L'ABC de l'aritmètica

Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques Vol. 20, núm. 1, 2005. Pàg. 53–66 L’ABC de l’aritmètica∗ Xavier Xarles Resum Bona part dels últims resultats més importants en teoria de nombres, com l’últim teorema de Fermat i la conjectura de Catalan, tenen aspectes comuns que els unifica. Aquests últims anys s’ha arribat a la formulació d’una conjectura que en certa manera explicaria i generalitzaria aquests resultats, l’anomenada conjectura ABC. En aquesta exposició presentem alguns d’aquests resultats i introduïm aquesta conjectura de manera gradual. Paraules clau: conjectura ABC, Fermat, Mordell, Catalan, radical, equació diofàntica. Classificació AMS: 11D61 (11D41, 11G30, 14G05, 14H25). 1 Sumes de potències Aquests últims deu anys la gent que treballem en teoria de nombres hem vist la demostració de varis resultats que fa uns anys ens semblaven encara inabastables. Començarem per recordar potser el més famós de tots ells, demostrat per Andrew Wiles [Wi] (amb l’ajuda de Pierre de Fermat i de Richard Taylor [T-W]) l’any 1994. ∗Aquest article és una versió escrita de la conferència inaugural del curs 2004-2005 de la Secció de Matemàtiques de la UAB, feta el dia 10 de novembre de 2004. Donat que la conferència anava dirigida principalment a alumnes de la llicenciatura, he intentat que tingués un nivell comprensible i que no fos gaire tècnica. M’he basat en part en l’article d’Andrew Granville i Thomas J. Tucker [G-T], que us recomano molt especialment. 54 Xavier Xarles 1 Teorema (L’últim teorema de Fermat) Sigui n≥3. Si tenim enters x,yi ztals que xn+yn=zn aleshores xyz =0. De fet, tots sabeu que Fermat va demostrar el cas n=4, i que Wiles va demostrar un resultat molt més fort del qual es dedueix, gràcies a una idea de Gerhard Frey i a un resultat de Ken Ribet, el cas que nés un nombre primer senar qualsevol; d’aquests dos casos es demostra el resultat per a tot n≥3. Després d’aquest resultat s’han aplicat les mateixes tècniques per a demostrar resultats semblants a aquest, com per exemple el següent, de Ken Ribet [Ri], Henri Darmon i Loïc Merel [D-M]: si n≥3, i tenim enters x,yiztals que xn+yn=2zn, aleshores xyz =0 o bé x= ±y= ±z. Una altra conjectura famosa que s’ha resolt últimament ha estat l’anomenada conjectura de Catalan (vegeu l’article de Paulo Ribenboim [R]). El seu nom no té res a veure amb cap català, sinó amb qui primer la va formular, el matemàtic belga Eugène Charles Catalan, en una carta a l’editor de la revista de Crelle l’any 1844, publicada en el volum 27 d’aquesta revista. 2 Conjectura (La conjectura de Catalan) Siguin a,b,cidnombres enters més grans que 1. Si ab=cd+1 aleshores a=3,b=2,c=2id=3. L’any 1976, Robert Tijdeman, [Ti], va demostrar que la conjectura era certa si a,b,cideren prou grans (de fet va donar una fita superior per a una hipotètica solució de l’equació, però la fita era massa gran per a poder ser comprovada fins i tot amb ordinador). Finalment, el 18 d’abril de 2002, Preda Mih˘ ailescu, [Mi], va anunciar que havia trobat una demostració d’aquesta conjectura; la qual s’ha publicat en la mateixa revista on es va anunciar, 545 volums més endavant. Observeu que aquestes conjectures (ara teoremes) semblen dir que si sumem dues potències prou grans de dos nombres enters, aleshores el nombre que obtenim no pot ser una potència d’un nombre enter (observeu que 1 sempre és una potència d’ell mateix). Això és el que diu (aproximadament) la següent conjectura, formulada per primer cop, sembla ser, per Viggo Brun l’any 1914, [Br], i reformulada diverses vegades més, entre aquestes l’any 1996 per Andrew Beal, un multimilionari texà i matemàtic amateur, el qual oferí un premi de 75.000 $ per al primer que la resolgui (he de dir que no estic segur si aquesta oferta encara és vàlida). És coneguda popularment com la conjectura de Catalan-Fermat, [Ma]. 