Un nou món creat del no-res : Un món on es pot quadrar el cercle!

Butllet´ ı de la Societat Catalana de Matem` atiques Vol. 19, n´ um. 2, 2004. P` ag. 47–83 Un nou m´ on creat del no-res. Un m´ on on es pot quadrar el cercle!∗ Agust´ ı Revent´ os i Tarrida Resum Molt s’ha escrit sobre la hist` oria del cinqu` e postulat. En aquesta presentaci´ o s’ha volgut remarcar la import` ancia del treball de J´ anos Bolyai, que, a partir d’un desenvolupament axiom` atic equivalent al seguit per Euclides, per` o canviant el cinqu` e postulat, arriba a donar l’expressi´ o de l’element de longitud d’aquesta nova geometria, i introdueix doncs, amb llenguatge que llavors no es coneixia, una m` etrica de Riemann de curvatura negativa en el pla. Aix` o frustra el cam´ ı empr´ es per Gauss en el Disquisitiones generales circa superficies curvas. Aix´ ı mateix, ´ es remarcable que acceptar o no la unicitat de la parallela impliqui que certs cercles es poden quadrar. Paraules clau: cinqu` e postulat, paral.leles, Euclides, Gauss, Bolyai, quadratura, esfera imagin` aria. Classificaci´ o AMS: 51-03; 53-03. 1 Introducci´ o Uns tres-cents anys abans de la nostra era, el gran ge` ometra grec Euclides tract` a de recopilar i sobretot ordenar l` ogicament els nombrosos resultats de geometria coneguts en el seu temps. En aquella ` epoca els grecs ja tenien clar qu` e era una demostraci´ o i obtenien nous resultats per raonaments l` ogics a partir de teoremes ja coneguts. ∗Confer` encia pronunciada el 17 de novembre de 2004 a la sala d’actes de la Facultat de Ci` encies de la Universitat Aut` onoma de Barcelona amb motiu de la festivitat de Sant Albert Magne, patr´ o de la Facultat. 48 Agust´ ı Revent´ os i Tarrida Per` o aquests teoremes havien de provenir, per la seva part, tamb´ e d’altres teoremes coneguts i aix´ ı successivament. Per tant, per poder donar una coher` encia l` ogica a l’exposici´ o dels resultats de la geometria es feia inevitable determinar quins eren els primers teoremes, ´ es a dir, en quin punt es podia comenc¸ar la cadena de raonaments que permet´ es anar demostrant nous teoremes a partir dels anteriors. Calia, doncs, trobar uns resultats o teoremes que fossin tan evidents per si mateixos que no calgu´ es demostrar-los. Per aix` o Euclides comenc¸a la seva gran obra, els Elements, amb una llista de cinc postulats, que fan el paper de primers teoremes i que s´ on tan evidents que hom els accepta sense demostraci´ o. Abans, per` o, ha donat tamb´ e 23 definicions (punt, recta, etc.) per saber de qu` e es parla i 5 regles de l` ogica o nocions comunes (el tot ´ es m´ es gran que una part, etc.). A partir d’aqu´ ı i amb un rigor que fou considerat mod` elic fins al segle xix, Euclides retroba tots els teoremes de la geometria elemental, per b´ e que algunes q¨ uestions m´ es complicades, com per exemple seccions c` oniques, tot i ´ esser conegudes a la seva ` epoca, no apareixen als Elements. En aquesta confer` encia farem un breu rep` as d’una de les hist` ories m´ es apassionants del m´ on de les matem` atiques: la hist` oria del cinqu` e postulat. Veurem com primer s’intenta demostrar a partir dels altres, despr´ es es rebutja per absurd, confonent la validesa d’un model matem` atic amb la realitat d’all` a on s’aplica, i finalment s’acaba acceptant que la geometria que es pugui fer amb el cinqu` e postulat o amb la negaci´ o d’aquest ´ es igualment v` alida. En aquesta segona geometria, que va apareixent posteriorment en els llocs m´ es inesperats de la matem` atica, tenen lloc coses curioses, de les quals en aquesta confer` encia destacarem la possibilitat de quadrar el cercle.1 2 Els Elements Els Elements, l’obra cient´ ıfica m´ es important que jamai s’hagi escrit,2consta de tretze llibres; els i,iii,iv,xi,xii ixiii tracten de geometria, els vii,viii iix tracten d’aritm` etica, i els restants, d’` algebra. Els resultats dels quatre primers llibres, el set` e i el nov` e, s´ on deguts principalment als pitag` orics, el cinqu` e i el sis` e s´ on deguts a ` Eudox (segle iv aC), i el des` e i el tretz` e s´ on de Teatet (368 aC). Contenen un total de 131 definicions i 465 proposicions.3Com a an` ecdota direm que totes les proposicions s’acaben amb el q.e.d. (quod eram demostran1 Agraeixo a Carlos Rodr´ ıguez les nombroses estones que hem passat parlant d’aquests temes, i a Eduard Gallego, Joan Girbau, Francesc Ma˜ nosas i Joan Porti, la lectura del primer esborrany d’aquestes notes. 2 A. Dou,Evoluci´ o dels fonaments de la matem` atica i relacions amb la f´ ısica. Llic¸´ o inaugural del curs acad` emic 1987–1988, Universitat Aut` onoma de Barcelona. 3 En podeu trobar una versi´ o catalana en xarxa. http://www.xtec.es/˜jdomen28/ indexeuclides.htm. Un nou m´ on creat del no-res. Un m´ on on es pot quadrar el cercle! 49 dum, tal com vol´ ıem demostrar), que tan popular s’ha fet entre els matem` atics. Euclides A l’obra ja comentada d’A. Dou hi podem llegir el comentari seg¨ uent sobre els Elements que ens sembla interessant reproduir: La geometria dels Elements ´ es una geometria que avui seria geometria f´ ısica, perqu` e per a Euclides i Arist` otil els termes de les proposicions dels Elements es refereixen amb tota exactitud als cossos naturals de la realitat del m´ on f´ ısic, amb una refer` encia ´ unica que ´ es simult` aniament immediata i ´ ultima. ´ Es una geometria que pret´ en estudiar l’estructura de l’espai f´ ısic. Recordem les 23 definicions, les 5 nocions comunes i els 5 postulats amb qu` e comenc¸a el llibre idels Elements. Definicions4 1. Un punt ´ es all` o que no t´ e parts. 2. Una l´ ınia ´ es una longitud sense amplada. 3. Les extremitats d’una l´ ınia s´ on punts. 4. Una l´ ınia recta ´ es una l´ ınia igualment distribu¨ ıda respecte als seus punts. 5. Una superf´ ıcie ´ es all` o que t´ e longitud i amplada ´ unicament. 6. Les extremitats d’una superf´ ıcie s´ on l´ ınies. 7. Una superf´ ıcie plana ´ es una superf´ ıcie igualment distribu¨ ıda respecte a les seves l´ ınies rectes. 8. Un angle pla ´ es la inclinaci´ o d’una respecte a l’altra de dues l´ ınies en un pla que es tallen i no pertanyen a la mateixa l´ ınia recta. 9. I quan les l´ ınies que formen l’angle s´ on l´ ınies rectes, l’angle es diu rectilini. 10. Quan una l´ ınia recta recolzada en una altra l´ ınia recta forma angles adjacents iguals, cadascun d’aquests angles es diu recte,ilal´ ınia recta recolzada en l’altra es diu perpendicular a aquesta. 