Les equacions de Navier-Stokes. Un repte al determinisme Newtonià

Butllet´ ı de la Societat Catalana de Matem` atiques Vol. 23, n´ um. 1, 2008. P` ag. 53–120. DOI: 10.2436/20.2002.01.12 Les equacions de Navier-Stokes. Un repte al determinisme newtoni` a* Xavier Mora Resum S’examina la q¨ uesti´ o de l’exist` encia i unicitat de soluci´ o de les equacions de Navier-Stokes no estacion` aries. Es posa especial ` emfasi en les implicacions filos` ofiques i la perspectiva hist` orica. L’exposici´ o pret´ en acostar-se al nucli del problema tot mantenint un llenguatge al menys t` ecnic possible. Paraules clau: equacions de Navier-Stokes, exist` encia global, unicitat, regularitat Classificaci´ o MSC2000: 35Q30, 76D03, 76D05 Un dels aspectes m´ es valorats de la ci` encia ´ es la seva capacitat de predir el futur. Per exemple, la mec` anica celeste pot predir eclipsis amb molta precisi´ o i antelaci´ o. M´ es relacionat amb el tema d’aquesta exposici´ o´ es el cas de la meteorologia; en aquest cas, no s’aconsegueix tanta precisi´ o i antelaci´ o com es voldria, per` o els resultats no deixen de ser apreciables. En aquests exemples, i en molts altres del mateix estil, la possibilitat de predir l’evoluci´ o futura d’un sistema es basa a con` eixer b´ e el seu estat present aix ´ ı com les lleis que en governen l’evoluci´ o. Matem` aticament, l’estat d’un sistema es descriu mitjanc¸ant una col.lecci´ o m´ es o menys gran de variables num` eriques, i les lleis que governen l’evoluci´ o temporal d’aquestes variables acostumen a prendre la forma d’equacions diferencials. Aquestes equacions especifiquen una relaci´ o que s’ha de complir en cada moment i que determina la velocitat de variaci´ o de les diferents variables a partir del seu valor en aquell mateix moment. En el cas de la mec` anica celeste, les variables d’estat s´ on les posicions i velocitats de desplac¸ament dels diversos astres, i les equacions diferencials en q¨ uesti´ o v´ enen donades per les lleis de Newton, a saber, que l’acceleraci´ o *Aquest article deriva de dues xerrades donades en la Trobada en honor de Carles Perell´ o : Matem` atica i Pensament(Sant Cugat del Vall` es, 16 de novembre de 2002) i en el IV Cicle de Matem` atiques Ferran Sunyer i Balaguer (Sabadell, 24 de febrer de 2005). L’article ha merescut el premi SEMA de l’any 2007 a la divulgaci´ o en matem` atica aplicada i la seva versi´ o anglesa ha estat publicada en el Bolet´ ın de la Sociedad Espa˜ nola de Matem´ atica Aplicada (n´ um. 43, 2008, p` ag. 105–169). 54 X. Mora d’un cos ´ es proporcional a la forc¸a a qu` e est` a sotm` es, i que aquesta forc¸a es pot calcular a partir de les posicions dels diversos astres mitjanc¸ant la f´ ormula que avui coneixem com a llei de la gravitaci´ o universal. Doncs b´ e, les equacions de Navier-Stokes no s´ on m´ es que les equacions diferencials que governen una altra forma de moviment, a saber, el moviment d’un fluid, com ara l’aire o l’aigua. De fet, aquestes equacions segueixen expressant la llei de Newton, forc¸a igual a massa per acceleraci´ o, encara que aqu´ ı no es considera pas un conjunt finit de part ´ ıcules, sin´ o un material continu. Una altra difer` encia respecte a la mec` anica celeste ´ es que les equacions de Navier-Stokes tenen en compte les forces de fricci´ o, les quals actuen en el sentit de frenar el moviment. En aquesta exposici´ o ens restringirem al cas especial d’un fluid incompressible, ´ es a dir, de densitat constant, que ´ es aproximadament el cas dels l´ ıquids. No cal dir que un bon coneixement del moviment dels fluids ´ es fonamental en molts camps de la ci` encia i de la tecnologia, des de la fisiologia fins a la ind´ ustria aeron` autica. Tal com hem dit, s’espera que les equacions de Navier-Stokes comparteixin amb les equacions de la mec` anica celeste la propietat de determinar l’evoluci´ o futura a partir de l’estat present. Doncs b´ e, els problemes apareixen a l’hora de donar una demostraci´ o matem` atica rigorosa d’aquesta afirmaci´ o. En el cas de la mec` anica celeste, i de moltes altres equacions diferencials, s´ ı que ´ es possible donar tal demostraci´ o. En canvi, les equacions de Navier-Stokes s’hi resisteixen aferrissadament. Malgrat els notables esforc¸os que s’han fet en aquest respecte, fins ara no ha estat possible donar una demostraci´ o rigorosa del suposat determinisme d’aquelles equacions, ni de la seva abs` encia. Les dificultats que sorgeixen en aquest problema matem` atic no estan desprove¨ ıdes de significat f´ ısic. Ja a finals del segle xix, els experimentadors m´ es acurats havien fet notar que en certes situacions els moviments dels fluids exhibien una aparent manca de determinisme. A aquest fenomen experimental se li va donar el nom de turbul` encia, ja que el que s’observa no ´ es gaire diferent del significat ordinari d’aquest terme. D’altra banda, tamb´ e´ es cert que aquesta aparent manca de determinisme podria ser senzillament el resultat d’una precisi´ o insuficient en l’especificaci´ o de l’estat inicial. De fet, avui dia sabem molt b´ e que les solucions exactes d’una equaci´ o diferencial poden ser perfectament deterministes per` o al mateix temps tamb´ e poden dependre de manera molt sensible de l’estat inicial, de manera que a la pr` actica s’observi un comportament aparentment no determinista. Vers el 1960 els meteor` olegs es van adonar clarament d’aquesta possibilitat (gr` acies a la pot` encia de c` alcul proporcionada pels ordinadors) i anys despr´ es va quedar batejada amb el nom d’efecte papallona. Doncs b´ e, en relaci´ o amb tot aix` o´ es important notar que el problema del determinisme de les equacions de Navier-Stokes es refereix a quelcom m´ es greu que un simple efecte papallona. Pel que sabem fins ara, podria ser que les solucions matem` atiques exactes de les equacions de Navier-Stokes ja no Les equacions de Navier-Stokes 55 estiguessin ben determinades! La distinci´ o entre una cosa i l’altra segurament no ´ es important des d’un punt de vista pr` actic, per` o s ´ ı que ho ´ es per a la ci` encia com a eina per a entendre el m´ on. La import` ancia del problema ha estat reconeguda per diverses persones i institucions que s’han implicat a donar una llista de reptes matem` atics per al segle xxi [72–81]. En particular, ´ es un dels set Problemes del Mil.lenni per als quals el Clay Mathematics Institute (CMI) ha establert un premi d’un mili´ o de d` olars. Tanmateix el problema concret plantejat pel CMI (vegeu [78]) no ´ es exactament el problema del determinisme. En efecte, el determinisme fa refer` encia a l’exist` encia i l’unicitat de solucions, mentre que l’enunciat del CMI fa refer` encia a la seva exist` encia i regularitat. Tal com veurem, una resposta positiva a aquesta ´ ultima q¨ uesti´ o implica una resposta positiva a la q¨ uesti´ o del determinisme, per` o la implicaci´ o inversa no ´ es certa. En aquest respecte coincidim plenament amb Olga Ladyzhenskaya [31] i altres autors que el problema realment important ´ es el del determinisme, i aquest punt de vista dominar` a la present exposici´ o. 1 Equacions diferencials i determinisme: el cas de la mec` anica celeste Per a ajudar a entendre el significat de les equacions de Navier-Stokes i de les dificultats que plantegen, ser` a bo tenir present el cas de la mec` anica celeste. En aquest cas, el fenomen que es tracta de descriure ´ es el moviment dels astres. Com ´ es natural, aquesta descripci´ o ha de comenc¸ar per donar una llista dels astres en consideraci´ o; simb` olicament, aix` o es pot fer mitjanc¸ant un ´ ındex αque prengui valors enters entre 1 i N, el nombre d’astres. D’altra banda, ´ es obvi que cal considerar la posici´ ode cadascun, la qual denotarem per xαi suposarem especificada mitjanc¸ant coordenades cartesianes x=(x, y, z). Un altre ingredient imprescindible ´ es la variable temps t. En principi, el moviment dels astres est` a descrit simplement per les funcions t,xα(t), una per a cada α. Tanmateix, per a arribar a una descripci´ o determinista, cal entrar en m´ es detalls. D’entrada, ´ es fonamental considerar la velocitat u,´ es a dir, la derivada de la posici´ o respecte al temps, u=dx/dt. Com en el cas de la posici´ o, la velocitat la suposarem especificada mitjanc¸ant coordenades cartesianes u=(u, v, w), i la velocitat de cada astre αla denotarem per uα. Si en un instant tconeixem no solament la posici´ o d’un astre sin´ o tamb´ e la seva velocitat, llavors es pot obtenir una estimaci´ o de la posici´ o d’aquell astre al cap d’un petit interval de temps. De manera an` aloga, la variaci´ o de la velocitat amb el temps porta a considerar la seva derivada du/dt, que anomenem acceleraci´ o: si en un instant tconeixem la velocitat i l’acceleraci´ o, llavors es pot obtenir una estimaci´ o de la velocitat al cap d’un petit interval de temps. Per` o l’acceleraci´ o tamb´ e pot variar amb el temps, de manera que en principi tamb´ e caldria considerar la seva derivada, i aix ´ ı successivament cap a derivades cada vegada superiors. 56 X. Mora A primera vista, sembla ben b´ e que haguem entrat en una espiral sense fi. Per` o no ´ es pas aix´ ı: tal com van descobrir Robert Hooke i Isaac Newton vers 1679–1680, resulta que en la natura hi ha unes lleis que determinen les acceleracions dels astres a partir de les seves posicions! Aix` o canvia bastant les coses: si en un instant tconeixem les posicions i velocitats dels diferents astres, llavors aquestes lleis tamb´ e ens determinen les seves acceleracions i, per tant, podem obtenir una estimaci´ o de les posicions i velocitats al cap d’un petit interval de temps; per` o a partir d’aqu´ ı podem repetir el mateix proc´ es, i aix´ ı successivament cap a temps cada vegada m´ es grans. Les lleis en q¨ uesti´ o es coneixen avui dia com la segona llei de Newton i la llei de la gravitaci´ o universal. La segona llei de Newton t´ e un car` acter molt general i ve a dir que el producte de la massa per l’acceleraci´ o d’un cos ve determinat per la suma de les forces que actuen sobre aquest cos, i que aquestes forces estan determinades per certes funcions de les posicions de tots els cossos, i possiblement tamb´ e de les seves velocitats. La llei de la gravitaci´ o universal especifica aquesta funci´ o en el cas de la mec` anica celeste. Aix´ ı, doncs, podem dir que la descripci´ o determinista del moviment dels astres es resumeix en unes equacions de la forma seg¨ uent: (dxα/dt=uα, duα/dt=fα(x1,x2,...,xN) / mα,(1) on mαdesigna la massa de l’astre α, i fα´ es una funci´ o que d´ ona la forc¸a gravitat` oria sobre l’astre αa partir de les posicions relatives de tots els altres. Concretament, aquesta funci´ o ve donada per la f´ ormula seg¨ uent: fα(x1,x2,...,xN)=X β6=α G mαmβ|xβ−xα|−3(xβ−xα), (2) on G´ es una constant universal i |v|representa la longitud d’un vector v. Conceptualment, el sistema d’equacions (1) t´ e la forma dZ/dt=F(Z). (3) En el cas que estem considerant, Zrepresenta la col.lecci´ o de totes les posicions xαi velocitats uα,´ es a dir, una col.lecci´ o de 6Nnombres, i Frepresenta la col.lecci´ o de funcions que a partir d’aquests nombres determinen els segons membres de (1). Usant una terminologia m´ es general, Zrepresenta l’estat del sistema que estem considerant, el qual pot variar amb el temps. L’equaci´ o (3) diu que en cada instant taquest estat est` a variant d’una manera concreta dZ/dtque queda determinada pel mateix valor de Zen aquell instant. Per` o el que ens interessa ´ es la possibilitat de determinar el futur a partir del present, ´ es a dir, veure si a partir de Z(0)es dedueix Z(t) per a t > 0. Si interpretem la derivada com a quocient d’infinit` esims, podem dir que l’equaci´ o (3) d´ ona aquest determinisme per a valors infinitesimals de t. Una tasca fonamental de la teoria d’equacions diferencials consisteix a passar d’aqu´ ı a Les equacions de Navier-Stokes 57 valors finits de t, i veure si ho podem aconseguir per a valors arbitr` ariament grans. Tradicionalment, es distingeixen tres aspectes del problema, a saber, l’exist` encia, la unicitat i la globalitat de la soluci´ o desitjada de (3). Quan Zconsisteix en una col.lecci´ o finita de nombres, com ´ es el cas de la mec` anica celeste, llavors estem en el camp de les anomenades equacions diferencials ordin` aries, per a les quals hi ha resultats forc¸a complets respecte a aquestes q¨ uestions. Aplicats a les equacions de la mec` anica celeste, aquests resultats garanteixen el determinisme del moviment dels astres mentre no es donin col.lisions (noteu que el segon membre de (2) no est` a ben definit quan alguna xβcoincideix amb xα). 