Estructures geomètriques sobre varietats de dimensió tres

Butllet´ı de la Societat Catalana de Matem` atiques Vol. 14, n´um. 1, 1999. P` ag. 99–115 Estructures geom` etriques sobre varietats de dimensi´ o tres∗ Joan Porti 1 El problema de classificaci´ o de les varietats de dimensi´ o 3 En aquesta confer` encia ens proposem mostrar el paper que juguen les estructures geom` etriques en el problema de classificaci´ o de les varietats de dimensi´ o tres. Comencem recordant la noci´ o de varietat. Una varietat de dimensi´ on´ es un espai topol` ogic localment homeomorf a Rn, Hausdorff i paracompacte. Intu¨ıtivament, podem pensar que una varietat s’obt´ e enganxant boles obertes de Rn. Per exemple, en dimensi´ o 1, el cercle S1= {(x0, x1)∈R2|x2 0+x2 1=1}s’obt´ e unint dos intervals, tal com ho mostra la figura 1. En dimensi´ o dos, l’esfera S2= {(x0, x1, x2)∈R3|x2 0+x2 1+x2 2=1}´ es el resultat d’unir dos discs (figura 2). El tor T2s’obt´ e unint quatre discs (vegeu la figura 3). En general l’esfera de dimensi´ on Sn= {(x0, x1,... ,xn)∈Rn+1|x2 0+x2 1+ · · · + x2 n=1} s’obt´ e enganxant dues boles de dimensi´ on. Figura 1:El cercle S1com a uni´ o de dos intervals. Tamb´ e podem considerar varietats amb vora si enganxem mitges boles Bn += {(x1, x2,··· , xn)|x2 1+ · · · + x2 n<1, x1≥0} ∗Confer` encia pronunciada a la Primera Trobada Matem` atica de la Societat Catalana de Matem` atiques, mar¸c 1998. 100 Joan Porti Figura 2:L’esfera S2com a uni´ o de dos discs. Figura 3:El tor T2com a uni´ o de quatre discs. de manera compatible. ´ Es a dir, la vora correspon a x1=0 i cal que es preservi quan enganxem les mitges boles. El problema que ens interessa ´ es el seg¨uent: Problema Classificar les varietats compactes, connexes, orientables i sense vora (llevat homeomorfismes). Recordem que un homeomorfisme ´ es una aplicaci´ oh:M→Ncont´ınua, bijectiva i amb inversa cont´ınua. Podem pensar un homeomorfisme com una deformaci´ o cont´ınua. A la figura 4 hi ha exemples de varietats homeomorfes. Figura 4:Exemples de superf´ıcies homeomorfes. Les altres nocions que intervenen en el problema s´ on la de compacitat i la d’orientabilitat. Podem interpretar la propietat de compacitat com una noci´ o de finitud sense la qual el problema pot ser molt m´ es complex. En canvi, l’orientabilitat no es considera cap restricci´ o essencial. Estructures geom` etriques 101 Figura 5:Superf´ıcies tancades i orientables de g` eneres 0, 1, 2 i 3 (Fgdenota la superf´ıcie de g` enere g). Per aproximar-nos al problema de classificaci´ o cal distingir dimensions. Per exemple, en dimensi´ o 1 l’´unica varietat compacta i sense vora ´ es el cercle S1. Les varietats de dimensi´ o dos (superf´ıcies) compactes se saben classificar des de principis de segle. M´ es concretament, les superf´ıcies compactes, orientables i sense vora estan classificades pel g` enere (vegeu la figura 5). Figura 6:El tor T2com a resultat d’identificar les arestes d’un quadrat. Les varietats compactes de dimensi´ o quatre o superior no es poden classificar. Aix` o´ es degut al fet que tota presentaci´ o finita d’un grup es pot realitzar com a grup fonamental d’una varietat de dimensi´ on, per a tot n≥4, i no es pot construir cap algorisme que decideixi a partir de la presentaci´ o si dos grups s´ on isomorfs o no. 102 Joan Porti Aix´ı doncs, la dimensi´ o tres ´ es l’´unica per a la qual el problema de classificaci´ o est` a obert i pot tenir soluci´ o. Esperem que les