3 Conjectura (La conjectura de Catalan-Fermat) Si n,mirsón enters més grans o iguals que 3, aleshores an+bm=cr L’ABC de l’aritmètica 55 no té cap solució amb a,bicenters primers entre si i diferents de zero. És clar que aquesta conjectura implica l’últim teorema de Fermat. També implica la conjectura de Catalan posant b=1, tot i que cal estudiar els casos amb alguna potència menor que 3, que no són difícils de fer. 1 Observació La condició de ser primers entre si és necessària. Per exemple, suposem que donats a,b,nimtenim an+bm=c , multiplicant per cn+mtenim, per tant, (cma)n+(cnb)m=cn+m+1. De fet, podem trobar molts exemples amb a,bicno primers entre si. Observeu també que aquesta condició no apareixia en els enunciats dels resultats anteriors perquè en aquells casos no és necessària. En efecte, pel teorema de Fermat, si aibtenen algun factor en comú, també el té c, i si dividim tot plegat per aquest factor elevat a ntenim la mateixa equació però ara sense el factor en comú. El cas de la conjectura de Catalan encara és més clar, ja que, aicsón necessàriament primers entre sí. De fet, encara és pot afinar una mica més el possible resultat, estudiant què pot passar quan sumem potències de nombres enters. Suposem que tenim n,mirenters més grans o iguals que 2, i volem estudiar l’equació an+bm=cr, amb a,bicprimers entre si, abc 6= 0. Primer cas : Si 1/n +1/m +1/r > 1, aleshores hi ha infinites solucions. En cadascun dels casos es coneixen a més parametritzacions per a totes les solucions: •n=m=2, r≥2, ben conegut (treballeu a Z[i] o mireu [Mo, pàg. 122]). •n=m=3, r=2, resolt per Louis J. Mordell el 1969 [Mo, pàg. 235]. •n=5, m=3 i r=2, resolt en part per Frits Beukers, Steve Thiboutot i Don Zagier el 1998 [Be], i definitivament per Harold Edwards el 2001. •n=4, m=3 i r=2, resolt parcialment per Don Zagier el 1998, i Johnny Edwards el 2004, [Ed]. Segon cas : Si 1/n +1/m +1/r =1, aleshores no hi ha solucions. Tenim els casos: •n=m=4, r=2, resolt per Pierre de Fermat. •n=m=r=3, resolt per Leonard Euler. 56 Xavier Xarles Tercer cas : Si 1/n +1/m +1/r < 1, aleshores hi ha un nombre finit de solucions. Els únics casos coneguts en què hi ha solució són: •Si m > 6, la solució general 23+1m=32. •Si {n, m, r} = {2,3,7}, i totes les solucions són (Bjorn Poonen, Ed Schaefer, Michael Stoll, 2005, [PSS]): 1. 14143+22134592=657 2. 92623+153122832=1137 3. 27+173=712 4. 177+762713=210639282. •Si {n, m, r} = {2,3,8}, i totes les solucions són (Nils Bruin, 1999, [B1]): 1. 338+15490342=156133 2. 438+962223=300429072. •Si {n, m, r} = {2,3,9}, i totes les solucions són (Nils Bruin, 2003, [B2]): 1. 73+132=29. •Si {n, m, r} = {2,4,5}, i totes les solucions són (Nils Bruin, 1999, [B1]): 1. 25+72=34 2. 35+114=1222. Els únics casos en què es coneix alguna solució són així: {n, m, r} = {2,3,7},{2,3,8},{2,3,9},{2,4,5}. Es conjectura que no hi ha altres solucions. Aquesta conjectura es pot inscriure dins d’una conjectura encara molt més general, formulada per primer cop per Henry Darmon i Andrew Granville l’any 1993, [D-M]. 4 Conjectura (Fermat generalitzat) Siguin A,BiCtres nombres enters diferents de zero. Aleshores hi ha un nombre finit d’enters n,miramb 1/n + 1/m +1/r < 1i enters x,yizamb xyz 6= 0i primers entre si tals que Axn+Bym=Czr. De fet, Darmon i Granville demostren que, si fixem n,mir, hi ha un nombre finit d’enters x,yizprimers entre si i solució de l’equació. La demostració es basa en el teorema de Faltings [Fa] (també anomenada conjectura de Mordell). Més endavant comentarem una mica més aquest resultat de Gerd Faltings. Per poder entendre què podria estar passant, el que farem és estudiar el cas dels polinomis. Aquesta és una idea molt usual en aritmètica: hi ha moltes L’ABC de l’aritmètica 57 i molt profundes analogies entre els polinomis (sobre Q, sobre C, sobre un cos finit) i els enters. Aquestes analogies han estat una guia constant en la teoria de nombres els últims cent anys, començant per Richard Dedekind, David Hilbert i André Weil (vegeu per exemple la carta publicada a [Kr]), i acabant en molts dels resultats que porten entre d’altres a la geometria d’Arakelov. 