4 Hem procurat mantenir l’estil de la redacci´ o original. 50 Agust´ ı Revent´ os i Tarrida 11. Un angle obt´ us ´ es un angle m´ es gran que un angle recte. 12. Un angle agut ´ es un angle m´ es petit que un angle recte. 13. Una vora ´ es all` o que ´ es extremitat d’alguna cosa. 14. Una figura ´ es all` o contingut per una vora o vores. 15. Un cercle ´ es una figura plana continguda per una l´ ınia tal que totes les l´ ınies rectes que surten cap a ella a partir d’un punt de la figura s´ on iguals entre elles. 16. I el punt es diu el centre del cercle. 17. Un di` ametre del cercle ´ es qualsevol l´ ınia recta dibuixada a trav´ es del centre i acabada en ambdues direccions per la circumfer` encia del cercle, i una tal l´ ınia recta tamb´ e biseca el cercle. 18. Un semicercle ´ es la figura continguda pel di` ametre i la circumfer` encia tallada per aquest. I el centre del semicercle ´ es el mateix que el centre del cercle. 19. Figures rectil´ ınies s´ on aquelles que estan contingudes per l´ ınies rectes; aix´ ı, les figures trilaterals s´ on les contingudes per tres l´ ınies rectes, les quadrilaterals s´ on les contingudes per quatre l´ ınies rectes, i les multilaterals s´ on aquelles contingudes per m´ es de quatre l´ ınies rectes. 20. D’entre les figures trilaterals, un triangle equil` ater ´ es aquell que t´ e els tres costats iguals, un triangle is` osceles ´ es aquell que t´ e´ unicament dos costats iguals, i un triangle escal` e´ es aquell que t´ e els tres costats diferents. 21. A m´ es, d’entre les figures trilaterals, un triangle rectangle ´ es aquell que t´ e un angle recte, un triangle obtusangle ´ es aquell que t´ e un angle obt´ us, i un triangle acutangle ´ es aquell que t´ e els tres angles aguts. 22. D’entre les figures quadrilaterals, un quadrat ´ es la que ´ es a la vegada equilateral i rectangle; un rectangle ´ es la que ´ es rectangle per` o no equilateral; un rombe ´ es la que ´ es equilateral per` o no rectangle; un romboide ´ es la que t´ e els costats i angles oposats iguals entre ells per` o no ´ es ni equilateral ni rectangle. I els altres quadrilaterals es diran trapezis. 23. L´ ınies paral.leles s´ on aquelles que, estant en el mateix pla i prolongades indefinidament en els dos costats, no es tallen en cap direcci´ o. Nocions comunes 1. Coses iguals a una mateixa cosa s´ on iguals entre elles. 2. Si iguals s’afegeixen a iguals els totals s´ on iguals. 3. Si iguals se sostreuen d’iguals les restes s´ on iguals. 4. Coses que coincideixen amb una altra s´ on iguals a aquesta. 5. El total ´ es m´ es gran que la part. Un nou m´ on creat del no-res. Un m´ on on es pot quadrar el cercle! 51 Postulats 1. Podem dibuixar l´ ınies rectes des de qualsevol punt a qualsevol punt. 2. Podem prolongar una l´ ınia recta finita cont´ ınuament a una l´ ınia recta. 3. Podem descriure un cercle amb qualsevol centre i dist` ancia. 4. Tots els angles rectes s´ on iguals. 5. Si una l´ ınia recta ´ es tallada per dues l´ ınies rectes de manera que els angles interiors del mateix costat sumin menys de dos rectes, i si aquestes dues l´ ınies rectes es prolonguen indefinidament, llavors es tallen en el costat on estan aquests angles que sumen menys de dos rectes. Si α+β < π, r ises tallen Comentaris als postulats Els tres primers. Observem que els tres primers postulats diuen que es vol fer la geometria del regle i el comp` as: per dos punts passa una ´ unica recta, les rectes es poden prolongar indefinidament i podem trac¸ar circumfer` encies de centre i radi arbitraris. El quart. Qu` e vol dir Euclides en el quart postulat quan escriu que tots els angles rectes s´ on iguals? No ´ es evident? Molts matem` atics pensen que amb aquest postulat Euclides volia evitar tota refer` encia al moviment. En efecte, qu` e vol dir que un angle recte de v` ertex un punt Psigui igual a un angle recte de v` ertex un altre punt Q? No es podria demostrar? (i, per tant, no seria un postulat sin´ o un teorema). Si intentem demostrar-ho, la primera cosa que se’ns acudeix ´ es posar l’angle de v` ertex Psobre l’angle de v` ertex Q. Per` o aix` o vol dir moure (!) i Euclides no ho podia fer. O s´ ı que podia? En aquella ` epoca el concepte de moviment havia estat molt i molt debatut. Recordem, si m´ es no, Zen´ o d’Elea i les seves famoses paradoxes (anomenades fal.l` acies per Arist` otil) d’Aquil.les i la tortuga o la de la fletxa que no es podia moure, ja que en un instant donat estava quieta i no es podia trencar la unitat de temps. Arist` otil a la seva Metaf´ ısica rebat els arguments de Zen´ o i distingeix entre matem` atiques i f´ ısica dient: Els objectes matem` atics estan entre les coses que existeixen a part del moviment. La f´ ısica tracta amb coses que tenen en elles mateixes el principi del moviment. 52 Agust´ ı Revent´ os i Tarrida No ´ es estrany, doncs, que Euclides es top´ es amb el problema del moviment. El cinqu` e. El cinqu` e postulat ´ es el fam´ os postulat de les paral.leles i diu essencialment que per un punt exterior a una recta hi passa una ´ unica paral.lela. El punt clau ve de la unicitat, no de l’exist` encia, ja que aquesta es pot provar a partir dels altres postulats. D’entrada, ja sorpr` en que aquest postulat tingui un enunciat tan llarg si es compara amb els altres. Molts matem` atics van pensar que es podia demostrar a partir dels altres postulats, com veurem al llarg de la confer` encia. Una manera d’intentar demostrar-lo ´ es suposar que es compleix la seva negaci´ o amb l’esperanc¸a d’arribar a contradicci´ o. Aquesta negaci´ o es pot formular aix´ ı: Cinqu` e postulat, versi´ o no euclidiana. Donats una recta i un punt exterior, passen per aquest punt m´ es d’una recta que no tallen la recta donada. ´ Es f` acil veure que si n’hi ha m´ es d’una n’hi ha infinites. D’entre totes les rectes que no tallen, les que tenen una posici´ o l´ ımit es diuen paral.leles, i les altres que no tallen es diuen ultraparal.leles. Hi ha una paral.lela per la dreta i una per l’esquerra. Primeres proposicions dels Elements Inici de la cadena. Com que el cinqu` e postulat ´ es molt conflictiu, Euclides procura no utilitzar-lo. De fet, a les primeres 28 proposicions no ´ es necessari. Reprodu¨ ım l’enunciat de les quatre primeres proposicions dels Elements, perqu` e es vegi com comenc¸a la cadena de resultats (la quarta proposici´ o´ es el criteri d’igualtat de triangles, conegut com el criteri costat-angle-costat, la demostraci´ o del qual necessita la proposici´ o 3, la demostraci´ o de la qual necessita la proposici´ o 2, la demostraci´ o de la qual necessita la proposici´ o 1). Concretament, aquestes proposicions diuen: Proposici´ o I. Sobre una l´ ınia recta finita donada, construir un triangle equil` ater. Proposici´ o II. Posar en un punt donat (com a extremitat) una l´ ınia recta igual a una l´ ınia recta donada. Proposici´ o III. Donades dues l´ ınies rectes diferents, tallar de la m´ es gran una l´ ınia recta igual a la menor. Un nou m´ on creat del no-res. Un m´ on on es pot quadrar el cercle! 