La topologia del DNA

Butllet´ı de la Societat Catalana de Matem` atiques Vol. 14, n´um. 2, 1999. P` ag. 93–102 La topologia del DNA Joan Porti 1 Introducci´ o En aquest article volem parlar d’una interacci´ o de la topologia amb la biologia molecular. M´ es concretament, volem descriure un model topol` ogic per interpretar l’acci´ o d’un enzim en les mol` ecules de DNA. La teoria de nusos ´ es el camp de la topologia que volem aplicar aqu´ı. Podem pensar un nus com un cercle S1dins l’espai R3. Diem que dos nusos s´ on equivalents si podem passar d’un a l’altre mitjan¸cant deformacions cont´ınues i evitant creuaments del cercle. M´ es endavant donarem una definici´ omatem ` atica precisa de nus. Per exemple, la figura 1 mostra tres nusos que no s´ on equivalents. Malgrat el nom, la teoria de nusos no nom´ es estudia els nusos, sin´ otamb ´ eles unions finites i disjuntes de cercles dins l’espai R3, anomenades enlla¸cos (vegeu la figura 2). Com en el cas dels nusos, dos enlla¸cos s´ on equivalents si podem passar d’un a l’altre per deformacions cont´ınues sense creuaments. La mol` ecula de DNA ´ es l’objecte bioqu´ımic del qual volem estudiar propietats topol` ogiques des del punt de vista de la teoria de nusos. El DNA t´ e una estructura helico¨ıdal for¸ca complexa, per` o per simplificar interpretarem el tros d’h` elix de DNA com si fos un tros de corda, car les cadenes de DNA s´ on molt llargues. Aix´ıpodem trobar mol` ecules de DNA que topol` ogicament s´ on un interval dins l’espai R3(un tros de corda amb dos extrems lliures), o b´ emol ` ecules de DNA que s´ on un cercle Figura 1:Tres exemples de nusos no equivalents. 94 Joan Porti Figura 2:Exemples d’enlla¸cos. Figura 3:Fotografia d’una mol` ecula de DNA [6]. dins l’espai R3(un tros de corda amb els extrems units), i que per tant s´ on un nus (vegeu la foto de la figura 3). Tamb´ e´ es possible que diverses mol` ecules de DNA formin cercles enlla¸cats en l’espai. Com a top` olegs, mirarem les mol` ecules de DNA queformenunnusounenlla¸c. Els bi` olegs moleculars s’interessen en l’estructura tridimensional del DNA. M´ es concretament busquen relacions entre la geometria i topologia de les mol` ecules i la seva funci´ obioqu´ımica. Hi ha enzims que poden actuar sobre la mol` ecula de DNA i fins i tot poden canviarne la topologia. Els enzims anomenats recombinases tallen les mol` ecules de DNA i en tornen a enganxar els extrems que han quedat lliures (vegeu la figura 4). En aquest article volem explicar el model proposat per Wasserman, Dungan i Cozzarelli [11] i Ernst i Sumners [2] que descriu l’acci´ o topol` ogica de l’enzim Tn3 resolvasa. Tamb´ e volem citar un teorema d’Ernst i Sumners [2] que d´ ona suport a aquest model. La topologia del DNA 95 enzim Molècula de DNA recombinasa Figura 4:Acci´ odelarecombinasa. L’article est` aorganitzatdelamaneraseg¨uent. A la secci´ o 2 parlem de la recombinaci´ o i descrivim l’acci´ o de l’enzim Tn3 resolvasa. A la secci´ o 3 donem les eines de la teoria de nusos necess` aries per al model matem` atic de l’acci´ od’aquestenzim. Aquest model est` a descrit a la secci´ o 4, on incloem el teorema d’Ernst i Sumners [2]. Finalment, a la darrera secci´ oparlemmoltr ` apidament d’altres interaccions de la teoria de nusos amb ci` encies experimentals. Agra¨ıments Estic agra¨ıt a A. Stasiak pel perm´ıs de reproducci´ o de la fotografia, a P. de la Harpe per haver-me’n facilitat l’adre¸ca i a L. Vilaseca per haver-me remarcat algunes incorreccions en mat` eria de biologia (tot i parlar-ne el m´ınim possible). 