacia las matemáticas MRBQ fue aplicado a 279 estudiantes de 15 años de tercero de secundaria. Los alumnos estaban distribuidos en nueve clases de tres colegios diferentes, de características muy diversas, tanto sociales como contextuales. La elección de los colegios ha estado motivada por la diferenciación física y sociocultural de los contextos, aunque, sin embargo, participan de la misma fi losofía educativa3. En todos los colegios se favorece un proyecto educativo y metodologías de aula de calidad, considerando como centro del aprendizaje la persona del estudiante. El total de estudiantes que componían la muestra fue de 279: 149 chicas y 130 chicos. El colegio 1 está situado en un contexto de clase social alta y con alumnos pertenecientes a clase social media y media alta. Es un centro asociado a las escuelas de la UNESCO. Participaron un total de 79 alumnos (55 chicas y 28 chicos). Participaron en la investigación dos profesores: una profesora (con 20 años de experiencia docente en el centro educativo) y un profesor (con 5 años de experiencia docente en el centro educativo). El colegio 2 está ubicado en un medio sociocultural considerado como zona residencial, media alta. Participa habitualmente en proyectos nacionales, autonómicos y locales en las áreas de matemáticas, física y química. Es un centro que ha sido reconocido entre los cien mejores centros educativos de España por su nivel académico y por su proyecto educativo. Participaron un total de 96 alumnos (49 chicas y 47 chicos). Participaron en la investigación dos profesores: una profesora (con 24 años de experiencia docente en el centro educativo) y un profesor (con 16 años de experiencia docente en el centro educativo). El colegio 3 atiende a una población que se sitúa, en términos generales, en un nivel socioeconómico medio bajo. El centro está ubicado en un medio sociocultural considerado como zona obrera, medio bajo. Destaca- INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 313 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(3) mos también, como dato relevante, el número creciente de alumnos y alumnas que, por situaciones de inestabilidad familiar, desestructuración, integración de minorías y otras causas, necesitan una verdadera integración social en el centro. Tienen como prioridad mejorar la calidad de los procesos educativos a través de experiencias de innovación que favorezcan una pedagogía de la equidad y desarrolla una metodología de diversifi cación curricular sobre agrupamientos fl exibles. El centro tiene un fuerte reconocimiento social en su entorno por la preparación de su alumnado y por favorecer la equidad y la integración de distintas culturas. Participaron un total de 104 alumnos (56 chicos y 48 chicas). Participaron en la investigación cinco profesores: tres profesoras (una con 22 años de experiencia docente en el centro educativo, otra con 8 años de experiencia docente en el centro educativo y una tercera con 8 años de experiencia docente en el centro educativo) y dos profesores (uno con 5 años de experiencia docente en el centro educativo y otro con 16 años de experiencia docente en el centro educativo). Como características de los estudiantes nos fi jamos en las de género, nivel de rendimiento y elecciones que los estudiantes hacían sobre su orientación futura. Estas opciones se categorizaron según el tipo de opciones planteadas en el sistema español: opción orientación científi ca (bachillerato de Ciencias de la Salud y bachillerato de Tecnología), 139 estudiantes; opción orientación de Humanidades (bachillerato de Humanidades y Arte), 76 estudiantes; y opción de formación profesional (está comprendida la garantía social), 39 estudiantes; y otra categoría, 25 estudiantes. Los datos de los grupos de rendimiento o logro son los siguientes: nivel alto (39 personas: 19 chicos y 20 chicas), nivel medio (183 personas: 81 chicos y 102 chicas), nivel bajo (37 personas: 20 chicos y 17 chicas). Estos grupos fueron constituidos según los datos aportados por el profesor en la entrevista en la que se les pedía que indicaran los estudiantes de rendimiento alto, bajo y medio en clase. El colegio 3 tiene establecido un programa de diversifi cación con estos tres niveles de rendimiento, que se describirán en el estudio de casos. El cuestionario Enseñar matemáticas fue aplicado a los 9 profesores, de los tres colegios, responsables de los cursos en los que los estudiantes estaban. 