53 Proposici´ o IV. Si dos triangles tenen els dos costats iguals als dos costats respectivament, i tenen els angles continguts per les l´ ınies rectes iguals tamb´ e iguals, tindran tamb´ e la base igual a la base, el triangle ser` a igual al triangle, i la resta d’angles seran iguals a la resta d’angles respectivament, concretament aquells sustentats pels mateixos costats. Per demostrar aquest resultat, en un determinat moment de la prova Euclides aplica el triangle 4ABC sobre el triangle 4A0B0C0,´ es a dir mou els triangles l’un sobre l’altre sense preocupar-se que els costats es conservin rectes. Dos mil anys m´ es tard aix` o es veur` a com un problema de rigor i aquesta demostraci´ o no s’acceptar` a totalment. Hilbert A partir de la negaci´ o del cinqu` e postulat apareixen els treballs de N. Lobachevski i J. Bolyai, que, independentment, descobreixen la geometria hiperb` olica (una geometria totalment coherent per` o que no compleix el cinqu` e postulat, vegeu la secci´ o 9). Aix` o fa necess` aria una reformulaci´ o dels Elements d’Euclides per poder demostrar amb tot rigor la validesa o no d’aquesta nova geometria. S’inicien aix´ ı diversos treballs que culminen en dues visions una mica diferents: la de F. Klein (moviment) i la de D. Hilbert (no moviment). Expliquem breument la soluci´ o de D. Hilbert. L’obra de D. Hilbert Grundlagen der Geometrie, apareguda l’any 1900, ´ es la culminaci´ o del treball de molts matem` atics, especialment de M. Pasch. La reformulaci´ o de l’obra d’Euclides consisteix essencialment a considerar que, d’entrada, tan sols tenim un parell de conjunts (ens restringim a la geometria plana), els elements dels quals no definim per` o anomenem respectivament punts irectes. Suposem llavors que entre els elements d’aquests conjunts hi ha unes certes relacions, que no definim, per` o que han de complir uns axiomes o propietats: incid` encia, ordre, continu¨ ıtat i congru` encia. Els axiomes d’incid` encia fan refer` encia al fet que per dos punts passa una recta. Els axiomes d’ordre permeten parlar de segments i els de continu¨ ıtat permeten construir els nombres reals. Els axiomes de congru` encia diuen essencialment que donat un segment AB i una semirecta d’origen C, existeix un ´ unic punt Dsobre aquesta semirecta tal que el segment AB ´ es congruent al segment CD. I quelcom semblant per a angles. Reconeixem aqu´ ı la proposici´ o 4 d’Euclides, que ha passat a ser, doncs, un axioma (dit d’una altra manera, no hi ha hagut manera d’arreglar la demostraci´ o de la quarta proposici´ o d’Euclides!). Com a contrapartida, per` o, el quart postulat d’Euclides passa a ser ara un teorema. Observem, per` o, el gran encert d’Euclides en adonar-se de la necessitat del cinqu` e postulat, ja que, com es veur` a, de la seva negaci´ o no se segueix cap contradicci´ o, com molts grans matem` atics van tractar de demostrar durant molts anys. Com han comentat diversos matem` atics: quina ironia que Euclides fos el primer ge` ometra no euclidi` a! 54 Agust´ ı Revent´ os i Tarrida 3 Quadratura del cercle (euclidi` a) Ja hem comentat que els tres primers postulats d’Euclides fan refer` encia a construccions amb regle i comp` as. Precisem qu` e volem dir quan parlem de problemes de construcci´ o. Sempre considerarem donats dos punts. Aquesta ´ es la situaci´ o de partida, i no hi ha inconvenient, doncs, a establir la dist` ancia entre aquests dos punts donats inicialment com a unitat de mesura. De manera que podem dir que, d’entrada, tenim donats dos punts a dist` ancia 1. Una recta es considera constru¨ ıda si s’han constru¨ ıt pr` eviament dos punts d’aquesta recta. Una circumfer` encia es considera constru¨ ıda si s’han constru¨ ıt pr` eviament el seu centre i un punt d’ella. Equival, doncs, tamb´ e a construir dos punts. Un punt es considera constru¨ ıt si es d´ ona com a intersecci´ o de rectes i circumfer` encies pr` eviament constru¨ ıdes. Posem-ne un exemple senzill. Construcci´ o de la mediatriu. Suposem constru¨ ıts els punts AiBde la figura. Per tant, la circumfer` encia de centre Aque passa per Bi la circumfer` encia de centre Bque passa per Aestan constru¨ ıdes. Aix´ ı, els punts CiDestan constru¨ ıts, ja que s´ on intersecci´ o de circumfer` encies constru¨ ıdes. La recta CD, que ´ es la mediatriu del segment AB, est` a, doncs, constru¨ ıda. Quadratura del cercle. Construir, amb regle i comp` as, un quadrat que tingui la mateixa ` area que un cercle donat. Podem considerar que els dos punts donats al principi s´ on el costat del quadrat, i llavors es tracta de construir un cercle d’` area 1, o podem considerar que els dos punts donats al principi s´ on el centre i un punt d’un cercle, i es tracta llavors de construir un quadrat d’` area π. Aquest es pot considerar, amb una certa unitat de mesura,5el problema m´ es dif´ ıcil dels ja resolts en matem` atiques. 5 Podr´ ıem convenir que la dificultat d’un problema ´ es directament proporcional al temps necessari per resoldre’l. En el nostre cas, uns 2.400 anys! Hi ha const` ancia escrita del problema a l’obra Els ocells d’Arist` ofanes, 414 aC. Per tant, podem assegurar que van passar m´ es de 2.295 anys. Un nou m´ on creat del no-res. Un m´ on on es pot quadrar el cercle! 55 Un regle no ´ es pas un objecte f´ ısic. Per a nosaltres, un regle ´ es qualsevol m` etode que permeti determinar el punt d’intersecci´ o de dues rectes (per tant, a partir de quatre punts donats). Un comp` as no ´ es pas un objecte f´ ısic. Per a nosaltres, un comp` as ´ es qualsevol m` etode que permeti determinar el punt d’intersecci´ o de dues circumfer` encies o d’una recta i una circumfer` encia (per tant, a partir de quatre punts donats). Si, donat un cercle de radi 1, i per tant d’` area π, volem construir un quadrat de la mateixa ` area π, el que hem de fer ´ es construir un segment de longitud l=√π. 1 Teorema (P. L. Wantzel, 1837) Els nombres reals constru¨ ıbles amb regle i comp` as s´ on algebraics6sobre Qi el seu grau ´ es una pot` encia de 2. 