2ElDNAilarecombinaci ´ o Hem dit a la introducci´ o que per simplificar veur´ıem les mol` ecules de DNA com un tros de corda (un interval o un cercle) dins l’espai i que estudiar´ıem els nusos o enlla¸cos que formen. ´ Es ben conegut per` o que l’estructura del DNA ´ es molt rica i que t´ e un paper transcendent en biologia. La propietat que volem destacar-ne en aquest article ´ es que els fragments de DNA es poden codificar perqu` e estan constitu¨ıts per seq¨u` encies de nucle` otids. M´ es concretament, els segments de mol` ecules de DNA estan codificats per successions de lletres {A, T, C, G}corresponents a certes bases. ´ Es la seq¨u` encia que defineix el codi gen` etic. Les recombinases s´ on els enzims que tallen les mol` ecules de DNA i les tornen a enganxar. L’operaci´ o de tallar i enganxar no es realitza en un lloc qualsevol de la mol` ecula, sin´ o que els enzims reconeixen determinades seq¨u` encies de les mol` ecules de DNA. Els enzims tallen les mol` ecules de DNA precisament en els fragments que contenen una seq¨u` encia determinada. La mol` ecula o mol` ecules inicials, abans que actu¨ı l’enzim, s’anomenen substrat. Laprimerafasedelareacci ´ o s’anomena sinapsi i consisteix a posar de costat els fragments o seq¨u` encies de DNA reconeguts per l’enzim. La sinapsi s’efectua mitjan¸cant moviment aleatori (t` ermic) i/o alguna acci´ oenzim ` atica. La segona fase de la reacci´ o ´ es la recombinaci´ opr` opiament dita: l’enzim talla les dues seq¨u` encies que reconeix i les torna a enganxar amb els extrems canviats (vegeu la figura 5). Imaginem ara que un enzim realitza m´ es d’una recombinaci´ o. Quan l’enzim porta a terme diverses recombinacions a partir d’una sola sinapsi parlem de recombinaci´ o processiva.Sicadanovarecombinaci ´ o´ es precedida d’una nova sinapsi, parlem de recombinaci´ o distributiva. Ara passem a descriure els resultats obtinguts experimentalment a partir de la recombinaci´ o processiva de l’enzim Tn3 resolvasa. El substrat ´ es una mol` ecula de 96 Joan Porti substrat enzim recombinació sinapsi producte Figura 5:Lesduesetapesdelarecombinaci ´ o. Les fletxes gruixudes representen els fragments de DNA reconeguts per l’enzim. a) b) d) c) e) Figura 6:El substrat i els diferents nusos i enlla¸cos obtinguts per recombinaci´ o processiva: a) nus trivial, b) enlla¸c de Hopf, c) nus de vuit, d) enlla¸cde Whitehead i e) nus 62.Elnom6 2ve d’una taula, on ´ es el segon dels nusos que es representen amb un diagrama de sis creuaments. DNA circular que forma el nus trivial (vegeu [10] i [11] per una explicaci´ osobreel proc´ es bioqu´ımic d’elaboraci´ o del substrat). A partir d’aquest substrat, la recombinaci´ o processiva de l’enzim ens d´ ona l’enlla¸c de Hopf en la primera etapa, el nus de vuit en la segona, l’enlla¸c de Whitehead en la tercera i el nus anomenat 62en la quarta (aquests nusos i enlla¸cos estan dibuixats a la figura 6). 3 Una mica de teoria de nusos Recordem que els nusos poden pensar-se com a cercles dins l’espai R3iquedos nusos s´ on equivalents quan es pot passar d’un a l’altre mitjan¸cant deformacions cont´ınues sense creuaments. La definici´ oprecisa´ es la seg¨uent. 1Definici ´ oUn nus ´ es una aplicaci´ o injectiva i llisa (de classe C∞) del cercle en l’espai f:S1→R3. 