3.3. Técnicas de análisis de los datos Cada uno de los instrumentos ha requerido análisis diferenciados. 3.3.1. Análisis del cuestionario de creencias sobre las matemáticas MRBQ Para el análisis de este cuestionario hemos utilizado tres programas el SPSS, el SAS y el SPAD. Son programas que permiten realizar un análisis factorial de componentes principales y obtener un resumen descriptivo del conjunto de los datos (variables dependientes e independientes). Se hizo un análisis factorial de componentes principales, rotación Varimax. Para las diferencias de los factores según sexo, rendimiento, colegios, opción, se ha hecho un estudio de normalidad mediante el test T-Shapiro-Wilks, obteniéndose como resultado la no normalidad de los datos. Por tanto, no se eligió análisis de varianza ya que los datos se alejaban de la normalidad. Se aplicó test de rasgos signifi cativos de puntuaciones de Wilcoxon (sumas de rango) clasifi cado por variables. Y se aplicó el test de Kruskal-Wallis, no paramétrico o el de la suma de rangos de Wilcoxon, dependiendo del número de grupos. Cuando era signifi cativo el test de Kruskal-Wallis, hemos realizado un test no paramétrico de comparaciones múltiples para su estudio, teniendo en cuenta como nivel de signifi cación global Alpha= 0,05. Además se realizaron análisis de Clusters o conglomerados y análisis de fi abilidad. También se estudió la consistencia interna a través del alpha de Cronbach, obteniendo como resultado α= 0,85; se dedujo que la consistencia interna del cuestionario resultaba aceptable. La puntuación de distribución del cuestionario fue una puntuación-resumen, de tal forma que se distribuyen las respuestas entre las cinco opciones desde «totalmente de acuerdo» hasta «totalmente en desacuerdo». La puntuación de los ítems fue de cero a cinco. 3.3.2. El cuestionario Enseñar matemáticas y entrevistas Han requerido un tratamiento cualitativo de los datos mediante análisis de contenido para dar respuesta a las categorías siguientes: creencias acerca de la naturaleza de la matemática, creencias que detecta en los alumnos, mensaje que transmite a los alumnos en el aula, atribuciones de éxito y fracaso en matemáticas. En los siguientes apartados se explicitarán los resultados del análisis del cuestionario de creencias sobre las matemáticas MRBQ. 4. RESULTADOS DEL ESTUDIO DE LOS ANÁLISIS FACTORIALES El análisis factorial dio como resultado tres factores más explicativos. Éstos quedaron defi nidos como: Factor I: Creencias sobre el papel y el funcionamiento del profesor. La formulación de los ítems estaba referida a las dimensiones cognitivas, motivadoras y afectivas del comportamiento de los profesores. Factor II: Creencias sobre el signifi cado y la competencia en matemáticas. Factor III: Creencias sobre la matemática como actividad social. En la tabla 1 se describen ítems que los componen, variable explicada, fi abilidad, etc. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 314 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(3) Obtuvimos una descripción de las creencias los estudiantes analizando la media y desviación estándar de los factores. Se puso de manifi esto la relevancia de las creencias de los estudiantes sobre el papel y la función de su profesor: los estudiantes parecían tener una perspectiva clara de la dimensión cognitiva, motivadora y afectiva del funcionamiento de su profesor y la consiguiente repercusión en su comportamiento en clase. Además, la manera en que los estudiantes expresaban la aceptación por parte del profesor y la sensibilidad que éste mostraba por sus necesidades parecían estar relacionadas con la forma como los estudiantes percibían que el profesor