2 Les equacions de moviment d’un fluid incompressible 2.1 D’acord amb la constituci´ o molecular de la mat` eria, podem imaginar un fluid com una multitud de petits cossos en interacci´ o. Des d’aquest punt de vista, el cas d’un fluid no seria gaire diferent de la mec` anica celeste. Tanmateix hi ha una circumst` ancia que canvia bastant les coses: ara el nombre de cossos en joc ´ es extremament gran, de l’ordre de 1023 (aquesta quantitat correspon a uns 3 g d’aigua). Evidentment, aquestes xifres fan del tot impensable portar a la pr` actica la descripci´ o que hem fet en la secci´ o precedent: encara que compt´ essim amb tota la capacitat d’emmagatzematge inform` atic actualment existent al nostre planeta, aix` o nom´ es permetria especificar l’estat inicial d’uns pocs micrograms d’aigua. Davant d’aix` o, no hi ha altre remei que adoptar un punt de vista menys detallat. Concretament, el que farem ser` a considerar el fluid no com un conjunt discret de mol` ecules, sin´ o com una distribuci´ o cont ´ ınua de mat` eria per l’espai. Comparant-ho amb el cas de la mec` anica celeste, ara la variable αque indexa les part ´ ıculesen interacci´ o no estar` a restringida a un conjunt finit, sin´ o que la deixarem variar de manera cont´ ınua. Contr` ariament al que pot semblar a primera vista, encara que αvari¨ ı ara dins d’un conjunt infinit, el model que obtindrem ser` a bastant m´ es tractable que un conjunt finit, per` o molt gran, de part´ ıcules en interacci´ o. Com en el cas de la mec` anica celeste, en principi el moviment del fluid est` a especificat per una funci´ o de αit, a saber, la posici´ o de cada part´ ıcula α en l’instant t. A causa del car` acter continu de la variable α, ara preferirem escriure x(α, t) en lloc de xα(t), per` o aix` o nom´ es ´ es q¨ uesti´ o de notaci´ o. Una hip` otesi forc¸a natural que adoptarem ´ es que dues part ´ ıcules diferents no poden estar simult` aniament en la mateixa posici´ o, ´ es a dir, l’aplicaci´ oα,x(α, t) ´ es injectiva en tot instant t. Tamb´ e suposarem que el fluid omple sempre una regi´ o determinada (´ es a dir, un conjunt obert i connex) de l’espai; aquesta regi´ o i la seva frontera, les denotarem respectivament per Ωi∂Ω. En aquestes condicions, la funci´ ox(α, t) defineix un canvi de variables (α, t) ↔(x, t) el qual fa adient passar a un nou context on les variables independents no seran la part ´ ıcula αi el temps t, sin´ o la posici´ ox∈Ωi el temps t. Entre les variables 58 X. Mora que depenen de xitdestaca especialment la velocitat u; per definici´ o, u(x, t) vol dir la velocitat en l’instant tde la part´ ıcula que en aquell moment es troba en la posici´ ox. At` es que el que ens interessa ´ es veure si el futur del fluid queda determinat a partir del seu present, les variables independents xittenen papers diferents. Tot reflectint aix` o, les funcions de xittendirem a mirar-les com a funcions de xles quals varien amb el temps t. Simb` olicament, en lloc de funcions (x, t) ,f(x, t), tendirem a pensar en termes de funcions t,f(t) en qu` e cada valor f(t) representa una funci´ o de x(a saber, la funci´ ox,f(x, t)). En particular, la velocitat ens la mirarem com un camp vectorial que varia amb el temps (aqu´ ı resulta molt adient la terminologia cl` assica en la qual les funcions de la posici´ o s´ on anomenades camps). 2.2 Tal com veurem de seguida, la naturalesa del problema comporta un ´ us extensiu de les eines del c` alcul infinitesimal, especialment les que fan refer` encia a funcions de diverses variables, com ara les derivades parcials i les integrals de volum i de superf´ ıcie. T´ ıpicament, aquestes eines impliquen unes certes hip` otesis de regularitat sobre les funcions en q¨ uesti´ o, i tamb´ e sobre les regions i superf ´ ıcies d’integraci´ o. A aquest respecte, conv´ e distingir entre les hip` otesis de regularitat que fan refer` encia a les dades del problema, com ara la regi´ oΩ i la seva frontera ∂Ω, i les que fan refer` encia a les inc` ognites, especialment el camp de velocitats u. En aquest segon cas, les hem de considerar com a hip` otesis de treball que resten pendents d’una confirmaci´ o a posteriori. En gran part, la dificultat del problema radica precisament en el fet que algunes d’aquestes ´ ultimes hip` otesis no arriben a trobar confirmaci´ o. En alguns casos, aix` o no ´ es tan greu, ja que es resol mitjanc¸ant l’adopci´ o de certes versions generalitzades de les nocions en q¨ uesti´ o (de manera an` aloga a com l’equaci´ o num` erica x2=2 porta a estendre la noci´ o de nombre, passant dels nombres racionals als nombres reals). Entre les nocions generalitzades que resulten adients en aquest sentit destaquen sobretot la integral de Lebesgue i les derivades febles. De fet, es pot dir que les equacions de Navier-Stokes han tingut un paper hist` oric important com a font de motivaci´ o per al desenvolupament d’aquestes t` ecniques avui dia habituals, especialment les derivades febles. En altres casos, el problema ´ es m´ es greu, ja que no sembla adient cap generalitzaci´ o que elimini la necessitat de la hip` otesi en q¨ uesti´ o, i d’altra banda tampoc s’aconsegueix confirmar la seva validesa. A aquest respecte, l’esperit d’aquesta exposici´ o´ es no entrar en aquests tecnicismes mentre no sigui absolutament necessari (diguem que tota funci´ o ´ es prou regular fins que no es demostri el contrari). En particular, no filarem gaire prim respecte a les hip` otesis de regularitat que hagin de satisfer les dades del problema, ja que els resultats existents no milloren substancialment per regulars que siguin les dades. D’altra banda, pel que fa a les inc` ognites, Les equacions de Navier-Stokes 59 de moment adoptarem la hip` otesi de treball que s´ on tan regulars com convingui, i m´ es endavant ja farem les rectificacions que calgui. 2.3 Tal com ja hem dit, restringirem la nostra consideraci´ o al cas d’un fluid homogeni i incompressible. Per definici´ o, aix` o vol dir que la densitat ρes mant´ e constant, ´ es a dir, independent de xit. Combinada amb el principi de conservaci´ o de la massa, aquesta hip` otesi imposa una restricci´ o fonamental sobre el camp de velocitats. A continuaci´ o ens entretindrem una mica a veure com es dedueix aquesta restricci´ o. Aix` o ens servir` a per introduir certes nocions i t` ecniques b` asiques que m´ es endavant tornaran a apar` eixer en altres contextos m´ es complicats. Una primera idea fonamental ´ es que per a poder parlar de massa no ens podem fixar nom´ es en un punt xde Ω, sin´ o que cal considerar parts m´ es substancials de Ω, les quals denotarem gen` ericament per ω. El conjunt de possibles eleccions de ωel denotarem P(Ω). Per als nostres prop` osits ser` a suficient prendre com a P(Ω)el conjunt de totes les boles i cubs continguts a Ω. Doncs b´ e, considerem la quantitat de massa continguda a una regi´ oω∈ P(Ω). A causa de la hip` otesi que el fluid t´ e una densitat constant, independent de la posici´ oxi del temps t, aquesta quantitat de massa ser` a sempre la mateixa, a saber, el volum de ωmultiplicat per la densitat del fluid. Noteu que aquesta afirmaci´ o deriva simplement del fet que estem suposant una densitat constant aix ´ ı com una regi´ o fixa ω. Fins aqu ´ ı encara no hem aplicat el principi de conservaci´ o de la massa, per` o ara s ´ ı que ho farem. Segons aquest principi, la massa no es pot crear ni destruir. En particular, no pot apar` eixer ni desapar` eixer a l’interior de ω; el que pot fer, aix` o s ´ ı, ´ es entrar o sortir a trav´ es de ∂ω a causa del moviment del fluid. Aix ´ ı, doncs, independentment del fet que ja sabem que la massa continguda a ωes mant´ e constant, la seva variaci´ o ha de ser igual al flux net de massa a trav´ es de ∂ω. Per tant, dedu¨ ım que aquest flux ha de ser nul, ´ es a dir, que s’ha d’anul.lar la integral de superf´ ıcie R∂ω ρ u⊥dS, on u⊥ representa (per a cada x∈∂ω) el nombre que d´ ona la projecci´ o del vector u en una direcci´ o perpendicular i exterior a ∂ω. Per a obtenir aquesta integral nom´ es cal adonar-se que en un petit interval de temps dtles part´ ıcules que surten de ωa trav´ es d’un petit element de superf´ ıcie d’` area dSformen un petit cilindre de volum u⊥dSdt. Aix ´ ı, doncs, aquesta integral ha de ser sempre nul.la, o el que ´ es equivalent, at` es que ρ´ es una constant no nul.la, el camp de velocitats ha de complir la condici´ o Z∂ω u⊥dS=0,∀ω∈P(Ω). (4) En aquest punt entra en joc una altra eina fonamental, a saber, el teorema de la diverg` encia. Segons aquest teorema, una integral de superf ´ ıcie de la forma R∂ω u⊥dS´ es igual a la integral de volum Rω∇·udV, on ∇·urepresenta la quantitat ∂u/∂x +∂v/∂y +∂w/∂z, la qual rep el nom de diverg` encia del camp vectorial u. Aplicant aquest resultat, la condici´ o (4) pren, doncs, la forma 60 X. Mora seg¨ uent: Zω∇·udV=0,∀ω∈P(Ω). (5) El seg¨ uent pas es basa en el car` acter arbitrari de la regi´ oω. Considerant regions ωcada vegada m´ es petites al voltant d’un punt x, no costa gaire de concloure que la funci´ o que estem integrant s’ha d’anul.lar en cada punt de Ω: ∇·u=0,∀x∈Ω. (6) Aix´ ı, doncs, el camp de velocitats ha de tenir diverg` encia nul.la a tot arreu. Els camps vectorials que compleixen aquesta condici´ o s’anomenen camps soleno¨ ıdals. Tal com hem vist, aquesta condici´ o´ es una versi´ o local de la condici´ o integral (4), la qual expressa el principi de conservaci´ o de la massa en el cas particular d’un fluid incompressible. 2.4 Una altra equaci´ o fonamental per a descriure el moviment d’un fluid deriva de consideracions similars respecte de la quantitat de moviment en lloc de la massa. Els detalls s´ on aqu ´ ı una mica m´ es complicats, per` o essencialment es tracta del mateix tipus d’argumentaci´ o. Aix´ ı com la quantitat de massa continguda a ωve donada per l’escalar RωρdV, la quantitat de moviment ve donada pel vector RωρudV. Com en el cas de la massa, el moviment del fluid tamb´ e comporta un transport de quantitat de moviment a trav´ es de ∂ω. Per` o la quantitat de moviment no t´ e per qu` e mantenir-se constant, ni en una regi´ o fixa de l’espai, com ´ es ω, ni tampoc en una part material del fluid (un conjunt fix de valors de α, el qual es mou per l’espai). Tanmateix, la segona llei de Newton assegura que la quantitat de moviment d’una part material de fluid experimenta una variaci´ o que ve donada per les forces que actuen sobre la part de fluid en q¨ uesti´ o. D’aquestes forces n’hi ha de dos tipus: les que actuen a dist` ancia, com ´ es el cas de la gravetat, i les que actuen per contacte a trav´ es de ∂ω, les quals estan associades a les nocions de pressi´ o i de fricci´ o. Si en lloc d’una part material de fluid considerem una regi´ o espacial fixa ω, llavors cal afegir el terme de transport a trav´ es de ∂ω. Tot plegat, s’arriba a l’equaci´ o seg¨ uent: d dtZωρudV+Z∂ω ρuu⊥dS=ZωfdV+Z∂ω Te⊥dS, ∀ω∈P(Ω). (7) El primer terme cont´ e la derivada de la quantitat de moviment continguda aω, mentre que els altres tres corresponen respectivament, d’esquerra a dreta, al transport a trav´ es de ∂ω, les forces a dist` ancia i les forces de contacte. Les forces a dist` ancia es representen mitjanc¸ant un camp vectorial famb dimensions de forc¸a per unitat de volum, mentre que les forces de contacte requereixen una descripci´ o m´ es complicada: e⊥representa el vector unitari perpendicular i exterior a ∂ω, i Te⊥representa un vector, amb dimensions de forc¸a per unitat d’` area, el qual s’obt´ e