2Definici ´ oDos nusos f,g:S1→R3s´ on equivalents si podem passar d’un a l’altre per una isotopia ambient; ´ es a dir, si existeix una aplicaci´ o llisa H:R3×[0,1]→R3 que satisf` a: (I) H( ,0)´ es la identitat, ´ es a dir H(x,0)=xper a tot x∈R3; (II) H(f(x),1)=g(x) per a tot x∈S1; (III) H( ,s):R3→R3´ es un difeomorfisme per a tot s∈[0,1]. La topologia del DNA 97 NW SW NE SE NW SW NE SE NW SW NE SE Figura 7:Exemples de tangles. NW SW NE SE NW SW NE SE Figura 8:Aquests tangles no s´ on equivalents perqu` e no podem moure’n els extrems. L’aplicaci´ oHde la definici´ o s’anomena isotopia ambient i´ es la formalitzaci´ o d’una deformaci´ ocont´ınua sense creuaments. An` alogament, els enlla¸cosesdefineixen com aplicacions injectives i llises d’una reuni´ o finita i disjunta de cercles S1···S1en l’espai R3.Larelaci ´ od’equival ` encia ´ es tamb´ e una relaci´ od’isotopia ambient. L’eina de la teoria de nusos que ens interessa aqu´ı´ es la que en angl` es s’anomena tangle i que no traduirem. 3Definici ´ oUn tangle T´ es un parell (B3,t) format per una bola de dimensi´ otres B3={x∈R3|x≤1}i dos arcs disjunts dins la bola t⊂B3que intersequen la frontera ∂B3precisament en els seus quatre extrems (´ es a dir, t∩∂B3=∂t). Els quatre extrems dels arcs ts’anomenen NE,SE,SW iNW. Aquesta notaci´ oque utilitza punts cardinals es justifica pel fet que els tangles es representen per la projecci´ odelabolaB3en un disc D2⊂B3. La figura 7 mostra exemples de (projeccions de) tangles. Diem que dos tangles s´ on equivalents si podem deformar les cordes d’un en les cordes de l’altre sense creuaments i sense moure’n els extrems NE,SE,SW iNW. En termes m´ es precisos, la definici´ o´ es la seg¨uent. 4Definici ´ oDos tangles T1=(B3,t 1)iT2=(B3,t 2)s´ on equivalents si existeix una aplicaci´ o llisa H:B3×[0,1]→B3que satisf` a: (I) H( ,0)´ es la identitat de B3,´ es a dir H(x,0)=xper a tot x∈B3; (II) H( ,1)porta T1aT2,´ es a dir H(T1,1)=T2; (III) H( ,s):B3→B3´ es un difeomorfisme per a tot s∈[0,1]; (IV) H(x,s) =xper a tot x∈∂B3,s∈[0,1]. 98 Joan Porti =+ Figura 9:Clausura de tangles. Per exemple, els tangles de la figura 8 no s´ on equivalents, tot i que es pot passar d’un a l’altre si es mouen els extrems NE,SE,SW iNW en l’esfera de la vora ∂B3. 5Definici ´ oDonat un tangle T,laclausura N(T) ´ es el nus o enlla¸c obtingut unint l’extrem NW amb NE il’extremSW amb SE de la manera descrita a la figura 9. 6Definici ´ oDonats dos tangles TiS,lasuma T+S´ es el resultat d’unir els extrems est de Tamb els extrems oest de Stot respectant el nord i el sud. Cal anar amb compte perqu` e, tot i anomenar-se suma, aquesta operaci´ ono´ es commutativa. A m´ es, el resultat de la suma de dos tangles no ´ es necess` ariament un tangle (vegeu la figura 10). La teoria dels tangles fou introdu¨ıda per J. H. Conway fa trenta anys [1]. 