2 L’ABC dels polinomis El següent resultat va ser demostrat per primer cop per Joseph Liouville el 1851, tot i que la demostració que presentem aquí és posterior. 5 Teorema (Fermat polinòmic) Sigui n≥3. Aleshores no existeixen polinomis X(t),Y (t) iZ(t) amb coeficients a C, primers entre sí, de grau més gran que 0, tals que Xn+Yn=Zn.(1) Demostració: Derivem l’equació Xn+Yn=Znrespecte a t: nXn−1X′+nYn−1Y′=nZn−1Z′, dividim per n: Xn−1X′+Yn−1Y′=Zn−1Z′.(2) Multipliquem (1) per Y′, (2) per Yi restem: Xn−1(XY′−Y X′)=Zn−1(ZY ′−Y Z′). Com que XiZsón coprimers, tenim Xn−1divideix ZY ′−YZ′. El polinomi ZY ′−YZ′no pot ser el polinomi zero, ja que si no (Z/Y)′=0, i, per tant, ZiYsón múltiples un de l’altre. Prenem graus i tenim (n −1)grau(X) ≤grau(ZY′−YZ′)≤grau(Y) +grau(Z) −1. O sigui, ngrau(X) < grau(X) +grau(Y ) +grau(Z). Podem fer el mateix amb Yi amb Z(l’equació (1) és simètrica). Obtenim tres equacions que al sumar-les ens donen: n(grau(X) +grau(Y) +grau(Z)) < 3(grau(X) +grau(Y) +grau(Z)). O sigui, n < 3.  58 Xavier Xarles L’any 1983, Richard C. Mason va descobrir una desigualtat (que ell anomena la desigualtat fonamental, i ara s’anomena el teorema ABC polinòmic) que generalitza enormement aquest resultat i amb el qual va demostrar de manera elemental tot de resultats respecte a solucions polinòmiques d’equacions. 6 Teorema (Mason 1983) Si tenim tres polinomis A(t),B(t) iC(t) de C[t], primers entre si, tals que A+B=C , aleshores max(grau(A), grau(B), grau(C)) < ♯{α∈C|αarrel de ABC}. Demostració: Prenem ∆:=     A B A′B′    =     A C A′C′    =     C B C′B′     . Podeu comprovar fàcilment (per exemple fent canvis elementals) que es verifiquen les igualtats. Observem que ∆6= 0, ja que, seguint el mateix argument que a la demostració anterior, si fos zero aleshores AiBserien múltiples un de l’altre. Suposem ara que α∈Cés una arrel de A(t) amb multiplicitat e. Per tant (t −α)edivideix Ai(t −α)e−1divideix A′, d’on (t −α)e−1divideix ∆. Així, A(t) divideix ∆Q(t −α), on el producte és respecte a totes les arrels diferents de A(t) (sense multiplicitat). Fent el mateix amb BiCobtenim finalment ABC divideix ∆Y ABC(α)=0 (t −α) . Prenem ara graus. El grau de ∆compleix grau(∆)≤grau(A) +grau(B) −1 grau(∆)≤grau(A) +grau(C) −1 grau(∆)≤grau(C) +grau(B) −1, i es clar que grau(Y ABC(α)=0 (t −α)) =♯{α∈Cαarrel de ABC}. Tot junt ens dóna el resultat.  Observem que el teorema de Fermat polinòmic es dedueix fàcilment d’aquest resultat. De la mateixa manera podem veure l’equivalent a la conjectura L’ABC de l’aritmètica 59 de Catalan-Fermat per polinomis: si n,mirsón enters més grans que 2, i X, YiZsón polinomis de C[t] coprimers que compleixen Xn+Ym=Zr, aleshores algun dels polinomis és constant (o sigui de grau zero). Anem a veure com podríem traduir aquest resultat a una conjectura per als nombres enters. 3 A la recerca de l’ABC Donat que els nombres primers són l’analogia natural pels factors irreductibles dels polinomis, potser l’anàleg que estem buscant és: Primer intent : Si a+b=camb a,bicenters primers entre si, aleshores el nombre de factors primers de ccomptats amb multiplicitat és menor que el nombre de factors primers diferents de a b c. Dit d’una altra manera, si denotem com és usual Ω(n) :=♯{pramb pprimer |prdivideix n}, aleshores, Ω(c) < ω(abc) :=♯{pprimer |pdivideix abc}. Però aquest resultat és clarament fals! Per exemple, tenim 1+3=4, i, per tant, Ω(4)=2 i ω(3·4)=2, o 1 +7=8, amb Ω(8)=3 i ω(7·8)=2. Més en general, si 2p−1 és primer (un primer de Mersenne), tenim 1 +(2p−1)=2p amb Ω(2p)=piω(2p(2p−1)) =2, i, per tant, si la conjectura fos certa, tindríem p < 2. El problema és que hem fet una mala analogia: hem considerat que l’equivalent en els enters del grau d’un polinomi és el nombre de factors primers, i aquesta analogia és massa simple. Per a comprendre millor l’analogia adequada, observarem primer el resultat següent que es dedueix fàcilment del teorema de Manson. Anem a veure com podem escriure l’ABC polinòmic per a polinomis sobre Q(de fet, sobre qualsevol cos Kde característica zero segueix essent vàlid). 