2 Teorema (F. Lindemann, 1882) El nombre π´ es transcendent.7 L. F. von Lindemann 1852–1939 Ara b´ e, si es pogu´ es quadrar el cercle, podr´ ıem construir un segment de longitud √πi, per tant, per procediments elementals podr´ ıem construir π, en contra dels teoremes de Wantzel i Lindemann. 4 Geometria absoluta Es coneix aix´ ı el conjunt de resultats de geometria que es dedueixen dels quatre primers postulats. Es diu que aquests resultats s´ on absoluts, ja que han de ser certs tant en la geometria euclidiana (cinqu` e postulat) com en la no euclidiana (negaci´ o del cinqu` e postulat). Des del punt de vista hist` oric tenen gran import` ancia els anomenats quadril` aters de Saccheri i Lambert, ja que es van utilitzar per intentar demostrar, sense ` exit, el cinqu` e postulat. En mirar de fer aix` o, van fer geometria sense 6 Que a∈Rsigui algebraic sobre Qvol dir que existeix un polinomi no nul amb coeficients racionals P(x) ∈Q[x], tal que P(a) =0. El grau es refereix al grau del polinomi m´ ınim que t´ e aper arrel. 7 Transcendent vol dir que no ´ es arrel de cap polinomi a coeficients racionals. 62 Agust´ ı Revent´ os i Tarrida [Teorema del sinus] sin α=sin a R sin c R [Teorema del cosinus] cos α=sin β·cos a R [Teorema de Pit` agores] cos c R=cos a R·cos b R. Qu` e passa quan R´ es molt gran? Teorema del sinus. Observem que la primera f´ ormula, quan R=1, ens diu que el sinus d’un dels angles aguts ´ es igual a sin α=sinus del catet oposat sinus de la hipotenusa. Quan R´ es molt gran podem aproximar el sinus de a Ri sinus de c Rper l’angle sin a R∼a R,sin c R∼c R, de manera que quan R7→ ∞ tenim la f´ ormula euclidiana sin α=a c, que ens diu que el sinus d’un angle ´ es igual al catet oposat dividit per la hipotenusa. Teorema del cosinus. Quan R´ es molt gran podem aproximar cos a Rper 1 de manera que quan R7→ ∞ tenim la f´ ormula euclidiana cos α=sin β, f´ ormula certa, ja que αiβs´ on angles complementaris. Teorema de Pit` agores. Quan R´ es molt gran podem aproximar, amb millor precisi´ o que abans, cos a Rper 1 −a2 2R2, de manera que quan R7→ ∞ tenim 1−c2 2R2∼(1−a2 2R2)·(1−b2 2R2). Negligint els termes on apareix R4dividint, que ja s´ on molt petits, tenim el teorema de Pit` agores euclidi` a c2=a2+b2, que ens diu que el quadrat de la hipotenusa ´ es igual a la suma dels quadrats dels catets. Un nou m´ on creat del no-res. Un m´ on on es pot quadrar el cercle! 63 6.3 Longitud d’una circumfer` encia Una circumfer` encia de centre Oi radi rsobre una esfera de radi R´ es el conjunt de punts Xde l’esfera tals que la dist` ancia entre XiO, mesurada sobre l’esfera (´ es a dir, la longitud del meridi` a que els uneix), ´ es igual a r. Podem suposar que O´ es el pol nord i llavors la circumfer` encia ´ es un paral.lel. Amb la notaci´ o de la figura es veu clar que la longitud Ldel paral.lel de colatitud α, que no ´ es m´ es que la circumfer` encia de centre el pol nord i radi r,´ es L=2πρ =2πR sin α=2πR sin r R. Si un habitant d’una superf´ ıcie de dimensi´ o dos es dedica a calcular longituds de circumfer` encies i obt´ e sempre, independentment del punt on es trobi, que la longitud d’una circumfer` encia de radi r´ es 2πR sin r R, pot concloure sense por d’equivocar-se que viu sobre una esfera de radi R. 7 L’esfera imagin` aria Ja hem comentat que Lambert suggereix que la geometria de l’angle agut correspon a la geometria sobre una esfera de radi imaginari. F. A. Taurinus12 (1794–1874) desenvolupa aquesta idea i arriba a resultats forc¸a sofisticats, especialment al c` alcul de l’angle de paral.lelisme. La idea ´ es tan simple com substituir, a totes les f´ ormules anteriors obtingudes sobre l’esfera de radi R, aquesta Rper Ri. 7.1 ` Area d’un triangle L’` area d’un triangle ´ es proporcional al defecte. Si a la f´ ormula de l’` area d’un triangle esf` eric A=R2(α +β+γ−π) =R2·Exc´ es 12 Geometriae prima elementa, 1826. 64 Agust´ ı Revent´ os i Tarrida canviem Rper Ri obtenim A= −R2(α +β+γ−π) =R2(π −α−β−γ) =R2·Defecte. ´ Es a dir, que l’` area d’un triangle de l’esfera imagin` aria ´ es proporcional al defecte.En particular, un cop fixada la unitat de mesura R, podem dir que no hi ha triangles d’` area arbitr` ariament gran. 7.2 Trigonometria Recordem la famosa f´ ormula d’Euler eix =cos x+isin x de la qual dedu¨ ım cos x=eix +e−ix 2,sin x=eix −e−ix 2i. Canviant xper ix obtenim cos ix =ex+e−x 2,sin ix =ex−e−x 2i per` o com que, per definici´ o, cosh x=ex+e−x 2,sinh x=ex−e−x 2 tenim cos ix =cosh x, sin ix =isinh x. Suposem, doncs, com hem fet a l’apartat 6.2, que tenim, sobre l’esfera de radi Ri (sigui quin sigui aquest objecte), un triangle rectangle d’angles α, β, γ = π/2, i costats a, b, c. La substituci´ o formal de Rper Ri a les f´ ormules trigonom` etriques de l’apartat 6.2 ens proporciona unes noves f´ ormules que han de ser, si aquesta geometria existeix, les f´ ormules de la trigonometria de l’esfera imagin` aria. [Teorema del sinus] sin α=sinh a R sinh c R [Teorema del cosinus] cos α=sin βcosh a R [Teorema de Pit` agores] cosh c R=cosh a Rcosh b R. D’aquestes f´ ormules podem treure ja algunes conseq¨ u` encies. Un nou m´ on creat del no-res. Un m´ on on es pot quadrar el cercle! 65 Primers resultats de geometria hiperb` olica Primera conseq¨ u` encia. Comencem pel c` alcul de l’angle de paral.lelisme. Considerem el triangle ABC rectangle en Ci denotem per αl’angle en el v` ertex A i per βl’angle en el v` ertex B. Sabem, pel teorema del cosinus, que cos α=sin βcosh a R. Si A→ ∞, allunyant-se de Csobre la recta AC, es pot veure que α→0 i tenim 1=sin βcosh a R, que ´ es la f´ ormula que ens d´ ona l’angle que forma la paral.lela a la recta AC des del punt B, que dista ade C. En particular, veiem que l’angle βdep` en nom´ es de ai escriurem β=β(a). Podem a¨ ıllar βa l’equaci´ o anterior i obtenim la f´ ormula clau de la geometria hiperb` olica: la f´ ormula de l’angle del parallelisme: [Angle de paral.lelisme] β(a) =2 arctan e−a/R. Segona conseq¨ u` encia. La suma dels angles d’un triangle ´ es m´ es petita que π. En efecte, si resolem un triangle equil` ater d’angle αi costat a, obtenim cos α=cosh a R 1+cosh a R . Per tant, α < π 3.I en particular α+α+α < π. Ara es pot veure que tot triangle d’angles α, β, γ compleix α+β+γ < π. Ja hem dit que de la difer` encia π−α−β−γse’n diu defecte del triangle, i per tant estem dient que tots els triangles de l’esfera imagin` aria tenen defecte. Tercera conseq¨ u` encia. De la f´ ormula cos β=sin αcosh b R 66 Agust´ ı Revent´ os i Tarrida dedu¨ ım que quan α→0,el costat b→ ∞, ja que sin α→0, per` o en canvi cos β no tendeix a zero, sin´ o que β→angle paral.lelisme < π/2. Per tant, ha de ser b→ ∞ i aix` o vol dir que, a difer` encia del que passa a l’esfera de radi R, les rectes hiperb` oliques s´ on de longitud infinita. Quarta conseq¨ u` encia. No hi ha triangles semblants, ja que la relaci´ o que la trigonometria ens d´ ona entre angles i costats ens permet calcular aquests costats a partir dels angles. 