4Elmodel En aquesta secci´ o veiem com la teoria dels tangles permet´ econstruirunmodelmatem` atic per descriure l’acci´ o de l’enzim Tn3 resolvasa. A partir dels propis resultats experimentals, Wasserman, Dungan i Cozzarelli [11, 10] van proposar una interpretaci´ o del comportament topol` ogic en termes de creuaments de nusos i enlla¸cos. El model en termes de tangles tal com el descriurem aqu´ı fou proposat per [2]. Recordem que la reacci´ o que volem estudiar consta de dues parts. La primera ´ es la sinapsi, que ´ es una deformaci´ ocont´ınua que acosta els dos fragments de la mol` ecula de DNA que s’han de recombinar. La segona part ´ es la recombinaci´ opr ` opiament dita, que talla i enganxa la mol` ecula de DNA (vegeu la figura 5). Quan s’aplica la sinapsi i els dos segments que l’enzim ha de recombinar estan a prop, dividim el substrat en dos tangles.Un´ es el tangle T,que´ es el que s’ha de recombinar, i l’altre ´ es el seu exterior E.Elmodelderecombinaci ´ o consisteix a reempla¸car el tangle Tper un altre tangle R.´ Es a dir, tenim les dues f´ ormules seg¨uents, il .lustrades a la figura 11. La topologia del DNA 99 = = Figura 10:Dosexemplesdesumadetangles. El resultat de la primera suma ´ es un tangle,per ` oeldelasegona,no. •F´ ormula del substrat: N(E +T)=substrat. •F´ ormula de la recombinaci´ o: N(E +R) =resultat de la recombinaci´ o. Per aplicar aquestes equacions hem suposat la hip` otesi seg¨uent. Hip` otesi 1: El mecanisme de l’enzim (el canvi del tangle Ten R)nom ´ es dep´ en de l’enzim i ´ es independent de la geometria i topologia del substrat. A m´ es, l’acci´ odel’enzimest ` alocalitzadaenuntangle. Recordem que la recombinaci´ o processiva realitza diverses recombinacions successives a partir d’una sola sinapsi inicial. Llavors fem una altra hip` otesi. Hip` otesi 2: Les successives etapes de la recombinaci´ o processiva consisteixen aafegirtangles.´ Es a dir, la f´ ormula de la recombinaci´ o processiva ´ es: •N(E +R+(n) ···+R) =resultat de nrecombinacions. Els experiments amb Tn3 resolvasa descrits a la secci´ o 2 donen les equacions seg¨uents (els nusos i enlla¸cos estan descrits a la figura 6). a) Substrat:N(E +T)=nus trivial. b) 1a recombinaci´ o:N(E +R) =enlla¸cdeHopf. c) 2a recombinaci´ o:N(E +R+R) =nus de vuit. d) 3a recombinaci´ o:N(E +R+R+R) =enlla¸c de Whitehead. e) 4a recombinaci´ o:N(E +R+R+R+R) =nus 62. Wasserman, Dungan i Cozzarelli [11, 10] no utilitzen tangles en el seu model, per` osieltradu´ıssim en termes de tangles,elsE,RiTproposats serien els de les figures 12 i 13. El resultat d’Ernst i Sumners que d´ ona suport al model ´ es el seg¨uent. 100 Joan Porti = = Figura 11:F´ ormules del substrat i la recombinaci´ o. Compareu aquesta figura amb la figura 5. ER Figura 12:Els tangles EiR. 7Teorema [2] Els ´unics tangles EiRque satisfan les equacions a), b), c) i d) s´ on els de la figura 12. A m´ es, aquestes solucions satisfan l’equaci´ oe). El teorema no determina el tangle T(podem pensar que no interv´ eenprouequacions), tot i que els bi` olegs proposen el de la figura 13 (vegeu les figures 5 i 11). La demostraci´ o d’aquest teorema pot trobar-se a [2] i no en parlarem en aquest article. El teorema d’Ernst i Sumners no nom´ es ´ es un resultat matem` atic motivat per la biologia molecular, sin´ oquerefor¸ca el model proposat inicialment per Wasserman, Dungan i Cozzarelli. Com qualsevol altre model, hem vist que comporta una s` erie d’hip` otesis o simplificacions, que no cal revisar fins que la teoria i els experiments deixin de ser coherents. Segons Sumners [8], en general l’acci´ od’unenzim´ es dif´ıcil de descriure perqu` e els m` etodes experimentals solen proporcionar