a partir de e⊥mitjanc¸ant una aplicaci´ o Les equacions de Navier-Stokes 61 lineal Tque en general dependr` a de la posici´ ox(i del temps t); aquesta aplicaci´ o lineal s’anomena tensor d’esforc¸os i en coordenades cartesianes ve donada per una matriu sim` etrica. L’equaci´ o (7) expressa la segona llei de Newton. De manera an` aloga al paper de la llei de gravitaci´ o universal en la mec` anica celeste, aqu´ ı tamb´ e cal suplementar-la amb alguna informaci´ o que determini fiTen cada punt x. Pel que fa a f, suposarem senzillament que en coneixem directament la depend` encia respecte a xit. Pel que fa a T, la situaci´ o´ es m´ es complicada, no ja pel car` acter tensorial d’aquesta variable, sin´ o perqu` e la seva depend` encia respecte xit´ es, parcialment, a trav´ es del camp de velocitats u(at` es que les forces de fricci´ o entre dos cossos en contacte depenen de la velocitat relativa d’un respecte a l’altre). En els fluids habituals, la llei que relaciona el tensor d’esforc¸os Tamb el camp de velocitats ut´ e la forma seg¨ uent (per brevetat, escrivim directament una f´ ormula especialitzada per al cas incompressible): T= −pI+µ (∇u+(∇u)t). (8) Els dos termes d’aquesta f´ ormula corresponen respectivament a les nocions de pressi´ o i fricci´ o. La pressi´ op´ es una variable escalar que dep` en directament de xit; aquesta variable apareix multiplicant a I, que representa la matriu identitat. Les forces de fricci´ o v´ enen donades pel segon terme, on ∇u representa la matriu que cont´ e les derivades de (u, v, w) respecte a (x, y, z), (∇u)trepresenta la transposta de la matriu anterior i µ´ es un coeficient positiu caracter´ ıstic de cada fluid que s’anomena viscositat. Per a m´ es detalls sobre el significat de les equacions (7) i (8) i dels seus diferents termes, referim el lector a [67]. A continuaci´ o passarem de l’equaci´ o integral (7), v` alida per a una regi´ o ωarbitr` aria, a una equaci´ o diferencial v` alida en cada punt x. Aix` o es fa de manera an` aloga a com ho hem fet en la secci´ o anterior, ´ es a dir, basant-nos en el teorema de la diverg` encia i en el car` acter arbitrari de la regi´ oω. En aquest cas tamb´ e cal alguna manipulaci´ o addicional, com ara aplicar la relaci´ o d(RωρudV)/dt=Rωρ (∂u/∂t) dV(que val si u´ es prou regular), dividir per la constant ρi utilitzar les relacions (8) i (6). Tot plegat acaba per donar una equaci´ o vectorial que s’acostuma a escriure en la forma seg¨ uent: ∂u/∂t +(u·∇)u=f−∇p+ν∆u,∀x∈Ω. (9) Aqu´ ı, ∇prepresenta el gradient de p,´ es a dir, el vector de coordenades (∂p ∂x ,∂p ∂y ,∂p ∂z ),∆representa l’operador de Laplace ∂2 ∂x2+∂2 ∂y2+∂2 ∂z2iu·∇ representa l’operador diferencial u∂ ∂x +v∂ ∂y +w∂ ∂z . Aquests dos ´ ultims operadors s’apliquen separadament a cada component de u. Finalment, νrepresenta el quocient µ/ρ, que s’anomena viscositat cinem` atica, i fips´ on les mateixes que abans per` o dividides per la constant ρ(alternativament, podem imaginar que hem escollit les unitats de manera que ρsigui igual a la unitat). Noteu que el primer membre de (9) no ´ es altra cosa que l’acceleraci´ o de la 68 X. Mora 4.2 A continuaci´ o introdu¨ ım breument les nocions b` asiques que ens interessen de l’an` alisi funcional i les notacions que utilitzarem en aquest respecte. Recordem que els objectes que ens interessen s´ on funcions sobre Ω, especialment funcions amb valors a Rn—com ´ es el cas del camp de velocitats u. Aquestes funcions formen certament un espai vectorial, per` o a difer` encia de Rnaquest espai no disposa d’una base finita. Tot i aix ´ ı, s’hi poden estendre diverses eines forc¸a ´ utils. Per comenc¸ar, ens interessa la noci´ o de norma, que ve a estendre la noci´ o de longitud d’un vector de Rn. Una norma no ´ es m´ es que una manera adient de mesurar la magnitud d’un vector. Per als vectors que ens interessen aqu ´ ı, a saber, funcions sobre Ω, podem escollir entre m´ ultiples opcions, entre les quals destacarem la norma del suprem kuk∞=supx∈Ω|u(x)|i la norma quadr` atica kuk2=(RΩ|u(x)|2dV)1/2, on |w|denota la longitud d’un vector wde Rn. La norma quadr` atica ´ es especialment significativa en el problema que ens ocupa, ja que el seu quadrat ´ es essencialment l’energia cin` etica (nom´ es manca multiplicar per la constant ρ/2). Fent joc amb la norma quadr` atica, resulta molt ´ util considerar tamb´ e l’operaci´ o que donats dos camps vectorials u,vels assigna el nombre hu,vi = RΩu(x)·v(x)dV, on w·w0denota el producte escalar de dos vectors wiw0 de Rn. En particular, hu,ui=kuk2 2. Aquesta operaci´ o rep el nom de producte escalar (o producte intern) dels camps vectorials uiv, ja que t´ e propietats an` alogues al producte escalar de vectors de Rn. Per analogia amb aquest ´ ultim cas, el producte escalar funcional que acabem de definir d´ ona lloc a una noci´ o d’ortogonalitat, la qual resulta especialment ´ util en el problema que ens ocupa. Per definici´ o, dos camps vectorials uivs´ on ortogonals quan hu,vi = 0. D’altra banda, de vegades no es tracta tant de saber si hu,vi´ es nul com de saber si ´ es positiu o negatiu, ´ es a dir, si l’angle format per uiv´ es agut o b´ e obt´ us. Cada norma d´ ona lloc a una dist` ancia, la qual determina una topologia. Per definici´ o, la dist` ancia entre uiv´ es la magnitud de la seva difer` encia, ´ es a dir, ku−vk. Contr` ariament al que passa en els espais vectorials de dimensi´ o finita, una successi´ o de funcions pot ser convergent en una norma i no ser-ho en una altra. Similarment, si tenim un camp vectorial uque varia amb el temps, aquesta variaci´ o pot ser cont ´ ınua en una norma i discont ´ ınua en una altra. Aix ´ ı, doncs, l’elecci´ o de la norma pot ser crucial a l’hora d’analitzar els diversos aspectes del problema que ens ocupa. D’altra banda, de cara a assegurar l’exist` encia de solucions de determinades equacions, tamb´ e´ es crucial situar-se en un espai complet (´ es a dir, un espai on les successions de Cauchy siguin convergents). En altres paraules, cal situar-se en algun espai de Banach (espai normat complet) o de Hilbert (cas en qu` e la norma deriva d’un producte escalar). Malauradament, la completesa est` a renyida amb la regularitat que hem adoptat com a hip` otesi de treball a §2.2 : les funcions molt regulars no constitueixen pas espais complets en les normes que ens interessen (com ara kuk∞okuk2). Aix` o fa necessari desenvolupar Les equacions de Navier-Stokes 69 certes construccions de compleci´ o, o el que ´ es equivalent, de clausura dins de certs espais complets ja coneguts. Entre aquests ´ ultims s’hi compten els espais C(Ω)iL2(Ω). L’espai C(Ω), que utilitza la norma del suprem kuk∞, est` a format senzillament per totes les funcions que s´ on cont´ ınues i acotades sobre Ω. L’espai L2(Ω), que utilitza la norma quadr` atica kuk2i el producte escalar hu,vi, est` a format per totes les funcions sobre Ωque tenen quadrat integrable en el sentit de Lebesgue (tot identificant les funcions que nom´ es difereixen en un conjunt de mesura nul.la). En general estar` a clar pel context si ens estem referint a funcions amb valors aRo a Rn, per` o si ´ es necessari ho especificarem mitjanc¸ant notacions com ara L2(Ω,Rn). A m´ es de constituir un punt de partida natural per a les construccions de compleci´ o que determinen els espais on cal buscar les solucions, les funcions regulars tamb´ e juguen un altre paper fonamental, d’alguna manera dual del precedent, en la definici´ o que donarem m´ es endavant de la noci´ o de soluci´ o feble. En relaci´ o amb aix` o, ser` a´ util fixar certs conjunts concrets de funcions regulars. D’alguna manera es tracta d’especificar qu` e entenem per una funci´ o regular i de distingir aquelles que compleixen certes condicions que ens interessen, com per exemple anul.lar-se a ∂Ωi a l’infinit. D’altra banda, els resultats que s’obtenen mitjanc¸ant l’´ us d’aquests conjunts s´ on relativament independents de la manera exacta com s’hagin definit. Per als nostres prop` osits, ser` a suficient considerar els conjunts seg¨ uents de funcions de x∈Ω: D(Ω):el conjunt format per les funcions sobre Ωque s´ on infinitament derivables, amb derivades successives acotades, i que s’anul.len quan |x|supera un cert valor (el qual pot variar segons la funci´ o; aquesta ´ ultima condici´ o´ es buida quan Ω´ es acotat). D(Ω):el subconjunt de D(Ω)format per les funcions que s’anul.len a tot un entorn de ∂Ω(el qual pot variar segons la funci´ o); d’aquestes funcions es diu que tenen suport compacte (dins de l’obert Ω). D σ(Ω):el subconjunt de D(Ω,Rn)≃D(Ω)nformat pels camps vectorials soleno¨ ıdals (´ es a dir, els que tenen diverg` encia nul.la). D’altra banda, tamb´ e caldr` a considerar funcions regulars de x∈Ωit∈[0, T ). A aquest respecte farem ´ us dels conjunts seg¨ uents, on X(Ω)pot ser D(Ω), D(Ω)oD σ(Ω), i el valor de Testar` a clar pel context: e X(Ω):el conjunt format per les funcions de x∈Ωit∈[0, T) que s´ on infinitament derivables respecte a ambdues variables i pertanyen aX(Ω)per a cada t∈[0, T ). 5 Aproximacions successives i solucions cl` assiques 5.1 Els primers resultats sobre l’exist` encia i unicitat de solucions (exactes) de les equacions de Navier-Stokes van ser obtinguts pel suec Carl Oseen 70 X. Mora dins d’una s` erie d’articles publicats a partir del 1907. En un d’ells, aparegut el 1910 [12: § II.3], Oseen va obtenir les solucions per a Ω=R3mitjanc¸ant un procediment que Joseph Liouville (1830), ´ Emile Picard (1890) i altres autors ja havien aplicat amb ` exit a altres equacions diferencials i que avui dia ´ es forc¸a habitual, especialment en el cas d’equacions diferencials ordin` aries. Tradicionalment se’l coneix com a m` etode d’aproximacions successives, encara que aquest nom tamb´ e seria aplicable a qualsevol altre m` etode en qu` e la soluci´ ous’obtingui com a l´ ımit d’alguna successi´ oum(m=1,2, . . .). El que ´ es caracter ´ ıstic del m` etode d’aproximacions successives ´ es que aquesta successi´ o respon a un proc´ es iteratiu en el qual cada aproximaci´ oum(m>1)es determina a partir de l’anterior um−1(la primera aproximaci´ ou1ser` a totalment arbitr` aria). M´ es concretament, cada pas de la iteraci´ o consisteix a resoldre un problema lineal (no homogeni) relacionat amb el que ens interessa. Dins d’aix` o, encara hi ha diverses variants; de fet, la que descriurem a continuaci´ o ´ es diferent de la utilitzada per Oseen. Recordem que ens interessa resoldre el problema (14), el qual reescrivim a continuaci´ o amb un petit canvi en l’ordre dels termes de (14.1): ∂u/∂t −ν∆u+∇p= −(u·∇)u,∇·u=0, u|∂Ω=0,u|∞=0,u|t=0=u0. (14) Doncs b´ e, per a acostar-nos gradualment a les solucions d’aquestes equacions ens basarem a saber resoldre el seg¨ uent problema lineal no homogeni: ∂u/∂t −ν∆u+∇p=f,∇·u=0, u|∂Ω=0,u|∞=0,u|t=0=u0,(15) on f´ es una funci´ o donada de xit. 5.2 El problema (15) ´ es molt af ´ ı a l’equaci´ o de la calor ∂u/∂t −ν∆u=famb condicions suplement` aries an` alogues a les de (15) (llevat de (15.2), ja que la inc` ognita de l’equaci´ o de la calor ´ es un camp escalar). En el fons, la resoluci´ o de (15) consisteix a combinar la resoluci´ o del problema de la calor amb la descomposici´ o de Stokes-Helmholtz que hem considerat a §3.1. En resum, resulta que la soluci´ o de (15) es pot expressar mitjanc¸ant una f´ ormula del tipus u(t) =Γ (t) ∗u0+Zt 0 Γ (t−s) ∗f(s) ds, (16) on Γ (t) representa una matriu n×nque dep` en de ti de dues variables espacials x,y∈Ω, i, per a un camp vectorial varbitrari, Γ (t)∗vrepresenta l’operador integral de nucli Γ (t),´ es a dir, (Γ (t) ∗v)(x)=ZΩ Γ (x,y, t) v(y)dV(y). (17) Per a Ω=Rn, la depend` encia de Γrespecte a les dues variables espacials x,y ´ es a trav´ es de la seva difer` encia x−y(de manera que la integral Γ (t) ∗v Les equacions de Navier-Stokes 71 correspon llavors a la noci´ o de convoluci´ o, que ´ es el sentit habitual del s ´ ımbol ∗). Per` o mentre poguem no voldr´ ıem excloure el cas Ω≠Rn, de manera que mantindrem la forma general Γ (x,y, t). 