estructures geom` etriques ens ajudin a classificar les varietats de dimensi´ o tres. 2 Exemples d’estructures en superf´ıcies Abans de donar exemples en dimensi´ o tres, volem comen¸car donant exemples d’estructures geom` etriques sobre superf´ıcies (varietats de dimensi´ o dos). Comencem pel tor T2, que interpretem com un quadrat amb els costats identificats (figura 6). Alternativament, podem pensar T2com el quocient del pla R2per l’acci´ o de Z2generada per ((x, y) ,(x +1, y) (x, y) ,(x, y +1) (vegeu la figura 7). Observem que l’acci´ o de Z2preserva la m` etrica est` andard de R2 i per tant T2=R2/Z2t´ e una estructura o m` etrica euclidiana. Aix` o vol dir que T2 admet una m` etrica localment isom` etrica al pla R2, que ´ es equivalent a tenir curvatura seccional constant igual a zero. El seg¨uent exemple ´ es la superf´ıcie de g` enere dos F2, que constru¨ım identificant les arestes d’un oct` agon (vegeu la figura 8). Figura 7:Interpretaci´ o del tor com a quocient de R2per l’acci´ o de Z⊕Z. Si un ninot bidimensional visqu´ es en el tor T2, aleshores veuria el mateix que si visqu´ es en el pla R2i hi hagu´ es una infinitat de c` opies d’ell mateix distribu¨ıdes tal com indica el dibuix. Observem per` o que no podem fer la mateixa construcci´ o m` etrica en el pla R2que hem fet abans pel tor. En el cas del tor, els quatre v` ertexs del quadrat s’identifiquen en un sol punt, la qual cosa ´ es compatible amb el fet que l’angle del quadrat euclidi` a ´ es 2π/4=π/2. En canvi, per a la superf´ıcie F2de g` enere dos, els vuit v` ertexs de l’oct` agon s’identifiquen en un sol punt, per` o l’angle de l’oct` agon regular euclidi` a´ es diferent de 2π/8=π/4. Per trobar un oct` agon regular amb aquest angle, canviem de geometria i passem del pla euclidi` a al pla hiperb` olic. Estructures geom` etriques 103 Figura 8:La superf´ıcie de g` enere dos s’obt´ e identificant les arestes d’un oct` agon. Figura 9:Exemples de geod` esiques del pla hiperb` olic H2. El model del disc ´ es un model conforme, perqu` e representa correctament els angles, per` o no representa correctament les dist` ancies. Per exemple, les geod` esiques del dibuix tenen longitud infinita. 104 Joan Porti Figura 10:Tessel.laci´ o de H2en oct` agons regulars d’angle π/4. Recordem r` apidament que es pot construir el pla hiperb` olic com el disc unitat H2= {(x1, x2)∈R2|x2 1+x2 2<1} amb la m` etrica ds2=4(dx2 1+dx2 2) (1−x2 1−x2 2)2. La figura 9 intenta il .lustrar la geometria del pla hiperb` olic. Si abans hem obtingut el tor T2a partir d’una tessel .laci´ o del pla euclidi` aR2en quadrats regulars, ara obtenim la superf´ıcie de g` enere dos F2a partir d’una tessellaci´ o del pla hiperb` olic en oct` agons regulars d’angle 2π/8. Vegeu la figura 10. Per tant, escrivim F2=H2/Γ, on Γ<Isom(H2)´ es un grup generat per isometries que identifiquen els costats de l’oct` agon. En dedu¨ım que F2admet una m` etrica o estructura hiperb` olica, ´ es a dir una m` etrica localment isom` etrica al pla hiperb` olic H2, que ´ es equivalent al fet de ser una m` etrica de curvatura constant −1. La construcci´ o que hem fet per a una superf´ıcie de g` enere dos F2es generalitza per a superf´ıcies Fgde g` enere g≥2. En particular, tota superf´ıcie Fgde g` enere g≥2 admet una m` etrica hiperb` olica (i.e. de curvatura constant −1). L’esfera S2= {(x0, x1, x2)∈R3|x2 0+x2 1+x2 2=1}es considera com la superf´ıcie de g` enere zero F0i tamb´ e admet una m` etrica de curvatura