poca informaci´ o sobre la topologia de la mol` ecula. Hem d’interpretar el DNA com un fil molt llarg i prim, que normalment est` afor¸ca embolicat, per la qual cosa el nus ´ es dif´ıcil de determinar. El teorema d’Ernst i Sumners pret´ en ser una eina que contribueixi a comprendre l’acci´ odel’enzim (vegeu el t´ıtol de [8]). La topologia del DNA 101 T Figura 13:El tangle T. 5 Altres interaccions de la teoria de nusos amb ci` encies experimentals La qu´ımica ens proporciona un altre exemple d’interacci´ odelateoriadenusosamb una ci` encia experimental. Per un cant´ o, hi ha qu´ımics que volen sintetitzar mol` ecules amb una determinada topologia, i per l’altre hi ha top` olegs que estudien problemes motivats pels qu´ımics. Si pensem en mol` ecules petites, no com el DNA, la topologia d’una mol` ecula est` adonadapels` atomsielsseusenlla¸cos qu´ımics. Podem pensar una mol` ecula com un graf dins l’espai R3que t´ eperv ` ertexs els ` atoms i per arestes els enlla¸cos qu´ımics. Els primers exemples de mol` ecules amb una topologia no planar foren sintetitzades els anys seixanta. ´ Es a dir, totes les mol` ecules que es coneixien anteriorment tenien una estructura de graf que podia dibuixar-se en un full de paper sense haver de creuar les arestes. El primer exemple no planar va arribar el 1961: Frish i Wasserman van construir una mol` ecula amb dues components connexes enlla¸cades com l’enlla¸c de Hopf (figura 6 b)). Posteriorment s’han sintetitzat mol` ecules que contenen un graf de Kuratowski (hi ha exemples pels dos grafs de Kuratowski) i que per tant no s´ on planars. Tamb´ es’hansintetitzatmol ` ecules amb la topologia de diversos nusos i enlla¸cos i actualment hi ha grups de qu´ımics que treballen en la s´ıntesi de mol` ecules amb una topologia predeterminada [5, 9]. Pel que fa als problemes que es posen els top` olegs motivats pel treball dels qu´ımics, citem la q¨uesti´ o de determinar les simetries d’un graf dins l’espai [3]. Una altra interacci´ o ve dels invariants utilitzats per distingir nusos i enlla¸cos, que de vegades poden interpretar-se f´ısicament. Per exemple, el polinomi de Jones ´ es un invariant que es pot definir utilitzant el formalisme de mec` anica estad´ıstica, i els invariants de Witten foren introdu¨ıtsapartirdelaf´ısica matem` atica (que no ´ es precisament una ci` encia experimental). L’invariant anomenat nombre d’enlla¸cament (linking number en angl` es) per un enlla¸c de dues components ´ es un exemple molt m´ es antic. Aquest nombre pot calcular-se mitjan¸cant una integral, introdu¨ıda per Gauss, que mesura la imped` ancia del camp el` ectric creat per dues c` arregues que es mouen al llarg de les components del nus [4]. Per acabar, recordem que la primera taula de nusos que es coneix fou creada per Tait, deixeble de lord Kelvin, amb la intenci´ o d’establir una analogia amb la taula peri` odica d’elements. Al segle xix, abans de l’experiment de Michelson i Morley, tothom creia en l’exist` encia de l’` eter. En particular Kelvin proposava que els ` atoms podien interpretar-se com v` ortexs en l’` eter que formaven nusos i enlla¸cos, i que justament la topologia del nus o enlla¸c determinava l’element. Tot i que avui en dia la teoria at` omica de Kelvin ja no est` a en vigor, la teoria de nusos mant´ eelcontacte amb les ci` encies experimentals.