7.3 Longitud d’una circumfer` encia Seguint amb la nostra analogia, i d’acord amb 6.3, la longitud d’una circumfer` encia de centre Oi radi rsobre una esfera de radi Ri ´ es L=2πR sinh r R. Si un habitant d’una superf´ ıcie de dimensi´ o dos es dedica a calcular longituds de circumfer` encies i obt´ e sempre, independentment del punt on es trobi, que la longitud d’una circumfer` encia de radi r´ es 2πR sinh r R, pot concloure sense por d’equivocar-se que viu sobre una esfera de radi Ri. (Vegeu la secci´ o 11.) C. F. Gauss 8 C. F. Gauss No hi ha cap dubte que C. F. Gauss va anar molt lluny en el desenvolupament de la geometria no euclidiana. Probablement coneixia molt b´ e l’analogia de Lambert que acabem de comentar i, per tant, tenia un fil conductor que li indicava quins eren els resultats que havia d’anar trobant. Probablement pel problema de la fonamentaci´ o no va publicar res sobre aquest tema, tot i que despr´ es de la seva mort es van trobar els seus treballs sobre paral.lelisme, per` o va deixar molta informaci´ o en diverses cartes als seus amics i col.legues. Citem algunes cartes.13 13 Cap paraula de Gauss es pot desaprofitar, per` o m’he perm` es subratllar-ne algunes frases. Un nou m´ on creat del no-res. Un m´ on on es pot quadrar el cercle! 67 Carta a F. W. Bolyai (1813) Si es pogu´ es demostrar l’exist` encia d’un triangle d’` area tan gran com vulguem, aleshores es podria demostrar amb tot rigor la totalitat de la geometria euclidiana. Moltes persones prendrien aquesta proposici´ o com un axioma, per` o jo no! ´ Es possible que l’` area no arribi mai a un cert valor l´ ımit. Carta a Olbers (1817) Cada vegada estic m´ es convenc¸ut que la necessitat f´ ısica de la nostra geometria euclidiana no pot ser demostrada, almenys per la ra´ o humana [...]. Hem de posar la geometria, no en el mateix lloc que l’aritm` etica, que ´ es purament a priori, sin´ o en el mateix lloc que la mec` anica. Potser en una altra vida ens ser` a possible de penetrar en la naturalesa de l’espai; per` o ara no ´ es factible. Carta a Taurinus (1824) Pel que fa al seu intent de demostrar el cinqu` e postulat no tinc res (o no gaire) a dir, llevat que ´ es incompleta [...]. [No ´ es correcta la seva demostraci´ o que] la suma dels angles [d’un triangle] no pot ser inferior a la suma de dos angles rectes: aquest ´ es el punt cr´ ıtic, el penya-segat on es produeixen tots els naufragis. M’imagino que sobre aquest problema no hi ha estat pas molt de temps. Jo hi he estat pensant durant m´ es de trenta anys i no crec que ning´ u no hi hagi pensat m´ es que jo, tot i que no he publicat res. [...] Tots els meus esforc¸os per descobrir una contradicci´ o, una inconsist` encia, en aquesta geometria no euclidiana no han tingut ` exit, i la cosa en ella m´ es oposada a les nostres concepcions ´ es que, si fos certa, existiria en l’espai una magnitud lineal, determinada per ella mateixa (per` o que ens ´ es desconeguda). Per` o em sembla a mi que, malgrat la s` avia xerrameca dels metaf´ ısics, sabem massa poc, o quasi res en absolut, sobre la vertadera naturalesa de l’espai per considerar impossible del tot el que ens sembla poc natural. Carta a Schumacher (1831) Fa unes quantes setmanes que he comenc¸at a escriure alguns resultats de les meves meditacions sobre aquest assumpte, que provenen de quaranta anys endarrere, i de les quals no n’he redactat res, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a comenc¸ar de nou el meu treball. No voldria que aix` o mor´ ıs amb mi. Aquesta redacci´ o la va interrompre el 1832, en con` eixer el treball de J´ anos Bolyai. 68 Agust´ ı Revent´ os i Tarrida Carta a Gerling (1832) Et comento que he llegit aquests dies un petit treball d’un hongar` es, sobre geometries no euclidianes, que cont´ e totes les meves idees i resultats, desenvolupats molt elegantment. [...] L’autor ´ es un jove oficial austr´ ıac, fill d’un amic de la meva joventut, que vaig con` eixer el 1798, amb qui havia parlat del tema, per` o aleshores les meves idees no havien arribat a la maduresa i formaci´ o d’ara. Tinc aquest jove ge` ometra com un dels genis m´ es grans. 9 J´ anos Bolyai J´ anos Bolyai est` a considerat la figura m´ es gran de la ci` encia hongaresa i se’l t´ e pel Cop` ernic de la geometria. En el seu treball de 26 p` agines publicat el 1831 i citat generalment com a ap` endix, i que ´ es un ap` endix al volum idel Tentamen, la monumental monografia en dos volums del seu pare, Farkas Bolyai, va fer una troballa revolucion` aria creant l’anomenada geometria no euclidiana. Reprodu¨ ım la primera p` agina de l’ap` endix, que va ser tamb´ e reprodu¨ ıda en una moneda hongaresa encunyada l’any 2002 per a recordar els dos-cents anys del naixement de J´ anos Bolyai. Appendix. SCIENTIAM SPATII absolute veram exhibens: a veritate aut falsitate Axiomatis XI Euclidei14 (a priori haud unquam decidenda) independentem; adjecta ad casum falsitatis, quadratura circuli geometrica. Auetore JOHANNE BOLYAI de eadem, Geometrarum in exercitu Caesareo Regio Austriaco Castrensium Capitaneo Cortesia de Viktor Richter 14 El cinqu` e postulat fou l’axioma xi en diverses edicions dels Elements. Un nou m´ on creat del no-res. Un m´ on on es pot quadrar el cercle! 