estaba motivado y cuáles eran sus percepciones sobre cómo él organiza la instrucción. Estos ítems referidos a estas subcategorías tenían una carga signifi cativa en el mismo factor. Por ejemplo, los estudiantes subraTabla 1 Descripción de factores. Análisis factorial de componentes principales, rotación Varimax. Variable Factor 1 Factor 2 Factor 3 Creencias sobre el papel y el funcionamiento del profesor it29 ,662 - - it30 ,738 - - it31 ,619 - - it32 ,349 - - it33 ,832 - - it34 ,728 - - it35 ,770 - - it37 ,430 - - it38 ,679 - - it39 ,794 - - it40 ,689 - - it42 ,489 - - it44 ,357 - - Creencias sobre el signifi cado y la competencia en matemáticas it4 - ,354 - it14 - ,616 - it15 - ,790 - it16 - ,336 - it17 - ,757 - it18 - ,502 - it20 - ,598 - it21 - ,413 - it22 - ,667 - it23 - ,699 - it27 - ,769 - it28 - ,821 - Creencias sobre la matemática como actividad social it1 - - ,760 it7 - - ,449 it9 - - ,277 it11 - - ,578 Fiabilidad α1 = 0,883 α2 = 0,872 α3 = 0,48 Varianza explicada 13,349 % 12,528 3,772 Media 2,84 3,28 3,76 Desviación estándar 0,652 0,839 0,706 INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 315 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(3) yaban el reconocimiento del esfuerzo de los profesores por hacer las lecciones de matemáticas interesantes y en poner énfasis en la comprensión del contenido, no en la memorización del mismo. Los estudiantes de la muestra percibían las estrategias metodológicas que sus profesores desempeñaban, como el trabajo en grupo, o la exploración de estrategias de resolución de problemas. Las correlaciones entre los diferentes factores indican que para estos estudiantes hay una correlación más estrecha entre los factores segundo y tercero. Parecen sostener una perspectiva dinámica y social de la matemática (Factor 3) y atribuyen más valor a las matemáticas y a tener más confi anza en sus capacidades matemáticas (Factor 2) (r = ,349 chicas ) (r = ,419 chicos). Además, tienden a expresar unas creencias más positivas sobre el profesor y su funcionamiento en clase, aunque la correlación es muy baja (Factor 1) (r = ,166 chicas) (r = ,297 chicos). Además, la correlación r = ,331 chicas (r = ,297) entre Factor 1 y Factor 2 indica que los estudiantes sostienen creencias positivas sobre cómo perciben a su profesor y la confi anza que sienten en ellos mismos. La media del Factor 2 es 3,28 y las del Factor 3 es 3,76. 5. RESULTADOS DE LOS ANÁLISIS DE VARIANZA A continuación estudiaremos las creencias que los estudiantes sostenían, según nivel de rendimiento, opción y género. Para ello usaremos los tres factores de creencias como variables dependientes. Aunque estas tres variables independientes se midieron en el ámbito de los estudiantes, se podrían ver como características de los estudiantes y, en algunos casos, como características del contexto. Desde esta clave, fueron interpretadas en el estudio. También, en esta investigación, se ha tomado en cuenta la variable colegio, debido a las diferencias socioculturales de los estudiantes y al contexto en el que estaban. Los resultados de esta investigación indican que el sistema de creencias de los estudiantes está interconectado con los aspectos de opción de estudios elegida y el nivel de rendimiento y menos con la dimensión de género. Aunque hemos considerado el sistema de creencias como un todo, es claro que estas variables independientes tienen una relación más estrecha con algunas categorías de creencias que con otras. 5.1. Relaciones entre creencias, opción de estudios elegida y rendimiento En el caso de estos estudiantes, las diferencias signifi cativas entre niveles de rendimiento alto y medio respecto al nivel bajo han estado relacionadas con la confi anza y la competencia personal en matemáticas (Factor 2). Los de rendimiento bajo demuestran menos gusto por las matemáticas (comparaciones nivel de rendimiento alto [n1] y nivel de rendimiento medio [n2]; nivel de rendimiento alto [n1] y nivel de rendimiento bajo [n3]. Estos datos han tenido una correspondencia con las opciones elegidas. Los de la opción científi ca y la humanista muestran más confi anza en su competencia personal en matemáticas que los de la opción profesional (opción científi ca y la de humanidades; entre la opción científi ca y la profesional) (Tabla 2). 