5.3 Certament, les equacions (14) es poden veure com un cas particular de (15) en qu` ef= −(u·∇)u. Aplicant la f´ ormula (16) se’n dedueix que u´ es soluci´ o de (14) si, i nom´ es si, compleix la seg¨ uent equaci´ o integral: u(t) =Γ (t) ∗u0−Zt 0 Γ (t−s) ∗((u(s)·∇)u(s)) ds. (18) Noteu que en aquesta equaci´ o no apareix pas la derivada de urespecte a t, ni tampoc cap derivada de segon ordre respecte a x. Per tant, a l’hora de plantejar-se si una funci´ ou´ es o no soluci´ o de (14) o de (18), aquesta ´ ultima equaci´ o´ es menys exigent en la regularitat que cal suposar d’entrada sobre u. D’altra banda, si ut´ e un m´ ınim de regularitat, per exemple si t´ e derivades espacials cont´ ınues i acotades, llavors el fet de ser soluci´ o de (18) implica autom` aticament la regularitat requerida per (14) i el compliment d’aquesta equaci´ o. Aix` o es deu a un efecte regularitzador de l’operador Γ. 5.4 A continuaci´ o transformarem l’equaci´ o (18) en una altra d’equivalent que ´ es encara menys exigent en la regularitat que demana a u. Aquest pas no ´ es estrictament necessari, per` o simplifica el tractament subseq¨ uent (en particular permet tractar alhora els casos n=2 i n=3). El que farem ser` a transformar l’expressi´ oΓ (t−s) ∗((u(s)·∇)u(s)) de (18) en una altra que resulta equivalent sempre que u´ es soluci´ o. En efecte, en aquest cas es compleix ∇·u=0, de manera que l’expressi´ o(u·∇)ues pot reescriure de la manera seg¨ uent (on els diversos components d’un vector els indiquem mitjanc¸ant sub ´ ındexs): Pkuk∇kuj=Pk∇k(ukuj). Aix` o d´ ona peu a una integraci´ o per parts dins de la integral indicada pel s´ ımbol ∗, la qual cosa transfereix l’operador diferencial ∇kaΓ (t−s). Com a resultat d’aquestes manipulacions, arribem a una nova equaci´ o integral que es pot escriure aix´ ı: u(t) =Γ (t) ∗u0+Zt 0∇yΓ (t−s) ∗u(2)(s) ds, (19) on u(2)representa el tensor d’energia, ´ es a dir, la matriu sim` etrica formada per tots els productes uiuj, i ∇yΓs’aplica sobre el tensor u(2)de la manera seg¨ uent: Pjk(∂Γij/∂yk)ukuj. Com es pot veure, en aquesta equaci´ o no apareix cap derivada de la funci´ ou. De totes maneres, i similarment al que hem dit respecte a l’equaci´ o (18), la regularitat proporcionada per Γi∇yΓ´ es suficient per a garantir que si ut´ e un m ´ ınim de regularitat, per exemple si ´ es cont´ ınua i acotada, llavors el fet de ser soluci´ o de (19) implica autom` aticament la regularitat requerida per a poder 72 X. Mora retornar a les equacions (18) i (14). Encara m´ es, de fet es pot arribar a veure que en aquestes condicions les funcions uips´ on infinitament diferenciables. 5.5 Doncs b´ e, una manera forc¸a natural d’intentar acostar-se progressivament a la soluci´ o de (19), i per tant de (14), consisteix a procedir per iteraci´ o d’acord amb la f´ ormula seg¨ uent (com a primera aproximaci´ ou1es pot prendre tranquillament u1=0): um(t) =Γ (t) ∗u0+Zt 0∇yΓ (t−s) ∗u(2) m−1(s) ds. (20) Si tot va b´ e, la successi´ oumconvergir` a cap a algun l´ ımit ui aquest l´ ımit complir` a (19). La manera d’obtenir aquesta converg` encia consisteix a veure que um´ es una successi´ o de Cauchy en un espai funcional adient. A aquest respecte, la formulaci´ o precedent, basada en l’equaci´ o (19), permet treballar en un espai de la forma C([0, τ], C(Ω)) amb la norma sup0≤t≤τku(t)k∞(aquest espai ´ es certament equivalent a C(Ω×[0, τ]) amb la norma sup0≤t≤τ, x∈Ω|u(x, t)|). Malauradament, per a aconseguir la converg` encia resulta inevitable haver de restringir τa un valor prou petit, de manera que en general aquest m` etode no d´ ona solucions globals (encara que es repeteixi el mateix procediment a partir de u(τ) i aix´ ı successivament, en general els valors subseq¨ uents de τ podrien ser cada vegada m´ es petits i la seva suma podria ser finita). En canvi, el que s´ ı que s’obt´ e´ es la unicitat de la soluci´ o. Essencialment aquesta propietat ´ es conseq¨ u` encia del mateix mecanisme que mostra que um ´ es una successi´ o de Cauchy. 5.6 Per a convertir els arguments precedents en una demostraci´ o rigorosa ´ es crucial disposar d’acotacions adients sobre els elements de la matriu Γ i les seves derivades. A aquest respecte, el cas Ω=Rnt´ e el gran avantatge que es compta amb certes f´ ormules expl´ ıcites per a Γ (x,y, t), les quals van ser obtingudes per Oseen el 1907. Aquestes f´ ormules permeten arribar al resultat seg¨ uent, que ´ es degut a Leray (1934) [20: § III](la part brequereix alguns arguments addicionals relacionats amb § 6.2): 1 Teorema Sigui Ω=Rn(n=2,3). Si l’estat inicial u0´ es prou regular, llavors la soluci´ ou(t) de (14) queda determinada (´ es a dir, existeix i ´ es ´ unica) en un interval de temps de la forma 0≤t < T(u0), on T(u0)pot ser infinit, i existeixen unes constants C1iC2tals que: a)Si T(u0) < ∞llavors ku(t)k∞>C1ν (ν(T(u0)−t))1/2quan t→T (u0). b)Si 1 ν3ku0k∞ku0k2 2< C2llavors T(u0)= ∞. Les equacions de Navier-Stokes 73 5.7 Tal com es pot veure en els treballs de Leray de 1933–1934, el m` etode que hem exposat es presta a certes variacions que permeten obtenir resultats an` alegs en diverses altres normes [18: § IV ; 19: § III ; 20: § III]. D’altra banda, ja hem dit que el primer resultat d’aquest tipus va ser obtingut per Oseen el 1910 [12: § II.3]. Notablement, Leray no es va limitar al cas Ω=Rn, sin´ o que tamb´ e va aconseguir aplicar el m` etode precedent al cas en qu` eΩ´ es una regi´ o acotada i convexa de R2[19: § III]. En general, el cas Ω≠Rnpresenta una gran dificultat a l’hora d’obtenir informaci´ o detallada sobre Γ (x,y, t). El punt clau consisteix a saber tractar el cas en qu` eΩ´ es un semiespai (un semipl` a quan n=2). Per analogia amb altres equacions en derivades parcials m´ es conegudes, cabria esperar que ΓΩes pogu´ es construir a partir de les derivades de ΓRn—la funci´ o matricial que havia donat Oseen el 1907—, per` o el fet ´ es que aquest paral.lelisme no funciona. Tot i aix´ ı, Leray encara va recon` eixer la soluci´ o del problema del semipl` a dins d’un altre treball d’Oseen, del 1919 [15]. A partir d’aqu´ ı, va poder construir el nucli Γen el cas d’una regi´ o acotada i convexa de R2—utilitzant variable complexa—, i en va poder obtenir les acotacions necess` aries per a arribar a un resultat similar al teorema 1. A partir del 1960 aquest m` etode ha estat est` es en diverses direccions, especialment per Kirill K. Golovkin i Vsevolod A. Solonnikov, que entre altres coses van eliminar la condici´ o de convexitat sobre Ωi van estendre el tractament al cas tridimensional [32]. D’altra banda, pels volts del 1960 van apar` eixer un parell de m` etodes que simplificaven una bona part de la feina a l’hora d’obtenir resultats an` alegs al teorema 1 en el cas Ω≠Rn. Un d’ells, que comentarem amb m´ es detall a §10.2, havia estat introdu¨ ıt el 1957 per Andre˘ ı A. Kisel¨ ev i Olga A. Ladyzhenskaya. L’altre, que es va introduir m´ es o menys per la mateixa ` epoca, ´ es el m` etode basat en l’anomenada teoria de semigrups, del qual ens ocuparem a §10.3. Aqu ´ ı nom´ es observarem que aquest ´ ultim no ´ es gaire diferent del procediment que hem estat considerant en aquesta secci´ o. 5.8 El teorema 1 i els resultats an` alegs a qu` e ens acabem de referir per al cas Ω≠Rnpermeten donar de moment la seg¨ uent Resposta 1. Les equacions de Navier-Stokes determinen el futur proper del fluid, per` o en general no est` a clar que en determinin el futur lluny` a. D’altra banda, el futur lluny` a s´ ı que queda determinat quan l’estat inicial ´ es prou proper al rep` os o la viscositat ´ es prou elevada. 6 La direcci´ o del terme quadr` atic. Dissipaci´ o d’energia. Globalitat per als moviments plans 6.1 La ra´ o per la qual els m` etodes comentats amb anterioritat no aconsegueixen estendre les solucions a temps arbitr` ariament grans ´ es el car` acter quadr` atic del terme no lineal (u·∇)u. 74 X. Mora De fet, el problema es pot donar perfectament amb una simple equaci´ o diferencial ordin` aria. Considerem per exemple el cas seg¨ uent: du/dt+ν u =u2, u(0)=u0, (21) on urepresenta ara un nombre que dep` en de t,u0´ es el seu valor inicial, que suposem conegut, i ν´ es un par` ametre positiu que jugar` a un paper an` aleg a la viscositat d’un fluid. Mitjanc¸ant les eines elementals del c` alcul infinitesimal es troba f` acilment que la soluci´ o de (21) ve donada per la f´ ormula seg¨ uent: u(t) =ν 1−eνt (u0−ν)/u0 . Examinant aquesta expressi´ o, es veu de seguida que si u0> ν llavors el denominador s’anul.la per a un valor positiu de t, diguem-ne T(u0). Per a aquest valor de tno est` a definit el valor de ui menys encara el de la derivada du/dt, de manera que la funci´ o precedent nom´ es ´ es soluci´ o de (21) durant l’interval [0, T(u0)). En canvi, per a u0≤νel denominador es mant´ e diferent de zero per a tots els valors positius de t, de manera que en aquest cas el temps d’exist` encia T(u0)´ es infinit. Aquestes observacions queden recollides en els enunciats seg¨ uents, els quals mostren un clar paral.lelisme amb els resultats del teorema 1 de § 5.6: a) Si u0> ν llavors T(u0)=1 νlog u0 u0−ν, iu(t) =ν 1−e−ν(T(u0)−t) >1 T(u0)−t→ ∞ quan t→T(u0). b) Si u0≤νllavors T(u0)= ∞ (i si u0< ν llavors u(t) →0 quan t→ ∞). Si en l’equaci´ o (21) canviem u2per −u2llavors seguim tenint el mateix problema, nom´ es que ara els estats inicials problem` atics s´ on u0<−ν. Tanmateix, si en lloc de u2o−u2posem −u|u|, llavors desapareixen els problemes: el temps d’exist` encia ´ es infinit per a qualsevol u0. Aix´ ı, doncs, els termes quadr` atics no sempre estan renyits amb l’exist` encia global. En aquest exemple d’una sola equaci´ o ordin` aria est` a clar que el que importa ´ es el signe del terme en q¨ uesti´ o comparat amb el de u. Quan passem a un espai de dimensi´ o superior, llavors no podem parlar del signe d’un vector, per` o s´ ı de la seva direcci´ o, de manera que no es tractar` a de comparar signes, sin´ o de comparar direccions. Amb aquesta finalitat resultar` a molt adient utilitzar un producte escalar. Tal com veurem a continuaci´ o, les equacions de Navier-Stokes no es veuen pas malament des d’aquest punt de vista. 6.2 En efecte, prenguem l’equaci´ o∂u/∂t −ν∆u+∇p= −(u·∇)ui multipliquem-la escalarment per uen el sentit del producte escalar funcional hu,vi. Les equacions de Navier-Stokes 75 Recordeu que aix` o vol dir multiplicar-la escalarment per uen cada punt de Ωi despr´ es integrar sobre Ω. Per simplificar l’exposici´ o, a continuaci´ o suposarem que la regi´ oΩ´ es acotada; de tota manera, en cas contrari la condici´ o a l’infinit (11) permet arribar a les mateixes conclusions. Per comenc¸ar, de seguida es veu que el terme ∂u/∂t d´ ona lloc a la derivada de l’energia cin` etica total del fluid: ZΩ u·∂u/∂t dV=d dt1 2ZΩ|u|2dV=d dt1 2kuk2 2. (22) D’altra banda, el terme de viscositat ν∆ues pot transformar mitjanc¸ant la f´ ormula de Green (que no ´ es m´ es que una aplicaci´ o concreta del teorema de la diverg` encia); aquesta f´ ormula fa apar` eixer una integral sobre ∂Ω, per` o aquesta integral s’anul.la des del moment que ucompleix la condici´ o d’abs` encia de lliscament (14.3): ZΩ u·∆udV=Z∂Ω u·∇ ⊥udS−ZΩ|∇u|2dV= −ZΩ|∇u|2dV. (23) (|∇u|2consisteix en la suma dels quadrats de totes les derivades de la forma ∇iuj.) Pel que fa al terme de pressi´ o, la condici´ o d’incompressibilitat ∇·u=0 porta a una nova aplicaci´ o del teorema de la diverg` encia, i el resultat final ´ es nul a causa que el camp de velocitats ´ es paral.lel a la frontera, ´ es a dir, u⊥=0 a∂Ω:ZΩ u·∇pdV=ZΩ∇·(p u)dV=Z∂Ω p u⊥dS=0(24). Dit sigui de passada, aix` o mostra que els camps soleno¨ ıdals i paral.lels a la frontera s´ on ortogonals als camps gradient. O sigui, que la descomposici´ o de Stokes-Helmholtz que hem considerat a §3.1 ´ es ben an` aloga a les descomposicions ortogonals que la geometria elemental utilitza tot sovint a Rn. Finalment, veiem qu` e passa amb el terme quadr` atic. L’expressi´ o que s’ha d’integrar sobre Ω´ es el producte escalar de (u·∇)uper u,´ es a dir, la quantitat Pi,k uk(∇kui) ui, que a partir d’ara denotarem u·∇u·u. Aquesta expressi´ o es pot reescriure d’una manera que simplifica molt les coses. En efecte, aplicant la f´ ormula per a la derivada d’un quadrat, veiem que u·∇u·u=X i,k uk(∇kui) ui=X k uk∇k(1 2X i u2 i)=u·∇(1 2|u|2). Aix´ ı doncs, finalment estem fent el producte escalar de uper un gradient, la qual cosa acabem de veure en el par` agraf precedent que sempre resulta igual a zero: ZΩ u·∇u·udV=ZΩ u·∇(1 2|u|2)dV=0. (25) Tot plegat, s’arriba a la conclusi´ o que d dt1 2kuk2 2= −ZΩ ν|∇u|2dV≤0. (26) 76 X. Mora Aix´ ı, doncs, l’energia cin` etica total del fluid va decreixent a un ritme que est` a marcat pel coeficient de viscositat ν. Com a cas extrem, l’energia es pot mantenir constant, per` o aix` o nom´ es passa en l’estat de rep` os (per a tenir igualtat a (26) cal que ∇us’anul.li a tot arreu de Ω, la qual cosa implica que u´ es constant, i tenint present la condici´ o d’abs` encia de lliscament l’´ unica possibilitat ´ es u=0). Integrant la relaci´ o precedent respecte al temps s’obt´ e l’anomenada igualtat de l’energia: 1 2ku(t)k2 2+Zt t0ZΩ ν|∇u|2dVds=1 2ku(t0)k2 2,per a 0 ≤t0≤t. (27) Aqu´ ı hem introdu¨ ıt un conveni que utilitzarem a partir d’ara : si no especifiquem el contrari, en qualsevol expressi´ o de la forma Rt .. . . . dss’entendr` a que l’integrand est` a avaluat a temps s. Els arguments precedents van apar` eixer per primera vegada en una mem` oria d’Stokes llegida el 1850 [8: part I, sec. V]. 