69 L’anvers de la moneda representa un triangle hiperb` olic projectat a l’horoesfera d’un dels v` ertexs. ´ Es un dels dibuixos de J´ anos. La voluntat de J´ anos d’estudiar la teoria de les paral.leles devia ser molt forta, ja que el 4 d’abril de 1820 va rebre una carta del seu pare que deia: Per l’amor de D´ eu! Deixa les paral.leles tranquil.les, abjura’n com d’una xerrada indecent, et prendran (com a mi) el teu temps, la salut, la tranquil.litat i la felicitat de la teva vida. Aquesta foscor sense fons pot devorar un miler d’altes torres com Newton i mai m´ es no tornar` a a brillar a la terra... J´ anos Bolyai A principis de setembre de 1823 J´ anos va ser nomenat sotslloctinent, i va ser assignat a la Direcci´ o de Fortificacions de Temesv´ ar. Des d’aqu´ ı va escriure al seu pare la carta de 3 de novembre de 1823 que va esdevenir extensament coneguda a tot el m´ on: Apreciat pare! Tinc moltes coses per escriure-us sobre els meus nous descobriments, per` o, de moment, no puc sin´ o evitar-ne la discussi´ o en profunditat aqu´ ı i us els escriur´ e en unes quartilles...Estic determinat a publicar un treball sobre les paral.leles tan aviat com l’hagi arreglat i preparat i hi hagi una oportunitat de fer-ho; de moment, encara no est` a descobert, per` o el cam´ ı que he seguit promet aconseguir la meva meta si d’alguna manera ´ es possible; encara no est` a llest per` ohe descobert coses tan superbes que jo mateix estic at` onit, i significaria una vergonya eterna deixar-ho perdre per sempre; si vost` e, apreciat pare, les veu, les reconeixer` a; ara no puc dir m´ es: de no-res he creat un m´ on nou i diferent; totes les altres coses que us he enviat s´ on com un castell de cartes comparat amb una torre. La import` ancia dels seus resultats no va ser reconeguda fins despr´ es de la seva mort i fins i tot llavors no sense resist` encia. Durant la seva vida, les seves brillants idees, que havien estat madurades a l’edat de 21 anys, no van ser enteses. Les va presentar amb la bravesa revolucion` aria de la joventut, sense por de les cr´ ıtiques de la classe dirigent cient´ ıfica. Qui s´ ı que va entendre les idees de Bolyai fou C. F. Gauss, el pr´ ıncep de les matem` atiques, que va ser injust amb J´ anos Bolyai quan va formar la seva 70 Agust´ ı Revent´ os i Tarrida opini´ o sobre l’ap` endix el 1832. Va dir, en la seva carta a Farkas Bolyai, pare de J´ anos i antic amic seu, que era incapac¸ de lloar el treball de J´ anos perqu` e seria com lloar-se ell mateix: Ara deixa’m dir una cosa sobre el treball del teu fill. Si comenc¸o dient que no el puc alabar, restar` as desconcertat. No obstant aix` o, no puc fer altra cosa: si l’alab´ es, m’alabaria a mi mateix, ja que el total contingut del treball, el cam´ ı que segueix el teu fill i els resultats a qu` e ha arribat coincideixen quasi completament amb les meves reflexions de fa trenta o trenta-cinc anys. A m´ es, una posterior conducta de Gauss ´ es tamb´ e reprensible. Quan va saber que el rus Lobatxevski15 havia descobert el mateix, en ess` encia, que J´ anos Bolyai, no va informar Lobatxevski que hi havia una altra persona que havia obtingut resultats similars. S’ha dit moltes vegades que, despr´ es del seu retir el 1833, J´ anos Bolyai va escriure poques coses, incloent-hi, aix` o s´ ı, una de molt important sobre la fonamentaci´ o dels nombres complexos, i que la manca de reconeixement el va portar a un estat de depressi´ o i que va renunciar de fet a la recerca creativa en matem` atiques. Va ser Elem´ er Kiss, professor a Marosv´ as´ arhely, qui va refutar aquesta opini´ o.16 Havent consultat els manuscrits que Bolyai ens va deixar al llarg d’una d` ecada, hi va trobar significants gemmesmatem` atiques que es podien considerar completament noves en aquell moment.17 Horoesfera L’eina descoberta per Bolyai (coneguda per Gauss i Lobatxevski) i que ´ es el punt central del seu treball, sense la qual, i sens dubte, no hagu´ es pogut fer res, ´ es el que avui coneixem per horoesfera. Gauss proposa posteriorment dirne paraesfera, per` o Bolyai no li d´ ona cap nom, simplement la defineix i li diu superf´ ıcie F. Tot i que ´ es una mica t` ecnica, deixeu-me recordar-ne la definici´ o. La primera observaci´ o´ es que hem de sortir del pla i situar-nos a l’espai. ´ Es a dir, augmentar una dimensi´ o. Fixem un raig o semirecta. Direm que dos punts AiBs´ on isogonals corresponents, o breument punts corresponents (el terme ´ es degut a Gauss), quan en considerar les semirectes paral.leles AM i BN al raig inicial es compleix que ∠MAB = ∠NBA. 15 El 1837 publica G´ eom´ etrie imaginaire i el 1840 a Berl´ ın publica un resum de Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parellellinien. El seu treball ´ es independent de Bolyai. Per` o aix´ ı com ell i Gauss eren grans matem` atics amb molt prestigi, i ja d’una certa edat, J´ anos era un noi de 21 anys. Per aix` o´ es l’heroi d’aquesta hist` oria. 16 Elem´ er Kiss,Mathematical Gems from the Bolyai Chests: J´ anos Bolyai’s Discoveries in Number Theory and Algebra As Recently Deciphered from His Manuscripts, Budapest: Akad´ emiai Kiad´ o, 1999. 17 Andr´ as Pr´ ekopa,La revoluci´ o de J´ anos Bolyai,Not´ ıcies de la SCM, 18 (2003). Un nou m´ on creat del no-res. Un m´ on on es pot quadrar el cercle! 71 Escriurem, com J´ anos Bolyai, AÈB, per denotar que AiBs´ on isogonals. Aquesta relaci´ o´ es independent del cinqu` e postulat, pertany al reialme de la geometria absoluta i t´ e les propietats reflexiva, sim` etrica i transitiva: AÈA; si AÈB, llavors BÈA; si AÈBiBÈC, llavors AÈC. Si una relaci´ o t´ e les propietats anteriors, se’n diu relaci´ o d’equival` encia. ´ Es ben conegut que qualsevol relaci´ o d’equival` encia en un conjunt d´ ona lloc a una subdivisi´ o del conjunt en subconjunts disjunts. Se’n diuen classes d’equival` encia. Ara, cada classe d’equival` encia obtinguda a partir de la relaci´ o anterior ´ es un subconjunt de l’espai, que anomenarem horoesfera. Bolyai va demostrar que, sobre l’horoesfera, la geometria euclidiana ´ es v` alida. La construcci´ o dep` en del raig inicial. M´ es precisament, si considerem com a conjunt de punts els punts de l’horoesfera i com a conjunt de rectes els horocicles (intersecci´ o amb l’horoesfera de plans que contenen el seu eix18), es compleixen els cinc postulats d’Euclides. La geometria de l’horoesfera ´ es euclidiana. La geometria euclidiana de dimensi´ o dos viu dins de la geometria hiperb` olica de dimensi´ o tres. L’horoesfera es pot considerar tamb´ e la figura a la qual tendeix una esfera quan el centre tendeix a infinit. Angle de paral.lelisme J. Bolyai obt´ e en el seu treball la f´ ormula m´ es fonamental de la geometria hiperb` olica, la que ens d´ ona l’angle de paral·lelisme en funci´ o de la dist` ancia del punt a la recta. L’analogia de Lambert ens donava tamb´ e aquesta f´ ormula, per` o J. Bolyai la demostra en tot rigor simplement a partir de la negaci´ o del cinqu` e postulat. Concretament, sigui Pun punt exterior a una recta ri sigui xla dist` ancia hiperb` olica entre Pir. Sigui Qel peu de Psobre r. Sabem que per Ppassen infinites rectes que no tallen rper` o nom´ es una per cada costat rep pr` opiament el nom de paral·lela (per la dreta o per l’esquerra), i ´ es aquella que t´ e una posici´ o l´ ımit respecte a la propietat de no tallar. ´ Es a dir, tota recta per Pque 18 Qualsevol recta paral.lela a la semirecta emprada en la definici´ o d’horoesfera es diu eix de l’horoesfera. 