constant. M´ es concretament, la m` etrica est` andard de R3indueix en S2una m` etrica de curvatura constant +1, que s’anomena m` etrica esf` erica. Hem vist que totes les superf´ıcies compactes, orientades i sense vora admeten una m` etrica de curvatura constant. La f´ ormula de Gauss-Bonnet ens diu que el signe Estructures geom` etriques 105 Figura 11:El tor tridimensional T3s’obt´ e identificant les cares oposades d’un cub. Les fletxes a la dreta de la figura representen les identificacions de les cares del cub. Les arestes del cub que s’identifiquen entre elles estan representades amb el mateix s´ımbol. de la curvatura ´ es un invariant topol` ogic: ZFg K=2π(2−2g), on Kes la curvatura i g´ es el g` enere de la superf´ıcie. La m` etrica de curvatura constant no ´ es necess` ariament ´unica (de fet no ho ´ es sempre), per` o el seu signe s´ı. 3 Exemples en dimensi´ o tres Despr´ es dels exemples d’estructures geom` etriques sobre superf´ıcies, donem exemples de varietats de dimensi´ o tres amb estructures geom` etriques. El primer exemple ´ es el tor T3de dimensi´ o 3, que pensarem com una generalitzaci´ o de la superf´ıcie T2. Abans hem dit que T2´ es el resultat d’identificar els costats d’un quadrat; an` alogament el tor tridimensional T3s’obt´ e identificant les cares oposades d’un cub mitjan¸cant translacions, tal com mostra la figura 11. Seguint l’analogia amb el cas de dimensi´ o dos, el tor T3´ es el quocient de R3per l’acci´ o de Z3generada per      (x, y, z) ,(x +1, y, z) (x, y, z) ,(x, y +1, z) (x, y, z) ,(x, y, z +1) Com que l’acci´ o de Z3preserva la m` etrica, dedu¨ım que el tor T3admet una m` etrica euclidiana, ´ es a dir una m` etrica de curvatura constant zero. Un altre exemple que es generalitza f` acilment de dimensi´ o dos a dimensi´ o tres ´ es el de l’esfera (en realitat es generalitza f` acilment a qualsevol dimensi´ o). M´ es concretament, l’esfera S3= {(x0, x1, x2, x3)∈R4|x2 0+x2 1+x2 2+x2 3=1} admet una m` etrica de curvatura constant +1, ´ es la m` etrica indu¨ıda per la m` etrica euclidiana de R4. 106 Joan Porti Figura 12:Dodec` aedre de R3. Figura 13:Aquest esquema representa les dotze cares del dodec` aedre, on una de les cares est` a representada per l’exterior del cercle. Per obtenir la varietat de Poincar´ e, cal identificar les cares que porten el mateix n´umero, tenint en compte que les identificacions han de ser compatibles amb les arestes marcades. En aquest esquema representem tres classes d’equival` encia d’arestes (les altres set classes s’obtenen per rotaci´ o de l’esquema). Estructures geom` etriques 107 Figura 14:Representaci´ o conforme d’un dodec` aedre esf` eric d’angles diedres 2π/3. Podem pensar que inflem el dodec` aedre euclidi` a de la figura 12 per obtenir-lo. A continuaci´ o descrivim dues construccions molt semblants que donen varietats de dimensi´ o tres molt diferents. S´ on la varietat de Poincar´ e [15] i la de Seifert-Weber [21], que porten el nom dels seus descobridors. Comencem amb un dodec` aedre regular de R3(figura 12). Si volem identificar les cares oposades d’aquest dodec` aedre, no podem fer-ho mitjan¸cant translacions perqu` e les cares no s’avenen, cal fer-ho mitjan¸cant translacions seguides de rotacions d’angle π 5+2πk 5(amb k∈Z). La varietat de Poincar´ e´ es el resultat d’identificar les cares oposades d’un dodec` aedre regular mitjan¸cant una translaci´ o seguida d’una rotaci´ o d’angle π/5. Si canviem l’angle de rotaci´ o