6.3 En particular, prenent t0=0, el resultat precedent ens diu que la norma quadr` atica ku(t)k2est` a acotada per una quantitat independent de t≥0, a saber, ku0k2. M´ es exactament, Si u´ es soluci´ o en un interval de la forma 0≤t <T , llavors ku(t)k2est` a acotada per una quantitat independent de t. (28) Noteu que si dispos´ essim d’un resultat an` aleg per a la norma del suprem, llavors se’n deduiria la globalitat de les solucions. En efecte, segons la part a) del teorema 1, si el temps d’exist` encia ´ es finit llavors la norma del suprem ha de cr´ eixer sense l´ ımit a mesura que ens hi acostem, la qual cosa contradiu l’acotaci´ o a qu` e ens estem referint. Per` o de moment nom´ es tenim una acotaci´ o en la norma quadr` atica, cosa perfectament compatible, per s´ ı sola, amb una manca d’acotaci´ o en la norma del suprem. D’altra banda, tamb´ e´ es cert que la igualtat (27) proporciona una acotaci´ o no solament de ku(t)k2, sin´ o tamb´ e de la integral Rt 0RΩ|∇u|2dVds. Notablement, en el cas bidimensional aquesta ´ ultima informaci´ o resulta suficient per a deduir l’acotaci´ o de la norma del suprem i, per tant, la globalitat de la soluci´ o: 2 Teorema En el cas bidimensional la soluci´ o del problema (14)queda determinada per a tot t≥0. Aquest resultat va ser demostrat per Leray el 1933 quan Ω=R2[18: § IV], i per Ladyzhenskaya el 1958 quan Ω⊂R2[26]. En ambd´ os casos, la demostraci´ o es basa de manera crucial en certes desigualtats integrals afins als coneguts teoremes d’immersi´ o de Serge˘ ı L. Sobolev, que daten de 1936–1950. Concretament, Leray es va basar en la desigualtat seg¨ uent [18: p` ag. 74], on ωrepresenta un disc arbitrari dins de Ω=R2: Z∂ω |f|2dS2 ≤8ZΩ|f|2dVZΩ|∇f|2dV. (29) Les equacions de Navier-Stokes 77 En canvi, Ladyzhenskaya es va basar en la seg¨ uent [26c: p. 428], on Ωrepresenta una regi´ o acotada per` o altrament arbitr` aria de R2ifest` a restringida a anullar-se a ∂Ω:ZΩ|f|4dV≤1 2ZΩ|f|2dVZΩ|∇f|2dV. (30) ([26c] d´ ona una constant menys ajustada que 1/2.) En ambd´ os casos, especialment el primer, l’obtenci´ o d’aquestes desigualtats es va avanc¸ar en el temps als resultats similars d’altres autors. 7 Singularitats i turbul` encia. Solucions febles 7.1 El teorema precedent d´ ona resposta positiva a la pregunta 1 en el cas bidimensional, per` o no en el cas tridimensional. En aquest ´ ultim cas. l’´ unic que sabem de moment ´ es el que diu el teorema 1. Segons la part a) d’aquell teorema, l’exist` encia i la unicitat de soluci´ o estan garantides fins a un cert temps Tque pot ser finit, i en cas de ser-ho llavors ha d’existir algun punt X∈Ωtal que |u(x, t)|pren valors arbitr` ariament grans quan (x, t) s’acosta a (X, T). Per a referir-se a aquesta situaci´ o, es diu que la soluci´ o desenvolupa una singularitat en el punt (X, T ) (val a dir que Oseen ja parla de singularitats en 1910 [13], per` o la definici´ o que en d´ ona es refereix al comportament local de ∇u; aix` o´ es a causa que ell treballava amb una equaci´ o integral relacionada amb (18) i no amb (19)). En lloc de la pregunta 1 podem plantejar-nos, doncs, la pregunta seg¨ uent, m´ es concreta: Pregunta 2. ´ Es possible que (en el cas tridimensional) les solucions de les equacions de Navier-Stokes desenvolupin singularitats? D’altra banda, la part b) del teorema 1 garanteix l’abs` encia de singularitats sempre que l’estat inicial sigui prou proper al rep` os o la viscositat sigui prou elevada. A aquest respecte, ´ es interessant notar que aquestes ´ ultimes condicions s´ on forc¸a an` alogues a la condici´ o de petitesa del nombre de Reynolds que en els experiments garanteix l’abs` encia de turbul` encia (§3.3). De fet, at` es que ku0k2 2t´ e dimensions de velocitat al quadrat multiplicat per volum, la quantitat que apareix a l’esquerra de la desigualtat de la part b) del teorema 1 ´ es an` aloga a un nombre de Reynolds elevat al cub. En el mateix sentit, tamb´ e ´ es forc¸a suggestiva l’analogia que hi ha entre el temps Tper sota del qual queda determinada la soluci´ o i la dist` ancia requerida per al desenvolupament de la turbul` encia en l’experiment de Reynolds. Aquestes analogies porten a respondre la pregunta 2 mitjanc¸ant una conjectura: Resposta 2 (conjectura). Sembla que (en el cas tridimensional) les solucions de les equacions de Navier-Stokes poden desenvolupar singularitats. Aquestes singularitats estarien relacionades amb la turbul` encia. 84 X. Mora Tal com s’ha vist m´ es amunt, les equacions (38), (35), (36) i (37) tradueixen d’alguna manera les equacions (14.1) i (14.2) junt amb la condici´ o d’abs` encia de lliscament (14.3) i la condici´ o inicial (14.5). D’altra banda, les condicions d’integrabilitat a) i b) s´ on lleugerament m´ es fortes del que cal per a donar sentit a les equacions (35)–(38). En efecte, at` es que les funcions de prova s’anul.len fora d’un acotat, n’hi hauria prou amb una condici´ o d’integrabilitat sobre acotats. Tanmateix, en demanar la integrabilitat global, es pot entendre que les condicions a) i b) contenen una versi´ o generalitzada de la condici´ o a l’infinit (14.4). En tot cas, fent ´ us de la noci´ o de regularitat a l’infinit que hem introdu¨ ıt a§2.5, es pot afirmar que si la funci´ ou´ es prou regular, llavors el fet de ser soluci´ o de (14) en sentit feble implica que tamb´ e n’´ es soluci´ o en sentit cl` assic. Tot plegat proporciona una resposta positiva a la pregunta 3: Resposta 3. La noci´ o de soluci´ o feble d´ ona sentit a les equacions de NavierStokes per a camps de velocitat que poden contenir singularitats. M´ es amunt ja hem observat que les equacions integrals (18) o (19) tamb´ e poden ser aplicades a camps de velocitat amb algun tipus de singularitats. Tanmateix aquelles equacions integrals suposen la construcci´ o pr` evia del nucli Γque resol el problema lineal. Tal com hem dit a §5.7, en termes generals aquesta construcci´ o presenta certes dificultats (vegeu per` o§10.3). En canvi, la noci´ o de soluci´ o feble no dep` en de tal construcci´ o. 7.7 Independentment de la utilitat de la noci´ o de soluci´ o feble, la possibilitat que les solucions desenvolupin singularitats tamb´ e planteja dubtes sobre la validesa de les equacions, ´ es a dir, sobre la seva adequaci´ o a la realitat. En efecte, cal recordar que, a m´ es de la segona llei de Newton, l’equaci´ o diferencial (9) incorpora una altra llei f´ ısica menys fonamental, la qual est` a expressada per l’equaci´ o (8). Aquesta llei postula una relaci´ o lineal entre el tensor d’esforc¸os T i el tensor de gradients ∇u. Els fluids que la compleixen es diuen newtonians, ja que el primer a modelar la fricci´ o dels fluids mitjanc¸ant una relaci´ o lineal d’aquest estil va ser el mateix Newton. Tanmateix cal pensar que aquesta relaci´ o lineal potser nom´ es ´ es v` alida de manera aproximada quan els gradients ∇us´ on prou petits, i que els gradients grans —que s´ on inevitables quan ens acostem a una singularitat— podrien comportar desviacions respecte a la linealitat. Doncs b´ e, si aquestes desviacions van en una certa direcci´ o, llavors es pot demostrar que les solucions no arriben a desenvolupar singularitats; concretament, aquest ´ es el cas si se suposa una llei de la mateixa forma que (8) per` oµno ´ es una constant, sin´ o que creix prou de pressa amb |∇u|. Una vegada m´ es, aquesta observaci´ o es troba present ja en el treball de Leray [19: § III.10, p` ag. 61–62]. Posteriorment, diversos autors han considerat una depend` encia del tipus µ=µ0+ε|∇u|α(µ0, ε > 0) i han estudiat a partir de quin valor de αes pot garantir l’exist` encia, la unicitat i la globalitat de les solucions. Aquesta l´ ınia de recerca va ser iniciada el 1966 per Ladyzhenskaya, que va requerir α≥1/2 (per a n=3) [28]. Posteriorment, el 1993, Hamid Bellout, Les equacions de Navier-Stokes 85 Frederick Bloom i Jindˇ rich Neˇ cas van aconseguir rebaixar aquesta condici´ o a α≥1/5 [46]. Aquest model no newtoni` a no t´ e inter` es com a model realista, at` es que en la pr` actica molts fluids s’ajusten prou b´ e al model newtoni` a, i els que se n’aparten requereixen models bastant m´ es complicats que el precedent. De totes maneres, els resultats esmentats suggereixen una nova estrat` egia per a tractar el cas newtoni` a, ´ es a dir, les equacions de Navier-Stokes que ven ´ ıem considerant fins ara. La idea consisteix a considerar una modificaci´ o com la que acabem de comentar, que doni exist` encia, unicitat i globalitat, i intentar acostar-nos al cas newtoni` a tot mantenint aquestes propietats. Per exemple, en el cas precedent es tractaria de considerar el l´ ımit ε→0. D’altra banda, de cara a resoldre el cas newtoni` a, tant se val la modificaci´ o de m´ es amunt com altres opcions encara menys realistes, per` o m´ es f` acils de tractar matem` aticament. Aplicant aquesta idea, Leray va aconseguir demostrar que el problema d’evoluci´ o per a les equacions de Navier-Stokes sempre t´ e alguna soluci´ o en sentit feble, la qual est` a definida per a temps arbitr` ariament grans; el que no va poder garantir ´ es que aquesta soluci´ o feble global sigui ´ unica. Aquestes solucions febles, globals per` o no necess` ariament ´ uniques, s´ on les que Leray anomenava solucions turbulentes. De fet, Leray va desenvolupar dos m` etodes diferents d’aquest tipus; un d’ells el va aplicar al cas en qu` eΩ´ es una regi´ o acotada i convexa de R2[19: § IV]—on ara ja sabem que es disposa d’un resultat d’exist` encia, unicitat i globalitat (§6.3)— i l’altre el va aplicar al cas Ω=R3[20: § V]. A la secci´ o que segueix descriurem el segon d’aquests dos m` etodes. 8 Solucions globals, per` o no necess` ariament ´ uniques 8.1 Tal com hem dit, es tracta de reemplac¸ar el problema (14) per un problema lleugerament modificat en qu` e es pugui demostrar l’exist` encia, la unicitat i la globalitat de soluci´ o; aquest problema modificat ha de dependre d’un par` ametre que permeti acostar-se cada vegada m´ es al problema (14). Concretament, Leray va considerar un problema de la forma seg¨ uent, en qu` e el par` ametre ´ es εi l’acostament al problema (14) correspondr` a al l´ ımit ε→0: ∂u/∂t −ν∆u+∇p= −((Rε∗u)·∇)u,∇·u=0, u|∂Ω=0,u|∞=0,u|t=0=Rε∗u0.