78 Agust´ ı Revent´ os i Tarrida Potser pel fet de ser anterior a l’obra de D. Hilbert, el treball de Battaglini encara no ´ es prou rigor´ os. Hom considera M. E. Beltrami (1835–1900) el vertader art´ ıfex de la prova de la consist` encia de la geometria hiperb` olica. Inspirat en Battaglini,24 Beltrami25 introdueix una m` etrica de Riemann (una manera de mesurar longituds) en el disc D= {z=(x, y) ∈C;|z|<1}, concretament ds2=R2(1−y2)dx2+2xydxdy +(1−x2)dy2 (1−x2−y2)2. Aix´ ı, la dist` ancia entre els punts (0,0)i(x, y) est` a donada per ρ=R 2ln 1+r 1−r, (r2=x2+y2). Aquest valor ´ es diferent de la dist` ancia euclidiana entre aquests dos punts, que seria r.´ Es a dir, que el coneixement de les coordenades d’un parell de punts no ens diu de manera immediata quina ´ es la dist` ancia entre ells. Tenim, aix` o s´ ı, una f´ ormula que ens permet calcular-la. Aix` o´ es un grau d’abstracci´ o dif´ ıcil d’assolir. El mateix A. Einstein, el 1949, tot comentant l’estat de les seves investigacions el 1908 va dir: Per qu` e es van necessitar encara set anys m´ es per a la construcci´ o de la teoria de la relativitat? La ra´ o principal rau en el fet que no ´ es tan f` acil deslliurar-se de la idea que les coordenades han de tenir un significat m` etric immediat. Amb el model de Beltrami, ´ es a dir, el disc Damb la m` etrica anterior, la geometria hiperb` olica quedava absolutament reconeguda com una m´ es de les geometries riemannianes i es tancava definitivament el problema de la seva consist` encia. 24 Vegeu J. M. Montesinos,La cuesti´ on de la consistencia de la geometr´ ıa hiperb´ olica, a: Historia de la matem´ atica en el siglo xix, 2a part. Madrid: Real Academia de Ciencias Exactas, F´ ısicas y Naturales, 1994. 25 Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea,Giornale di Matematiche, 6 (1868), 248–312. Volum seg¨ uent de la mateixa revista on va publicar Battaglini. Un nou m´ on creat del no-res. Un m´ on on es pot quadrar el cercle! 79 13 Clars de lluna Agafem prestat de la teoria de nombres26 el concepte de clar de lluna per a referir-nos al fet que la geometria hiperb` olica apareix en els llocs m´ es insospitats de la matem` atica. S´ on situacions que a primer cop d’ull poden semblar coincid` encies, per` o al darrere sempre hi ha un motiu profund. Elegim com a mostra tres d’aquestes coincid` encies. 13.1 Espai de Minkowski Si som a l’espai R3i volem calcular la norma d’un vector v=(x, y, z), que no ´ es m´ es que la dist` ancia entre els punts (0,0,0)i(x, y, z), apliquem el teorema de Pit` agores i obtenim ||v||2=x2+y2+z2. En particular, podem definir sense problemes ||v|| = +qx2+y2+z2, ja que el radicant ´ es sempre m´ es gran o igual que zero. Si volem situar un punt a l’espai i en el temps (quin lloc ocupa una certa part´ ıcula en un determinat moment), ens veiem abocats a considerar quatre dimensions: x,y,zper a l’espai i tper al temps. Podem pensar, doncs, que som a R4i escriure els punts de la forma (x, y, z, t). Quan A. Einstein (1879–1955) va idear la teoria de la relativitat especial, va escriure un fam´ os article sobre els canvis de longitud i de temps en passar d’un sistema inercial a un altre. Poc despr´ es, H. Minkowski (1864–1909) es va adonar que les transformacions considerades per Einstein (transformacions de Lorentz) es podien interpretar com a isometries de l’espai R4respecte de la norma seg¨ uent: si v=(x, y, z, t) llavors ||v||2=x2+y2+z2−t2. R4amb aquesta norma es coneix com l’espai de Minkowski i l’estudi de la cinem` atica de la relativitat especial no ´ es altra cosa que l’estudi de problemes geom` etrics en aquest espai. Tamb´ e la din` amica de la relativitat especial (que inclou la famosa f´ ormula E=mc2que relaciona la massa i l’energia) sorgeix de la necessitat de descriure els conceptes f´ ısics i les lleis que els regeixen, com a conceptes i lleis intr´ ınsecs (que no depenen d’una determinada elecci´ o de coordenades) a l’espai de Minkowski. Llavors es defineix ||v|| = qx2+y2+z2−t2, advertint que aquest valor ´ es real positiu, zero, o imaginari pur positiu (ai, amb areal positiu). 26 P. Bayer,Monstres, cordes, fantasmes i clars de lluna,Butllet´ ı de la SCM, 14, n´ um. 1. 80 Agust´ ı Revent´ os i Tarrida Els vectors amb norma zero es diuen tipus llum, i formen un con x2+ y2+z2=t2anomenat con de llum. Les rectes interiors a aquest con es diuen temporals. Aix´ ı, com que les normes poden ser nombres complexos, t´ e perfecte sentit considerar l’esfera de radi i: S(i) = {v∈R4,||v|| = i}. Aquest espai no ´ es altra cosa que l’hiperboloide (tridimensional) de dos fulls d’equaci´ o x2+y2+z2−t2= −1. ´ Es asimpt` otic i interior al con de llum. Cadascun d’aquests dos fulls ´ es un model de l’espai hiperb` olic de dimensi´ o tres. ´ Es a dir, cada full ´ es un m´ on on hi ha punts, rectes (hip` erboles) i plans (hiperboloides) que compleixen les hip` otesis de la geometria de l’angle agut. Aix´ ı com l’esfera de R3serveix per individualitzar les direccions de les rectes per l’origen, l’esfera imagin` aria que acabem d’introduir serveix tamb´ e, entre altres coses, per individualitzar les direccions per l’origen de les rectes temporals de l’espai de Minkowski. Per` o aquestes rectes representen els moviments uniformes, de manera que la geometria de l’angle agut ens d´ ona una manera de mesurar la dist` ancia entre moviments uniformes. Per a visualitzar millor aix` o prescindirem d’una coordenada (´ es a dir, mirarem quina ´ es la situaci´ o, per exemple, per a z=0). Podem pensar que som uns sers bidimensionals estudiant relativitat. L’espai de Minkowski ´ es llavors R3amb ||v|| = qx2+y2−t2 i l’esfera imagin` aria S(i) = {v∈R3,||v|| = i} no ´ es m´ es que l’hiperboloide x2+y2−t2= −1 (uns dels components connexos). Si prenem com a pla el conjunt S(i), com a punts els seus propis punts, i com a rectes les hip` erboles que s’obtenen en tallar S(i) per plans euclidians de R3que passen per l’origen, obtenim un model del pla hiperb` olic, ´ es a dir, un espai on val la geometria de l’angle agut. Resumint, l’esfera imagin` aria no ´ es m´ es que l’esfera de radi ide l’espai de Minkowski. Aquesta manera de pensar l’esfera imagin` aria ´ es molt ´ util, ja que permet pensar les isometries hiperb` oliques com a aplicacions lineals. Un nou m´ on creat del no-res. Un m´ on on es pot quadrar el cercle! 