per 3π/5 obtenim la varietat de Seifert-Weber. Les identificacions del dodec` aedre que ens donen la varietat de Poincar´ e estan descrites a l’esquema de la figura 13. Observem que les arestes s’identifiquen en grups de tres i que els v` ertexs s’identifiquen en grups de quatre. Per tant, si volem construir una m` etrica de curvatura constant utilitzant el dodec` aedre, cal construir un dodec` aedre regular que tingui arestes amb angle diedre 2π/3 i angles s` olids als v` ertexs 4π/4=π. Aquest dodec` aedre t´ e angles superiors als angles del dodec` aedre euclidi` a i existeix a l’espai esf` eric, ´ es a dir l’esfera S3amb la m` etrica indu¨ıda per R4 (figura 14). De l’exist` encia d’aquest dodec` aedre en dedu¨ım que la varietat de Poincar´ e admet una m` etrica esf` erica (de curvatura constant igual a −1) i, equivalentment, que ´ es homeomorfa a S3/Γ,onΓ<Isom(S3)O(4)´ es un grup finit d’isometries que actua lliurement. En aquest cas Γ´ es un grup de 120 elements. Ara descrivim l’estructura geom` etrica de la varietat de Seifert-Weber. Les identificacions del dodec` aedre que ens donen aquesta varietat estan descrites a l’esquema 114 Joan Porti [3] Gabai, D. «Convergence groups are Fuchsian groups», Ann. of Math., 136 (1992), 447–510. [4] Hamilton, R. S. «Four-manifolds with positive curvature operator», J. Diff. Geom., 24 (1986), 153–179. [5] Jaco, W., Shalen, P. Seifert fibered spaces in 3-manifolds. Memoirs of the Amer. Math. Soc., vol. 220, 1979. [6] Johannson, K. Homotopy-equivalences of 3-manifolds with boundary. Lecture Notes in Math., vol. 761, Springer-Verlag, 1979. [7] Kneser, H. «Geschlossene Fl¨ achen in dreidimensionale Mannigfaltigkeiten», Jahresber. Deutsch. Math.-Verein., 38 (1929), 248–260. [8] McMullen, C. «Iterations on Teichm¨uller space», Invent. Math., 99 (1989), 425– 454. [9] McMullen, C. Renormalization and 3-manifolds which fiber over the circle. Annals of Math. Studies, vol. 144, Princeton University Press, 1996. [10] Mess, G. The Seifert fibered space conjecture and groups which are coarse quasiisometric to planes. Preprint 1988. [11] Milnor, J. «A unique factorisation theorem for 3-manifolds», Amer. J. Math. 84 (1962), 1–7. [12] Mostow, G. D. «Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of hyperbolic space forms», I. H. E. S. Publ. Math., 9 (1961), 5–22. [13] Otal, J.-P. Le th´ eor` eme d’hyperbolization de Thurston pour les vari´ et´ es fibre´ ees de dimension 3. Ast´ erisque, vol. 235, Soc. Math. de France, 1996. [14] Otal, J.-P. Thurston’s hyperbolization of Haken manifolds. Preprint 1997. [15] Poincar´e, H. «Cinqui` eme compl´ ement ` a l’analysis situs», Rend. Circ. Math. Palermo, 18 (1904), 45–110. [16] Seifert, H. «Topology of 3-dimensional fibered spaces», en A Textbook of topology, Academic Press, 1980. [17] Scott, P. «The geometry of 3-manifolds», Bull. of the London Math. Soc., 15 (1983), 401–487. [18] Scott, P. «There are no fake Seifert fibered spaces with infinite π1», Ann. of Math., 102 (1983), 35–70. [19] Thurston, W. Three-Dimensional Geometry and Topology, I. Princeton Mathematical Series, vol. 35, Princeton University Press, 1997. [20] Thurston, W. «Three dimensional Manifolds, Klenian groups and hyperbolic geometry», Bull. of the Amer. Math. Soc., 16 (1982), 357–381. [21] Weber, C., Seifert, H. «Die beiden Dodekaederra¨ume», Math. Z., 37 (1993). Departament de Matem` atiques Universitat Aut` onoma de Barcelona 08193 Bellaterra [email protected]