(39)ε Com es pot veure, aquest problema nom´ es difereix de (14) que en un parell de llocs hem introdu¨ ıt un cert operador integral de nucli Rε. Aquest operador ´ es el que avui dia en diem un operador de regularitzaci´ o:Rε∗ft´ e sentit per a funcions fque potser no s´ on gaire regulars (nom´ es cal que fsigui integrable en un entorn de cada punt) per` o el resultat sempre ´ es una funci´ o infinitament derivable que a m´ es s’acosta a fquan ε→0 (aquesta converg` encia ´ es certa en moltes normes diferents). El lloc de la funci´ ofel pot ocupar tamb´ e un camp vectorial, cas en el qual s’ent´ en que Rε∗actua separadament sobre 86 X. Mora cada component. Tal com indica Leray, les propietats precedents es poden aconseguir f` acilment prenent Rε(x,y)=cn εn%|x−y| ε, (40) on %(r) representa una funci´ o infinitament derivable [0,∞)→Rque sigui nulla per a r≥1 i positiva per a 0 ≤r < 1 (per exemple %(r) =exp(−(1−r2)−1) per a r < 1), i cn´ es la constant que fa que resulti RRnRε(x,y) dV(y)=1. A partir d’aquesta construcci´ o es dedueix f` acilment que Rεcompleix concretament les propietats seg¨ uents, en les quals frepresenta una funci´ o arbitr` aria (mentre tinguin sentit els objectes que es consideren en cada cas) i Cε´ es una constant que dep` en de ε: kRε∗fk∞≤Cεkfk2,(41) kRε∗f−fk2→0 quan ε→0,(42) kRε∗fk2≤ kfk2,(43) kRε∗fk∞≤ kfk∞,(44) ∇k(Rε∗f) =Rε∗(∇kf ). (45) En particular, la propietat (41) recull un aspecte del car` acter regularitzant de Rε∗que ser` a crucial per a nosaltres: en general, un valor finit de la norma quadr` atica kfk2´ es perfectament compatible amb un valor infinit de la norma del suprem kfk∞(la qual cosa correspon a la noci´ o de singularitat que hem donat a §7.1); en canvi, (41) assegura que kRε∗fk∞´ es finita sempre que ho sigui kfk2. Les consideracions que estem fent es refereixen especialment al cas Ω=R3. Per tal d’estendre-les al cas Ω⊂R3nom´ es ´ es q¨ uesti´ o de definir adientment l’operador Rε(vegeu per exemple [42]) i de tenir acotacions adients per a les solucions del problema lineal (15), el mateix que hem consderat a §5.7. En efecte, el problema (39)εser` a resolt mitjanc¸ant un m` etode an` aleg al de §5. 8.2 Utilitzant les propietats (43)–(45), es comprova f` acilment que el problema (39)εadmet el mateix tractament que en §5 i §6 hem aplicat al problema (14). Aix` o proporciona resultats completament an` alegs al teorema 1 i a la igualtat de l’energia (27). La soluci´ o de (39)εaix ´ ı obtinguda, la denotarem uε. Amb aquesta notaci´ o, la igualtat de l’energia la podem escriure aix´ ı: 1 2kuε(t)k2 2+Zt t0ZΩ ν|∇uε|2dVds=1 2kuε(t0)k2 2,per a 0≤t0≤t. (46) Aix´ ı com en el cas del problema (14) els resultats que acabem d’esmentar no eren suficients per a deduir la globalitat de la soluci´ o, ara s ´ ı que ´ es possible Les equacions de Navier-Stokes 87 arribar a aquesta conclusi´ o. En efecte, gr` acies a la propietat (41), l’acotaci´ o (46) amb t0=0 permet deduir l’acotaci´ o seg¨ uent independent de t≥0: kRε∗ uε(t)k∞≤Cεkuε(0)k2, i introduint aquesta acotaci´ o en l’equaci´ o integral an` aloga a (19) es dedueix que kuε(t)k∞es mant´ e acotada per a tot t≥0. D’acord amb la part a) del teorema 1 (aplicat al problema (39)ε), aix` o permet concloure que la soluci´ ouεest` a definida per a tot temps t≥0. Aix´ ı, doncs, a difer` encia de (14), el problema (39)εt´ e exist` encia, unicitat i globalitat de soluci´ o. 8.3 Vist aix` o, ara es tracta de considerar el l ´ ımit ε→0 i veure: a) si uεtendeix cap a algun l´ ımit, i b) si podem dir que aquest l´ ımit compleix en algun sentit les equacions de Navier-Stokes. Pel que fa a la part a), ja avisem que no s’obtindr` a pas un l´ ımit ´ unic de uε quan εs’acosta a zero d’una manera arbitr` aria, sin´ o nom´ es quan ho fa segons certes successions εn(n→∞); el que no es pot assegurar ´ es que el l ´ ımit de uεn sigui independent de la successi´ oεn. Ja es veu venir, doncs, que aquest m` etode quedar` a lluny de proporcionar un resultat d’unicitat. Pel que fa a la part b), en principi la idea consisteix a considerar l’equaci´ o de la qual uεn´ es soluci´ o i prendre l´ ımits quan n→∞,´ es a dir, quan εn→0. Tanmateix quan parlem d’equacions diferencials aix` o´ es delicat: en efecte, en general ´ es perfectament possible que uεntingui un l´ ımit per` o les seves derivades, per exemple ∂uεn/∂t , no en tinguin cap. Aix` o es resol, almenys parcialment, mitjanc¸ant l’´ us de la noci´ o de soluci´ o feble. 8.4 Les funcions uεque hem obtingut m´ es amunt s´ on solucions de (39)εen sentit cl` assic (§5.4) i per tant tamb´ e ho s´ on en sentit feble. Segons hem definit a§7.6, aix` o significa que en tot instant t∈[0,∞)es compleixen les condicions seg¨ uents: |uε|2´ es integrable sobre Ωamb kuε(s)k2acotada independentment de s∈[0, t];|∇uε|2´ es integrable sobre Ω×[0, t]; ZΩ uε(t)·ψ(t) dV=ZΩ (Rε∗u0)·ψ(0)dV +Zt 0ZΩuε·(∂ψ/∂t) +νuε·∆ψ+(Rε∗uε)·∇ψ·uεdVds, ∀ψ∈e D σ(Ω), ∀t≥0; (47) ZΩ uε(t) ·∇φdV=0,∀φ∈D(Ω), ∀t≥0; (48) i finalment Zt 0ZΩ uε i(∇kφ) dVds= −Zt 0ZΩ (∇kuε i) φ dVds, ∀φ∈e D(Ω), ∀t≥0.(49) 88 X. Mora 8.5 Per a establir l’exist` encia de les successions εn→0 que donen un l´ ımit auεns’utilitzen uns resultats similars al que en Rassegura que tota successi´ o acotada t´ e una subsuccessi´ o convergent (teorema de Bolzano-Weierstrass). En els espais funcionals no val exactament el mateix, per` o es disposa de certes generalitzacions. Entre les que ens interessen, la m´ es cl` assica ´ es deguda a David Hilbert (1906) i es basa en la noci´ o de converg` encia feble (de funcions de quadrat integrable). Nosaltres usarem la definici´ o seg¨ uent: una successi´ o de funcions fn definides sobre una regi´ oΩ´ es feblement convergent cap a una certa funci´ o l´ ımit fquan es compleix ZΩ fnφdV→ZΩ f φ dV, ∀φ∈D(Ω). (50) En lloc d’aix` o, sovint es demana una condici´ o an` aloga i equivalent en la qual la funci´ o de prova φrecorre tot l’espai L2(Ω). Nosaltres hem preferit quedarnos amb la versi´ o (50), ja que fa m´ es evident la relaci´ o amb la noci´ o de soluci´ o feble. Al costat de la noci´ o de converg` encia feble, tenim la noci´ o de converg` encia forta: la successi´ ofnes diu que ´ es que ´ es fortament convergent cap a fquan es compleix kfn−fk2→0; tal com indica la terminologia, la converg` encia forta implica la converg` encia feble, per` o l’invers no ´ es cert. Doncs b´ e, el principi de selecci´ o de Hilbert afirma que si fn´ es una successi´ o de funcions que tenen norma quadr` atica acotada independentment de n, llavors es pot extraure una subsuccessi´ of0 nque ´ es convergent en sentit feble. De cara a aplicar aquest principi i altres de similars al nostre problema, resulta crucial disposar d’acotacions sobre uεque no depenguin de ε. Aquestes acotacions les proporciona la igualtat de l’energia (46). En efecte, prenent t0=0 i tenint en compte que uε(0)=Rε∗u0, la propietat (43) permet deduir-ne les acotacions seg¨ uents independents de ε: kuε(t)k2≤ ku0k2,(51) 2νZt 0ZΩ|∇uε|2dVds≤ ku0k2 2.(52) A partir de (51), el principi de selecci´ o de Hilbert ens diu immediatament que existeix alguna successi´ oεn→0 tal que uεn(t) convergeix en sentit feble. Tanmateix, procedint d’aquesta manera la successi´ oεnpot dependre de t, la qual cosa no ens interessa; en efecte, volem que el l´ ımit depengui de tno d’una manera arbitr` aria, sin´ o d’acord amb una certa equaci´ o diferencial (entesa en sentit feble). D’altra banda, tampoc no ´ es gaire dif´ ıcil aconseguir que la successi´ oεnsigui independent de t. En aquest sentit, resulta decisiu el fet que els valors de uε(t) per a diferents instants testan lligats per la relaci´ o (47) (la formulaci´ o feble de l’equaci´ o diferencial corresponent a ε). En efecte, mitjanc¸ant un principi de selecci´ o no gaire diferent del de Hilbert —el qual ja era conegut per Stefan Banach (1923)— es pot veure que l’acotaci´ o (51) implica l’exist` encia d’una successi´ oεn→0 que d´ ona un l ´ ımit al segon membre Les equacions de Navier-Stokes 89 de (47) per a qualssevol ψ∈e D σ(Ω)it∈[0,∞). Evidentment, aix` o implica la converg` encia an` aloga del primer membre de (47). D’aix` o, i de la relaci´ o (48), se’n dedueix l’exist` encia d’una funci´ ot,u(t) definida per a 0≤t <∞tal que uεn(t) convergeix feblement cap a u(t) en cada instant t∈[0,∞). D’altra banda, el car` acter decreixent de la funci´ ot,kuε(t)k2, que es dedueix de (46), permet aconseguir la converg` encia de la norma quadr` atica kuεn(t)k2 cap a un l´ ımit U(t) que tamb´ e´ es funci´ o decreixent de t. Aix` o s’aconsegueix mitjanc¸ant l’extracci´ o d’una subsuccessi´ o, la qual seguirem denotant εn, i que es basa en un altre principi de selecci´ o d’Eduard Helly (1921). Les quantitats U(t) iku(t)k2, que s´ on respectivament el l´ ımit de la norma i la norma del l´ ımit feble de uεn(t), es veuen obligades a complir la desigualtat ku(t)k2≤U(t), per` o la igualtat nom´ es es compleix quan la converg` encia de uεn(t) cap a u(t) ´ es forta. Finalment, a partir de (52) el principi de selecci´ o de Hilbert tamb´ e permet aconseguir que els elements de la matriu ∇uεnconvergeixin en sentit feble com a funcions espaciotemporals (m´ es concretament, com a funcions sobre Ω×[0, t] per a cada t∈[0,∞)). Prenent l´ ımits sobre (49) es comprova f` acilment que les funcions l´ ımit compleixen la condici´ o que defineix les derivades de uen sentit feble. Afinant una mica m´ es, Leray demostra l’exist` encia d’un conjunt S⊂(0,∞)de longitud nul.la en el sentit de Lebesgue tal que si t∉S∪{0}llavors es pot extraure una subsuccessi´ oε0 nque fa que ∇uε0 n(t) sigui feblement convergent (com a funci´ o sobre Ω), de la qual cosa en dedueix que la converg` encia de uεn(t) cap a u(t) ´ es forta (per a la successi´ oεn, que no dep` en de t). Aquesta part est` a relacionada amb un altre principi de selecci´ o que ´ es degut a Franz Rellich (1930); tanmateix el resultat d’aquest ´ ultim autor es refereix al cas en qu` eΩ´ es una regi´ o acotada, de manera que Leray va haver d’afegir certs arguments que tenen cura del car` acter no acotat de la regi´ oΩ=R3. D’altra banda, ´ es immediat comprovar que tamb´ e hi ha converg` encia forta de uεn(0)cap a u(0). Recopilant el que hem vist en aquest apartat, existeix una successi´ oεn→0 i un conjunt S⊂(0,∞)de longitud nul.la tals que, en tot instant t∈[0,∞): a)uεn(t) convergeix feblement cap a un cert l´ ımit u(t); aquesta converg` encia ´ es forta quan t∉S; b)kuεn(t)k2convergeix cap a un cert l´ ımit U(t) ≥ ku(t)k2; aquesta ´ ultima desigualtat es converteix en una igualtat quan t∉S; c)∇uεnconvergeix feblement, com a funci´ o sobre Ω×[0, t], cap a un cert l´ ımit que es pot identificar amb ∇u. 8.6 Doncs b´ e, aquestes converg` encies resulten ser suficients per a poder prendre l ´ ımits sobre les equacions (49), (48) i (47) que compleix uεni deduir que el l´ ımit ucompleix les equacions (38), (35) i (37) amb T=∞. En altres paraules, uconstitueix efectivament una soluci´ o feble de (14) en l’interval 0 ≤t < ∞. D’altra banda, tamb´ e resulta interessant prendre l´ ımits sobre la igualtat de l’energia (46). En aquest cas, la converg` encia feble de ∇uεnno ´ es suficient 90 X. Mora per a garantir que la integral espaciotemporal de |∇uεn|2convergeixi cap a la integral an` aloga de |∇u|2. Tanmateix encara es pot deduir la desigualtat de l’energia seg¨ uent: 1 2ku(t)k2 2+Zt t0ZΩ ν|∇u|2dVds≤1 2ku(t0)k2 2,si 0≤t0≤tit0∉S. (53) Noteu que aquesta desigualtat no ha estat dedu ¨ ıda de la definici´ o de soluci´ o feble, sin´ o de la igualtat de l’energia que satisfan les solucions aproximades uε. Tal com veurem en la propera secci´ o, la noci´ o de soluci´ o feble per si sola no implica pas la desigualtat de l’energia, i menys encara la corresponent igualtat. Davant d’aix` o, i de la import` ancia que t´ e la desigualtat de l’energia, resulta convenient introduir un nou concepte de soluci´ o que demani expl´ ıcitament el seu compliment. En aquest punt, ens apartarem de la terminologia utilitzada per Leray: en lloc de solucions turbulentes, nosaltres en direm solucions globalment dissipatives. Per definici´ o, una soluci´ o globalment dissipativa de (14) a l’interval [0, T ) vol dir una soluci´ o feble en el sentit de §7.6 que a m´ es compleix la desigualtat (53), on S´ es algun subconjunt de (0, T ) que tingui longitud nul.la en el sentit de Lebesgue. Amb aquesta definici´ o, el resultat d’aquesta secci´ o es pot enunciar aix´ ı [20: § V.31]: 3 Teorema Sigui Ω=R3. Per a qualsevol estat inicial u0de quadrat integrable que tingui diverg` encia nul.la en sentit feble, el problema (14)t´ e almenys una soluci´ o globalment dissipativa u(t) la qual est` a definida per a tot temps t≥0. 