81 Hiperboloide x2+y2−t2= −1 13.2 Classificaci´ o de les varietats de dimensi´ o 3 Si pensem que vivim en un m´ on de dimensi´ o tres, pensarem tamb´ e de seguida: quants mons de dimensi´ o tres hi ha? Si tingu´ essim una llista de tots aquests mons els podr´ ıem anar estudiant per saber quin ´ es el nostre. Per a simplificar va b´ e comenc¸ar pensant en una dimensi´ o menys, ´ es a dir, preguntar-nos: quants mons de dimensi´ o dos hi ha? Uns ´ essers bidimensionals que visquessin en una esfera molt gran respecte d’ells podrien pensar que viuen en un pla, com potser alguns ´ essers humans van pensar algun cop. Si caminant sempre en la mateixa direcci´ o tornessin al lloc inicial podrien descartar que viuen en un pla, per` o no podrien concloure que estan sobre una esfera, ja que si visquessin, per exemple, sobre un d` onut, tamb´ e els podria passar aix` o. Afortunadament, els mons bidimensionals estan classificats pels matem` atics en plans, plans amb forats, esferes, d` onuts i d` onuts amb molts forats. Malauradament, la classificaci´ o dels mons tridimensionals ´ es molt m´ es complicada que la dels mons bidimensionals, tan complicada que encara ´ es un problema obert. http://astronomy.swin.edu.au/˜pbourke/surfaces/doubletorus/ 82 Agust´ ı Revent´ os i Tarrida http://mathworld.wolfram.com/TripleTorus.html Aquest problema s’ha abordat des de diferents punts de vista, per` o el gran impuls que ha rebut els darrers anys prov´ e sens dubte de l’anomenada conjectura de geometritzaci´ ode W. Thurston.27 En concret diu: Conjectura de Thurston. Tota varietat de dimensi´ o tres, compacta i sense vora es descompon de manera can` onica en fragments que s´ on hiperb` olics o fibrats de Seifert. W. Thurston G. Perelman No entrem en detalls de qu` e volen dir aquestes paraules, per` o retenim que, per a classificar les varietats compactes de dimensi´ o tres, si la conjectura fos certa, s’haurien de classificar pr` eviament els fibrats de Seifert, feina feta pel mateix H. Seifert als anys trenta,28 i les varietats hiperb` oliques de dimensi´ o tres, problema aquest encara no resolt. Aquestes varietats hiperb` oliques s´ on varietats on ´ es v` alida, almenys localment, la geometria de l’angle agut, ´ es a dir la geometria que hem presentat en aquesta confer` encia, i que normalment rep el nom de no euclidiana. Diguem finalment que en el dif´ ıcil cam´ ı cap a la prova de la conjectura de Thurston hi ha contribu¨ ıt un dels nostres companys, el professor Joan Porti, 27 Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry,Bull. of the Amer. Math. Soc., 16 (1982), 357–381. 28 Topology of 3-dimensional fibered spaces, a: Seifert and Threlfall: a textbook of topology, Nova York: Academic Press Inc., 1980. Un nou m´ on creat del no-res. Un m´ on on es pot quadrar el cercle! 83 que juntament amb M. Boileau,29 va demostrar l’anomenat teorema de geometritzaci´ o per a orbifolds, conjecturat tamb´ e per Thurston com un pas previ per a la demostraci´ o de la seva conjectura. Aquest teorema de Porti i Boileau afirma que si un grup finit actua sobre una varietat deixant punts fixos, llavors aquesta varietat satisf` a la conjectura de geometritzaci´ o. Fa gaireb´ e un parell d’anys que el matem` atic G. Perelman,30 de Sant Petersburg, va anunciar que tenia una demostraci´ o de la conjectura de Thurston. Tot i que de moment Perelman encara no ha fet p´ ublica la demostraci´ o completa, els articles que ha distribu¨ ıt el matem` atic rus fan que els especialistes siguin forc¸a optimistes. 13.3 Models cosmol` ogics La geometria hiperb` olica tamb´ e apareix en l’estudi dels models de l’univers. Un dels m´ es coneguts d’aquests models ´ es el proposat per A. G. Walker i H. P. Robertson als voltants de 1930, per mirar de donar un substrat matem` atic a les teories d’A. Friedmann: 31 sobre l’expansi´ o de l’univers. La idea, introdu¨ ıda per Einstein, ´ es considerar cada gal` axia com un punt d’un cert espai, per a estudiar d’aquesta manera l’evoluci´ o de l’univers. Per` o com que les gal` axies es mouen amb el temps, ens tornem a trobar amb la necessitat de considerar objectes quadridimensionals del tipus (x, y, z, t) per a descriure una gal` axia que ´ es en el punt (x, y, z) a l’instant t. Robertson i Walker van proposar com a model de l’univers una varietat diferenciable (objecte matem` atic abstracte) del tipus S×R, on S´ es una varietat de dimensi´ o 3. Els t´ ıpics arguments d’homogene¨ ıtat i isotropia ens diuen que sobre Shi ha una m` etrica de curvatura constant K. Actualment es fan experiments per a determinar el valor d’aquesta K.32 Si Kfos negativa, llavors la geometria de Sseria (potser nom´ es localment) la geometria hiperb` olica.33 Departament de Matem` atiques Universitat Aut` onoma de Barcelona 08193 Bellaterra (Cerdanyola) [email protected] 29 Geometrization of 3-orbifolds of cyclic type,Ast´ erisque, 272 (2001), 208 p. 30 Ricci Flow with Surgery on Three-Manifolds, 10 de marc¸ de 2003. 31 On the curvature of Space,Zeitschrift f¨ ur Physik, 1922. Demostra que el radi de curvatura de l’univers ha de ser una funci´ o creixent o peri` odica del temps. Primer va ser criticat per Einstein, per` o posteriorment Einstein va rectificar i va escriure, en el Zeitschrift f¨ ur Physik:In my previous note I criticised [Friedmann’s work On the curvature of Space]. However, my criticism, as I became convinced by Friedmann’s letter communicated to me by Mr Krutkov, was based on an error in my calculations. I consider that Mr Friedmann’s results are correct and shed new light. 32 Resultats recents diuen que K=0, ´ es a dir que l’univers ´ es pla. Vegeu El big bang: una cosmologia per al segle xxi,llic¸´ o inaugural del curs 2004–2005 de la UAB, a c` arrec de J. A. Gr´ ıfols. 33 J. Girbau,Geometria diferencial i relativitat, Bellaterra: Publicacions de la UAB, 1993, Manuals de la UAB, 10.