5.2. Relaciones entre creencias y género En el estudio no hubo diferencias signifi cativas entre los factores respecto a la variable género. Sin embargo, realizando un estudio más pormenorizado por ítems y colegios pudimos constatar que las chicas muestran mayor interés por las matemáticas que los chicos, pero, sin embargo, tienen menos confi anza en obtener buenos resultados. También hubo algunas diferencias signifi cativas en algunos ítems relativos al profesor; por ejemplo, en los estudiantes de rendimiento medio y en estudiantes de la opción científi ca, los chicos, a diferencia de las chicas, reconocen que sus profesores prestan más atención a sus sentimientos. Los datos indicaron diferencias entre géneros: en estudiantes de rendimiento medio y en estudiantes de opción científi ca, respecto a la valoración del trabajo en grupo, son las chicas las que valoran más esta metodología. Los datos de los clusters indicaron que había un grupo de individuos varones y de rendimiento alto que valoraban mucho las califi caciones y no atribuían mucho valor al rol del profesor. Los sujetos de este cluster pertenecían en su mayoría al colegio 3. 5.3. Relaciones entre creencias y colegios Se detectaron diferencias signifi cativas por colegios respecto a los tres factores (creencias sobre el papel y la función del profesor, creencias sobre el signifi cado y la competencia en matemáticas, las matemáticas como una actividad social). Entre el colegio 1 (c1) y el colegio 2 (c2) y el colegio 1 y el colegio 3 (c3) respecto al factor 1, función del profesor. Y entre el c1 y el c3 y el c2 y el c3, en lo referente al factor 3, visión dinámica de la matemática (Tabla 2). Esto nos confi rmó la necesidad de profundizar en las creencias sobre el papel y el funcionamiento del profesor, como categoría importante en el estudio de las creencias acerca del contexto social de la clase. Se dieron diferencias signifi cativas en algunos ítems relativos al profesor en los estudiantes de rendimiento medio y en estudiantes de la opción científi ca; los chicos, a diferencia de las chicas, reconocen que sus profesores prestan más atención a sus sentimientos. También, se puso de relieve un grupo de individuos varones y de rendimiento alto que valoran mucho las califi caciones y no atribuyen mucho valor al rol del profesor. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 316 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(3) 6. RESULTADOS DE LAS CREENCIAS DE LOS ESTUDIANTES SOBRE EL CONTEXTO ESPECÍFICO DE LA CLASE Para el estudio de estas creencias y las comparaciones entre colegios y contextos de clases, además de los datos que arrojaba el cuestionario aplicado a los estudiantes, hemos utilizado los datos del cuestionario Enseñar matemáticas aplicado a los profesores, las entrevistas realizadas a estos profesores y la documentación aportada por los responsables de los colegios. Como hemos indicado en el apartado, una subcategoría de las creencias de los estudiantes sobre el contexto específi co de la clase es la referida a las creencias sobre el rol y el funcionamiento del profesor. 6.1. Resumen de las tendencias en los colegios En los tres colegios los datos pusieron de manifi esto la relevancia de las creencias de los estudiantes sobre el papel y el funcionamiento del profesor, como ha quedado refl ejado en la tabla 2. Ahora bien, se constataron diferencias según colegios. Los datos procedentes del colegio 1 indicaron una tendencia mayor por parte de los estudiantes a no reconocer la aportación de su profesor en lo referente a la dimensión afectiva y de motivación, con la consiguiente repercusión en su comportamiento en clase y en las creencias que manifestaban. En este colegio se detectó un grupo de alumnos con una alta creencia en una perspectiva absolutista de la matemática (la matemática es