9 Solucions semiregulars. Regularitat parcial de les solucions globalment dissipatives El m` etode de la secci´ o precedent deixa oberta la possibilitat que hi hagi diverses solucions globalment dissipatives compatibles amb un mateix estat inicial. D’altra banda, tamb´ e hem deixat plantejada la q¨ uesti´ o de si la noci´ o de soluci´ o feble implica o no la desigualtat de l’energia (53), o potser fins i tot la corresponent igualtat. Seguint Leray, en aquest cap´ ıtol veurem qu` e es pot arribar a dir sobre aquestes q¨ uestions i altres de relacionades. 9.1 El contrast entre la desigualtat de l’energia obtinguda al cap ´ ıtol precedent i la igualtat de l’energia obtinguda a §6.2 porta de manera natural a revisar els raonaments de §6.2 i la seva aplicabilitat a les solucions febles. A aquest respecte, de seguida es veu que aquells raonaments corresponen essencialment a aplicar la relaci´ o (36) amb ψ=u. El problema ´ es que aquesta operaci´ o no est` a justificada llevat que usigui prou regular. En aquest sentit, la relaci´ o (36) demana expl´ ıcitament que ψpertanyi a e D σ(Ω). Aquesta condici´ o es pot relaxar una mica, per` o no fins al punt de permetre prendre ψ=uquan u´ es nom´ es una soluci´ o feble. La principal dificultat radica a assegurar que tingui Les equacions de Navier-Stokes 91 sentit la integral Rt 0RΩu·∇u·udVds(el curi´ os del cas ´ es que de fet esperem que aquesta integral s’anul.li tan bon punt tingui sentit !). A aquest efecte, les condicions d’integrabilitat de ui∇uque hem incl` os en la definici´ o de soluci´ o feble (condicions a) i b) de §7.6 ) s´ on suficients en dimensi´ o 2 (gr` acies a la desigualtat (30)), per` o no en dimensi´ o 3, on cal alguna condici´ o addicional. Per exemple, seria suficient saber que la norma ku(s)k∞ est` a acotada independentment de s∈[0, t]. Afinant una mica m´ es, de fet n’hi ha prou que estigui ben definida la integral seg¨ uent: kuk2 ∞,2,t :=Zt 0kuk2 ∞ds. (54) Seguint Leray [20: § IV.23](vegeu tamb´ e[19: § III]), definirem una soluci´ o semiregular de (14) en l’interval [0, T ) com una soluci´ o feble en aquest interval que sigui soluci´ o cl` assica en l’interval obert (0, T ) i tingui la propietat que la integral (54) convergeixi per a tot t∈(0, T ). Amb aquesta definici´ o, els arguments apuntats m´ es amunt permeten afirmar que les solucions semiregulars satisfan la igualtat de l’energia (la qual cosa implica de passada que u(t) convergeix fortament cap a u0quan t↓0). 9.2 Suposem que u´ es una soluci´ o feble de (14) a l’interval [0, T) i que tamb´ e ´ es soluci´ o cl` assica en l’interval obert (0, T ). Certament, aix` o´ ultim implica la converg` encia de Rt t0kuk2 ∞ds sempre que 0<t0<t <T . Aix´ ı, doncs, en tot cas els problemes de converg` encia de la integral (54) es troben en el l´ ımit s↓0. Si l’estat inicial u0´ es prou regular, llavors no hi ha cap problema: de fet, les solucions que hem obtingut a §5 s´ on clarament semiregulars, ja que tenen la propietat que ku(s)k∞est` a acotada independentment de s∈[0, t] (§5.5). D’altra banda, la converg` encia de la integral (54) no exclou la possibilitat que ku(s)k∞→ ∞ quan s↓0, com cal esperar en el cas d’estats inicials que continguin singularitats (en el sentit de § 7.1). Doncs b´ e, suposem que, a part de tenir quadrat integrable (´ es a dir energia finita) i diverg` encia nul.la, u0nom´ es est` a restringit per la condici´ o addicional seg¨ uent: |∇u0|2´ es integrable (55) (on les derivades ∇u0s’entenen en sentit feble). En dimensi´ o 3 aquesta condici´ o no permet descartar que u0contingui singularitats. Tot i aix´ ı, Leray va demostrar que si u0compleix la condici´ o(55)llavors el problema (14)t´ e una soluci´ o semiregular i nom´ es una. De fet, tamb´ e va arribar a la mateixa conclusi´ o per a certes hip` otesis alternatives a (55) —com ara que |u0|psigui integrable per a alguna p > 3—, per` o m´ es avall ser` a especialment rellevant el cas de la condici´ o (55). Per a obtenir solucions de (14) per a estats inicials u0poc regulars, Leray considera les solucions cl` assiques de (14) amb estat inicial Rε∗u0, on Rε´ es el nucli regularitzador que ha estat introdu¨ ıt a §8.1, i llavors passa 92 X. Mora al l ´ ımit ε→0. El car` acter semiregular de la soluci´ o, ´ es a dir, la converg` encia de la integral (54), deriva de la condici´ o (55) gr` acies a una acotaci´ o de la forma ku(t)k∞≤C (νt)−1/4k∇u0k2, la qual s’obt´ e a partir de les equacions integrals de la secci´ o 5 mitjanc¸ant la utilitzaci´ o de certes desigualtats generals. Tot plegat, permet obtenir el resultat seg¨ uent d’exist` encia (la unicitat la deixem per a l’apartat seg¨ uent) [20: § III.21, IV.24]: 4 Teorema Sigui Ω=R3. Si l’estat inicial u0compleix la condici´ o(55), llavors el problema (14)t´ e una soluci´ o semiregular u(t) que est` a definida en un interval de temps de la forma 0≤t < T(u0), on T(u0)pot ser infinit, i existeixen unes constants C3iC4tals que: a)Si T(u0)<∞llavors k∇u(t)k2>C3ν (ν(T(u0)−t))1/4quan t→T (u0). b)Si 1 ν4k∇u0k2 2ku0k2 2< C4llavors T(u0)= ∞. 9.3 A§9.1 hem vist que les solucions semiregulars compleixen la igualtat de l’energia. A m´ es d’aix` o, aquestes solucions s´ on especialment interessants en relaci´ o amb la q¨ uesti´ o de la unicitat. Aix` o´ es a causa que aquesta q¨ uesti´ o es pot estudiar mitjanc¸ant un m` etode molt af´ ı als c` alculs que porten a la igualtat de l’energia. En efecte, si uivs´ on dues solucions cl` assiques de (14) corresponents respectivament als estats inicials u0iv0, llavors la difer` encia w=u−v´ es soluci´ o del problema ∂w/∂t −ν∆w+∇r= −(w·∇)u−(v·∇)w,∇·w=0, w|∂Ω=0,w|∞=0,w|t=0=w0,(56) on w0=u0−v0. Procedint de manera an` aloga a §6.2, ´ es a dir, multiplicant escalarment per wi integrant, s’arriba a la igualtat seg¨ uent: 1 2kw(t)k2 2+Zt 0ZΩ ν|∇w|2dVds=1 2kw0k2 2+Zt 0ZΩ w·∇w·udVds. (57) Noteu que el terme que contenia vha desaparegut a causa que RΩv·∇w·wdV val 0 (per la mateixa ra´ o que en l’equaci´ o (25)). A partir de la relaci´ o (57) es dedueix f` acilment que kw(t)k2 2≤ kw0k2 2exp 1 2νZt 0kuk2 ∞ds!. (58) En particular, si uivcorresponen a un mateix estat inicial, ´ es a dir, u0=v0, llavors tenim w0=0, i per tant (58) implica que w=0,´ es a dir, u=v. Com es pot veure, (58) requereix la converg` encia de la integral (54) que ha motivat la definici´ o de soluci´ o semiregular. Doncs b´ e, mitjanc¸ant una reformulaci´ o adient, l’argument precedent es pot fer extensiu a les solucions semiregulars; m´ es encara, relacionat amb el fet que a l’equaci´ o (57) apareix u Les equacions de Navier-Stokes 93 per` o no v, de fet nom´ es cal suposar semiregular la soluci´ ou, mentre que vpot ser qualsevol soluci´ o globalment dissipativa [20: § VI.32]. La demostraci´ o es basa en la identitat kwk2 2= ku−vk2 2= kuk2 2+kvk2 2−2hv,ui, i consisteix a tractar els tres termes de la dreta respectivament mitjanc¸ant: a) la igualtat de l’energia aplicada a la soluci´ o semiregular u;b) la desigualtat de l’energia aplicada a la soluci´ o globalment dissipativa v, i c) un cas particular de la relaci´ o que expressa que v´ es soluci´ o feble de (14), a saber, el cas en qu` e prenem com a funci´ o de prova la funci´ o regular u(´ es a dir, la relaci´ o (36) amb uiψsubstitu¨ ıdes respectivament per viu); en aquest punt s’utilitza tamb´ e el fet que la funci´ ou´ es soluci´ o cl` assica per a t >0. El resultat ´ es una relaci´ o que nom´ es difereix de (57) en qu` e el signe d’igualtat est` a substitu ¨ ıt per un signe de desigualtat. De totes maneres, aix` o´ es suficient per a deduir la desigualtat (58) i concloure que u0=v0implica u=v. Aix´ ı, doncs, podem enunciar el resultat seg¨ uent, en el qual la part a) ha estat obtinguda a § 9.1: 5 Teorema Sigui Ω=R3. Una soluci´ o semiregular udefinida en un interval de la forma [0, T) t´ e les propietats seg¨ uents: a) satisf` a la igualtat de l’energia; b) ´ es ´ unica, i c) de fet, coincideix, en tot l’interval [0, T ), amb qualsevol soluci´ o globalment dissipativa que comenci amb el mateix estat inicial i estigui definida a[0, T0)amb T0≥T. 9.4 Notablement, els teoremes 4 i 5 permeten deduir resultats forc¸a interessants sobre la regularitat parcial de les solucions globalment dissipatives. Per definici´ o, una soluci´ o globalment dissipativa u´ es soluci´ o feble i per tant t´ e la propietat que |∇u|2´ es integrable sobre Ω×[0, t] per a qualsevol t > 0. Ara b´ e, aix` o implica que |∇u(t0)|2´ es integrable sobre Ωper a qualsevol t0∈ [0,∞)\S, on Srepresenta un conjunt de longitud nul.la. Per tant, en virtut dels dos teoremes precedents, u(t0)´ es l’estat inicial d’una ´ unica soluci´ o semiregular que est` a definida en un interval de la forma [t0, T ) i en aquest interval la soluci´ o globalment dissipativa uha de coincidir forc¸osament amb aquesta soluci´ o semiregular. A partir d’aix` o, es pot deduir que u´ es soluci´ o cl` assica en uns intervals oberts disjunts Jk(k =0,1,2,...) la uni´ o dels quals t´ e com a complementari un conjunt de longitud nul.la. D’altra banda, el fet que una soluci´ o globalment dissipativa ucompleix la desigualtat de l’energia (53) es pot combinar amb l’acotaci´ o inferior b) del teorema 4 per a obtenir certes conseq¨ u` encies sobre els intervals de regularitat i el comportament de la soluci´ o en el l´ ımit t→ ∞. Concretament, el resultat que s’obt´ e´ es el seg¨ uent [20: § IV.33–34]: 6 Teorema Sigui Ω=R3. Sigui uuna soluci´ o globalment dissipativa de (14) a l’interval [0,∞). Llavors u´ es soluci´ o cl` assica en uns intervals oberts disjunts Jk(k =0,1,2,...) la uni´ o dels quals t´ e com a complementari un conjunt de longitud nul.la en el sentit de Lebesgue. M´ es concretament, els intervals Jk compleixen les propietats seg¨ uents, on C3´ es la constant del teorema 4 i |J|re- 100 X. Mora una funci´ o cont ´ ınua de t∈[0,∞)en E. Per a cada t≥0, l’operador e−At passa de l’estat inicial a l’estat al cap del temps t, de manera que es compleix la relaci´ o e−A(t+s) =e−At e−As (t, s ≥0). En virtut d’aquesta propietat, es diu que la col.lecci´ o d’operadors e−At (t ≥0)constitueix un semigrup. Noteu que quan A´ es l’operador d’Stokes els operadors e−At no s´ on altra cosa que els operadors integrals de nucli Γ (t) introdu ¨ ıts a la secci´ o 5, ´ es a dir, e−At Z0=Γ (t)∗u0. Com veurem a continuaci´ o, els m` etodes de la teoria de semigrups permeten construir i analitzar aquests operadors no solament en el cas Ω=Rn, sin´ o tamb´ e quan Ω⊂Rn. Noteu tamb´ e que un cop es disposa de la soluci´ o de (67) en la forma (71), llavors ´ es d’esperar que la soluci´ o del problema no homogeni (68) vingui donada per la f´ ormula Z(t) =e−At Z0+Zt 0 e−A(t−s) f(s) ds. (72) 10.3.2 Una situaci´ o en qu` e´ es relativament senzill construir els operadors e−At (t ≥0)´ es aquella en qu` eE´ es un espai d’Hilbert i l’operador A´ es autoadjunt i positiu. En les hip` otesis de partida adoptades m´ es amunt, aquestes dues ´ ultimes condicions equivalen a dir que hAX,Yi=hX,AYii que hAX,Xi≥0, on X,Ys´ on elements arbitraris de Xih·,·i representa el producte escalar de E. Per a l’operador d’Stokes en el context de la norma quadr` atica, aquestes propietats es dedueixen f` acilment del car` acter ortogonal de la descomposici´ o d’Stokes-Helmholtz i de la validesa de la relaci´ oRΩu·∆vdV= −RΩ∇u:∇vdV per a u,v∈D σ(Ω). Doncs b´ e, en aquesta situaci´ o els operadors e−At (t ≥0)es poden definir a trav´ es de l’anomenada representaci´ o espectral de l’operador A. Aix` o resulta especialment senzill quan es disposa d’una base de Eformada per funcions pr` opies de A(en el sentit d’una base numerable a l’estil de Fourier, com la que hem considerat ja a §10.1). Segons van demostrar David Hilbert i Erhard Schmidt (1904–1907), tal base existeix sempre que At´ e una certa propietat (resolvent compacte) que en el cas de l’operador d’Stokes es compleix tan bon punt la regi´ oΩ´ es acotada, hip` otesi que adoptarem