7 Teorema (ABC polinòmic) Si tenim tres polinomis A(t),B(t) iC(t) de Q[t], primers entre si, tals que A+B=C , aleshores max(grau(A), grau(B), grau(C)) < X P(t)|ABC grau(P(t)) , on la suma és sobre tots els polinomis irreductibles que divideixen ABC. 60 Xavier Xarles D’aquí podem veure que potser el nostre problema ha estat pensar que tots els nombres primers tenien grau 1. Però, quin és l’anàleg del grau en els nombres enters? Doncs la resposta és fàcil quan un recorda que el grau del producte és la suma dels graus; i, per tant, la nostra funció s’ha de comportar com un logaritme. Segon intent : Si a+b=camb a,bicenters primers entre si, aleshores max{log|a|,log |b|,log |c|} ≤ X pprimer p|abc log(p) , o, equivalentment, max{|a|,|b|,|c|} ≤ Y pprimer p|abc p . Ara bé, aquest resultat no és cert, com podem veure de 1 +8=9, d’on tindríem 9 <2·3=6, i de 1 +63 =26, d’on tindríem 26=64 <2·3·7=42. Abans de donar-nos per vençuts, intentem ser una mica menys estrictes i comprovem si, multiplicant la part dreta de la desigualtat per una constant (independent de a, b, ic), la conjectura podria ser certa. Abans de fer-ho introduirem una notació que ens serà útil. Definim el radical d’un nombre enter com la part lliure de quadrats: rad(a) :=Y pprimer p|a p . Segon intent (bis) : Existeix una constant Ktal que, si a+b=camb a,bic enters primers entre si, aleshores max{|a|,|b|,|c|} ≤ Krad(abc) . (3) Però fins i tot aquesta desigualtat no és certa. Per a veure-ho anem a fer servir el petit teorema de Fermat (de fet, el teorema de Fermat-Euler): 8 Teorema (Teorema de Fermant-Euler) Si pés un nombre primer, i nes un nombre no divisible per p, aleshores per a tot r≥1tenim npr−1(p−1)≡1 mod pr. 1 Contraexemple Prenem a=2pr−1(p−1), b = −1ic=2pr−1(p−1)−1. L’ABC de l’aritmètica 61 Així tenim prdivideix c. Per tant, rad(abc) ≤2c/pr−1, i la desigualtat (3) implicaria K≥pr−1/2 per a tot nombre primer p > 2i per a tot r > 1. En aquest moment podríem llançar la tovallola, o bé fer el que els matemàtics fem a vegades quan creiem que un resultat és aproximadament cert: introduir un nombre ǫ > 0 i fer la conjectura depenent de manera adequada de ǫ. Això és el que varen fer, simultàniament, David Masser i Joseph Oesterlé, [Oe], l’any 1985. 9 Conjectura (La conjectura ABC (Masser i Oesterlé)) Per a tot ǫ > 0, existeix una constant Kǫtal que, si a+b=camb a,bicenters primers entre si, aleshores max{|a|,|b|,|c|} ≤ Kǫrad(abc)1+ǫ. S’ha de dir que els motius que tenien per a fer aquesta conjectura no eren únicament els que nosaltres hem presentat aquí. De fet, un dels objectius d’aquest escrit és explicar com aquesta conjectura està relacionada directament amb multitud de conjectures i de resultats de la teoria de nombres i la geometria aritmètica. A part d’aquesta conjectura, hi ha també versions més explícites. Per exemple, es conjectura que si prenem ǫ=1, aleshores podem prendre K1=1. Així tindríem max{|a|,|b|,|c|} ≤ rad(abc)2. A més hi ha una versió més forta de la conjectura per Alan Baker de l’any 1996 que explicaria la procedència de l’exponent ǫde la conjectura ABC: 10 Conjectura (Alan Baker) Existeixen dues constants absolutes KiLtals que max{|a|,|b|,|c|} ≤ Krad(abc)Lω(rad(abc)) on ω(N) és el nombre de primers que divideixen Nsense multiplicitat (per tant, ω(rad(abc)) =ω(a) +ω(b) +ω(c) ja que a,bicno tenen factors en comú). No és difícil veure que aquesta conjectura implica la conjectura ABC utilitzant resultats ben coneguts de la teoria de nombres analítica.