para gente inteligente, los que son buenos en matemáticas pueden resolver muchos problemas en pocos minutos, etc.), aunque no estaban de acuerdo en que el aprendizaje de la matemática sea memorización. Manifestaban una creencia baja en la aportación positiva del profesor y en la no aplicabilidad de la matemática. No consideraban la matemática como una actividad social. Este grupo señaló que no realizaban muchos trabajos en grupo. Según los datos evidenciados por el cuestionario aplicado al profesor, estas creencias tienen una correspondencia con las creencias y el comportamiento del profesor. Las concepciones que manifestaba el profesor podían ser categorizadas, según Ernest, como una concepción platónica, donde la matemática es un dominio de excelencia, y no un producto cultural. Los datos obtenidos de los estudiantes del colegio 2 y los del colegio 3 son los que muestran mayor reconocimiento positivo de la dimensión cognitiva, motivadora y afectiva del funcionamiento de su profesor. Sin embargo, en el colegio 2 hay una coherencia entre las creencias de los estudiantes, el rol y el funcionamiento del profesor y las creencias de los profesores, mientras que en el colegio 3, no es así. Además, en el colegio 3, esto entra en contradicción con la fi nalidad metodológica pretendida en su programa de diversifi cación. Esto nos ha llevado a realizar un estudio de casos y a tratar de comprender en más profundidad el colegio 3. 6.2. Estudio de un caso. Creencias de los estudiantes y funcionamiento del profesor en el aula en el colegio 3 Además de la presentación realizada al principio, señalamos que este centro tiene un proyecto de renovación pedagógica denominado «Programa de agrupamientos fl exibles», en las áreas de lengua y de matemáticas, en los cursos de secundaria. El equipo de profesores de los departamentos de lengua y de matemáticas han establecido los objetivos mínimos comunes para los diferentes cursos y han realizado conjuntamente las programaciones didácticas. Constituyeron los grupos clase teniendo en cuenta la historia educativa de los alumnos, sus capacidades y sus intereses o motivación. Estos tres aspectos, junto con los resultados de las pruebas Tabla 2 Factores signifi cativos según género, rendimiento, opción y colegio. Género Rendimiento Opción Colegio Chico Chica Alto (n1) Medio (n2) Bajo (n3) Científi ca Humanidades Formación Profesional C1 C2 C3 Factor 1 - - - - - - - - 2,48 2,95 2,89 p-valor n. s. n. s. n. s. c1 y c2 (p-valor= 0,00001) c1 y c3 (p-valor= 0,00005) Factor 2 - - 3,70 3,22 2,57 3,46 3,00 2,80 p-valor n. s. p-valor n1 y n2= 0,0007 p-valor n1 y n3= 0,000000017 p-valor n2 y n3= 0,00008 científi ca y humanidades p-valor= 0,0012 científi ca y profesional (p-valor= 0,00014) n.s. Factor 3 - - - - - - - - 3,66 3,66 3,94 p-valor n. s. n. s. n. s. c1 y c3 p-valor= 0,01557 c2 y c3 p-valor= 0,003 INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 317 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(3) iniciales y el diálogo mantenido con cada uno de los alumnos, permitió al centro ubicar a cada uno de los estudiantes en uno de estos grupos: Grupo 3: alumnos con mayores capacidades y mayor grado de motivación. Es el grupo más numeroso. Grupo 2: alumnos con difi cultades académicas y/o de motivación, sin llegar a ser muy signifi cativas. Está formado por menos alumnos que el grupo anterior. Grupo 1: alumnos con mayores difi cultades académicas y/o más bajo nivel de motivación. A lo largo del curso se han reforzado aprendizajes básicos todavía no superados. Ha sido el grupo menos numeroso. Dentro el centro estos grupos han tenido un carácter fl exible ya que ha sido posible el cambio de uno a otro teniendo en cuenta la evolución en el aprendizaje de los alumnos. Han participado en la investigación cinco profesores. Para el caso que deseamos ilustrar explicitamos sólo los datos de tres de ellos. Los datos proceden del cuestionario Enseñar matemáticas y de las entrevistas. Describimos algunos elementos signifi cativos que caracterizaron las creencias del profesor y su punto de vista respecto a las creencias de sus estudiantes y los mensajes que da a sus alumnos en clase. Los tres profesores tienen una perspectiva dinámica de las matemáticas y utilizan actividades y mensajes para socializar a los estudiantes en creencias positivas (Tabla 3). Todos ellos usan una metodología de colaboración y de trabajo en grupos, y desarrollan en el aula estrategias y técnicas para reforzar la motivación. De forma más específi ca los profesores C34 y C35 realizan actividades que desarrollan la creatividad del alumnado y permiten situar las matemáticas en la vida cotidiana y conectarlas con el entorno más próximo. Profesor Grupo al que enseña Creencias acerca de la naturaleza de la matemática Creencias que detecta en los alumnos Mensaje que transmite a los alumnos en el aula Por qué son mejores los estudiantes Origen de las difi cultades de los estudiantes C31 (profesora) Rendimiento medio – Son lógicas – Construibles y creadas – Resolución de problemas – Valor de belleza y utilidad – Que son difíciles y que sólo sirven para los técnicos – Que se aprende de los errores, que sin esfuerzo no se consigue nada en la vida y que tenemos más capacidades de las que creemos. – Gusto por las matemáticas – Se enfrentan sin inhibición a las cuestiones y problemas – Consideran los errores como un camino para el aprendizaje – No tienen desarrollado el razonamiento lógico – Trabajan poco C34 (profesor) Rendimiento bajo – Construibles – Construidas socialmente – La resolución de problemas, eje del aprendizaje matemático – Valores acerca de la matemática: importante, interesante, cambiable, útil y poderosa – Creencia en la mecanización de los procesos – Piensan que todos los procesos sólo tienen una forma de hacerse – Creen que todo es memorización, les cuesta conectar con la utilidad del área – Las matemáticas son participación, trabajo continuo, ingenio, estrategia. – Conocen los procesos, los procedimientos y operaciones – Tienen estrategias de resolución ingeniosas – Son rápidos – Aprenden de los errores – Seleccionan la información de forma incorrecta – Tienen despistes o errores constantes – Falta de estudio, de interés y de motivación – Tienen otras prioridades por encima de los estudios C35 (profesor) Rendimiento alto – Lógicas – Construibles y creadas – La resolución de problemas, eje del aprendizaje matemático –Valores: belleza, interés, utilidad y poder – Creencia en la complejidad de algunos contenidos – Piensan que las matemáticas son aburridas – Piensan que no tienen utilidad de algunos contenidos en su futuro – Las matemáticas son fáciles – Todo se puede lograr con motivación – Se aprende de los fallos – Es importante aprenderlas pues «te servirán para siempre» – Tienen ganas de trabajar y se esfuerzan, aunque no tienen grandes capacidades – Necesitan más tiempo para asimilar los contenidos Tabla 3 Elementos signifi cativos señalados por el profesorado4. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 324 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(3) 6. Ahora subraya las palabras que indiquen cómo piensas que tus estudiantes describen tu forma de enseñar las matemáticas: transmisión mezcla de ideas informativa creativa coherencia usando la pizarra caótica lógica ordenada mecánica estimulante ejercicios y práctica orientada por los estudiantes con energía soporífera a saltos relajada orientada por los exámenes sin inspiración orientada por el libro de texto aceptando la perspectiva de los estudiantes 7. ¿Cómo eres de bueno/a con las matemáticas? Rodea con un círculo aquella palabra que te dé respuesta: extremadamente capaz muy bueno/a bastante bueno/a hacia el medio por debajo de la media inútil bastante malo/a ninguna de las anteriores........................... 8. Como profesor/a de matemáticas, ¿cuál es tu mayor preocupación? ............................................................................................. 9. ¿Cómo podrías mejorar tus clases de matemáticas? .............................................................................................