a partir d’ara. En la situaci´ o que estem considerant, les funcions pr` opies i els corresponents valors propis, ψkiλk(k =1,2, . . .), tenen llavors les propietats seg¨ uents: a) per definici´ o Aψk=λkψk;(73) b) els valors propis s´ on nombres reals positius i formen una successi´ o no decreixent que tendeix a ∞;c) convenientment ajustades, les funcions pr` opies tenen norma unitat i s´ on ortogonals entre si; i d) les f´ ormules seg¨ uents estableixen una correspond` encia biun´ ıvoca entre els elements Xde Ei les successions num` eriques ξk(k=1,2, . . .) de suma quadr` atica P∞ k=1ξ2 kconvergent: X=∞ X k=1 ξkψk, ξk= hX,ψki,kXk2=∞ X k=1 ξ2 k. (74) Les equacions de Navier-Stokes 101 Operant terme a terme sobre (74.1), la igualtat (73) comporta que AXhauria de venir donada per la s` erie AX=∞ X k=1 λkξkψk. (75) Aquesta relaci´ o correspon a dir que en la base que estem considerant els coeficients de Xi els de AXestan relacionats per una matriu diagonal (infinita). Tanmateix no es pot esperar que la s` erie precedent sigui convergent per a qualsevol Xde E(a causa que λk→ ∞ quan k→ ∞). Tot i aix´ ı, el car` acter tancat de l’operador Apermet afirmar que la converg` encia d’aquesta s` erie ´ es exactament equivalent a la pertinenc¸a de XaX, i que tan bon punt es compleixen aquestes condicions llavors val la igualtat (75) (dit d’una altra manera, sempre que t´ e sentit un dels dos membres de (75), llavors t´ e sentit l’altre i val la igualtat). D’altra banda, la igualtat (73) tamb´ e comporta que la funci´ oZ(t)=e−λktψk ´ es soluci´ o de (67) amb Z0=ψk, la qual cosa porta a definir els operadors e−At (t ≥0)de la manera seg¨ uent: e−At X=∞ X k=1 e−λktξkψk. (76) A difer` encia de (75), en aquest cas la propietat λk>0 garanteix que la s` erie precedent ´ es convergent per a qualsevol X∈E(amb l’acotaci´ oke−AtXk ≤ kXk). No costa gaire de comprovar que els operadors e−At (t ≥0)aix´ ı definits compleixen les propietats desitjades. En particular, per a X∈Xes justifiquen f` acilment les dues relacions seg¨ uents: d dt(e−At X)= − ∞ X k=1 λke−λktξkψk, A e−At X=∞ X k=1 λke−λktξkψk, (77) d’on es dedueix que en aquest cas (X∈X) la funci´ oZ(t) =e−At Xconstitueix efectivament una soluci´ o de (67.1). La idea d’utilitzar el m` etode espectral precedent per a resoldre el problema lineal (67) associat a l’operador d’Stokes va ser proposada ja el 1931 per Folke Odqvist [17]. A partir del 1950, diversos autors van desenvolupar aquesta idea en un marc funcional com el de m´ es amunt (vegeu per exemple [35a, 24a, 37]). ´ Es interessant notar que en el mateix treball de 1931 Odqvist suggeria tamb´ e un altre m` etode, basat en la transformaci´ o de Laplace, el qual ha estat utilitzat posteriorment de manera sistem` atica en la teoria de semigrups. Aqu´ ı ens limitarem a comentar que el m` etode de la transformaci´ o de Laplace t´ e un abast m´ es general que el precedent, i que en particular permet treballar en altres normes diferents de la norma quadr` atica. 10.3.3 Els semigrups com el que acabem de construir tenen unes propietats especials que esdevenen crucials a l’hora de considerar equacions no lineals de 102 X. Mora la forma (69). Per exemple, tenint en compte que la funci´ o num` erica λe−λest` a acotada independentment de λ≥0, es veu de seguida que, per a t >0, la s` erie de (77) ´ es convergent per a qualsevol X∈E. Aix´ ı, doncs, les relacions (77) es poden justificar no solament per a X∈Xit≥0, sin´ o tamb´ e per a qualssevol X∈Eit > 0. Basant-nos en aquest fet, podem dir que la funci´ oZ(t)=e−At Z0 proporciona la soluci´ o del problema d’evoluci´ o (67) no solament per a Z0∈X, sin´ o tamb´ e per a qualsevol Z0∈E: en efecte, recolzant-nos en un argument de l’estil de §6.2 i §9.3, podem assegurar que Z(t) ´ es l’´ unica funci´ o cont ´ ınua a l’interval tancat 0 ≤t < ∞i derivable en l’interval obert 0 < t < ∞que satisf` a la condici´ o inicial (67.2) i despr´ es evoluciona segons l’equaci´ o diferencial (67.1). En la terminologia de la teoria de semigrups, es diu que tenim un semigrup diferenciable. Per definici´ o, aix` o significa que, per a qualsevol X∈E, la funci´ o t,e−AtX´ es diferenciable en l’interval obert 0 < t < ∞. Tal com es demostra en la teoria de semigrups, aix` o implica autom` aticament que, per a t > 0, els valors de e−AtXpertanyen a X, el domini de l’operador A. No solament aix` o; de fet, la propietat de semigrup permet deduir que, per a qualsevol X∈E, la funci´ ot,e−AtX´ es infinitament diferenciable en l’interval obert 0 < t < ∞, i en aquest interval els valors de e−AtXpertanyen a T∞ n=1Xn, on Xnrepresenta el domini de definici´ o de l’operador An. En el cas que ens ocupa —i en general sempre que Xrepresenti una funci´ o d’alguna variable xiAutilitzi derivades respecte a aquesta variable—, X=X1´ es un subconjunt estricte de E=X0, i aix` o comporta que Xn´ es un subconjunt estricte de Xn−1per a qualsevol nenter positiu. M´ es concretament, els conjunts Xn(n =0,1,2, . . .) estan formats per funcions que s´ on cada vegada m´ es derivables respecte a x(en algun sentit generalitzat). Aix´ ı, doncs, el car` acter diferenciable del semigrup correspon a les propietats de regularitzaci´ o que ja trob` avem a la secci´ o 5. En la situaci´ o de §10.3.2, aquest car` acter regularitzador est` a quantificat per l’acotaci´ o seg¨ uent, la qual es dedueix de (77) en tenir en compte que λe−λ≤e−1(∀λ≥0): per a qualsevol X∈Ei qualsevol t > 0 es compleix kA e−At Xk ≤ C1t−1kXk, (78) on C1=e−1. La validesa d’una acotaci´ o d’aquesta forma, possiblement amb un altre valor de la constant C1, caracteritza els anomenats semigrups anal´ ıtics. Tal com indica aquesta denominaci´ o, a partir de (78) es pot deduir que la funci´ ot,e−AtXno solament ´ es infinitament diferenciable, sin´ o que a m´ es ´ es anal ´ ıtica (en l’interval obert 0 < t < ∞, a partir del qual es pot estendre llavors a valors complexos de t). Junt amb l’acotaci´ o precedent, els semigrups anal´ ıtics satisfan la generalitzaci´ o seg¨ uent en termes d’un par` ametre α > 0: kAαe−At Xk ≤ Cαt−αkXk. (79) Tal com veurem en un moment, de cara a l’estudi de l’equaci´ o no lineal (69) resulta especialment interessant el cas en qu` eα´ es un nombre fraccionari Les equacions de Navier-Stokes 103 entre 0 i 1. En la situaci´ o de §10.3.2, les corresponents pot` encies fraccion` aries de Aes poden definir de manera an` aloga a (75) i (76): AαX=∞ X k=1 λα kξkψk, (80) i el seu domini de definici´ oXαest` a caracteritzat simplement per la converg` encia de la s` erie precedent. Combinada amb (76), aquesta definici´ o proporciona immediatament l’acotaci´ o (79) amb Cα=(α/e)α. De manera an` aloga al cas α=1, el domini Xα´ es un espai complet en la norma k·k(α) definida mitjanc¸ant la f´ ormulakXk(α) =kAαXk+kXk. 10.3.4 Les eines precedents permeten estudiar l’equaci´ o (69) mitjanc¸ant un m` etode d’aproximacions successives a l’estil de la secci´ o 5. De manera an` aloga a com f` eiem all` a, es tracta d’utilitzar la f´ ormula (72) amb f(t) =B(Z(t)),´ es a dir, Z(t) =e−At Z0+Zt 0 e−A(t−s) B(Z(s)) ds, (81) i seguir un proc´ es d’aproximacions successives que correspon a posar Z=Zm−1 en el segon membre d’aquesta equaci´ o integral i Z=Zmen el primer membre. En posar en marxa aquest procediment, sorgeix el problema que l’operador no lineal Btamb´ e t´ e, com A, un domini de definici´ o m´ es petit que E, diguem-ne Y, de manera que per a poder donar sentit a (81) i al corresponent proc´ es d’aproximacions successives cal assegurar que Zpren valors a Y. Ara b´ e, aix` o no ´ es tan dif´ ıcil si es pot prendre Y=Xαper a alguna α < 1: en efecte, l’acotaci´ o (79) junt amb la converg` encia de la integral Rt 0(t −s)−αds assegura que la integral del segon membre de (81) d´ ona un element de Xα. M´ es concretament, per a poder arribar a un resultat an` aleg al teorema 1 nom´ es cal suposar que Baplica Xαen Ei que compleix una acotaci´ o de la forma kB(X)−B(Y)k ≤ LkX−Yk(α) sempre que les normes kXk(α) ikYk(α) es mantenen acotades. Per a poder verificar aquesta ´ ultima condici´ o, resulta essencial disposar de caracteritzacions menys abstractes dels espais Xαi de les seves normes k·k(α) per a 0 ≤α≤1. Aix` o´ es relativament f` acil per a α=1/2, per` o el cas α=1 esdev´ e forc¸a t` ecnic. Un cop resolt aquest cas, que ´ es una tasca que van dur a terme el 1960–1961 Vsevolod A. Solonnikov [33] i Lamberto Cattabriga [34], llavors no costa gaire passar a la resta de valors de α. L’aplicaci´ o d’aquestes idees a les equacions de Navier-Stokes es va fer pels volts de 1960 amb les contribucions de Selim G. Kre˘ ın [35], Pavel E. Sobolevski˘ ı[36], i de Hiroshi Fujita junt amb Tosio Kato [38]. D’acord amb els resultats finals d’aquests treballs, les equacions de Navier-Stokes per a n=2 o 3 es poden encabir en l’esquema precedent (en el context de la norma quadr` atica) tot prenent α > n/4. 104 X. Mora En termes generals, les t` ecniques que hem vist en aquest cap´ ıtol permeten estendre els resultats de les seccions precedents al cas d’una regi´ oΩ⊂Rn. Tanmateix, el nucli del problema segueix sent essencialment el mateix. 11 Unicitat versus regularitat. Dissipaci´ o local. Regularitat parcial de solucions localment dissipatives 11.1 Recordem les preguntes fonamentals que tenim plantejades. Aquestes es refereixen al problema d’evoluci´ o per a les equacions de Navier-Stokes, ´ es a dir, al problema de trobar la soluci´ o, o solucions, de (14) per a un estat inicial donat. Per a agilitzar el llenguatge, a partir d’ara se sobreentendr` a que estem parlant de solucions globals,´ es a dir, definides per a tot temps t≥0. Amb aquest conveni, i potser estirant una mica la terminologia en un sentit que explicarem tot seguit, les preguntes 1 i 2, formulades respectivament a §3.4 i a §7.1, es poden replantejar de la manera seg¨ uent (on la pregunta 20va en sentit contrari a la pregunta 2): Pregunta 1 (Exist` encia i unicitat). ´ Es cert que el problema t´ e una sola soluci´ o? Pregunta 20(Exist` encia i regularitat). ´ Es cert que el problema t´ e (almenys) una soluci´ o regular? Precisem qu` e volem dir en cada cas. Comencem per la pregunta 20i el terme soluci´ o regular. Aquest terme ve a recollir tot un ventall de significats que en principi s´ on diferents, per` o que en el cas que ens ocupa resulten ser equivalents. Un possible significat seria el concepte de soluci´ o sense singularitats. Per ser precisos, l’abs` encia de singularitats conv´ e entendre-la com dient que u´ es una funci´ o cont ´ ınua i acotada en qualsevol conjunt de la forma Ω×[0, t]. En aquest context, la condici´ o de ser soluci´ o es pot entendre en sentit feble o tamb´ e en el sentit de l’equaci´ o integral (19) de la secci´ o 5. Un altre possible significat ´ es el de soluci´ o m` aximament regular,´ es a dir infinitament derivable en el conjunt obert Ω×(0,∞)itot el que sigui possibleen el conjunt tancat Ω×[0,∞). El que es pot pretendre en aquest ´ ultim conjunt dep` en de la regularitat que tinguin les dades, u0iΩ. En aquest context, la condici´ o de ser soluci´ o de (14) es pot entendre en sentit cl` assic, almenys quan les dades s´ on prou regulars. Els estats inicials u0poc regulars poden ser incompatibles amb demanar la continu¨ ıtat de uen el conjunt tancat Ω×[0,∞), cas en el qual la condici´ o inicial (14.5) s’ha d’entendre en algun sentit m´ es feble (en particular, aquest ´ es el cas de les solucions semiregulars de la secci´ o 9, on u(t) s’acosta a u0en la norma quadr` atica quan t↓0). En principi, les solucions cl` assiques estan situades entre les solucions sense singularitats i les m` aximament regulars. En efecte, la interpretaci´ o cl` assica de les equacions (14) nom´ es requereix una regularitat limitada. Les equacions de Navier-Stokes 105 Doncs b´ e, tal com hem vist a la secci´ o 5 i a §10.3.3, les equacions de Navier-Stokes tenen un car` acter regularitzador que fa que aquests diferents significats resultin equivalents. En altres paraules, si u´ es una soluci´ o de (14) sense singularitats, llavors ´ es m` aximament regular. M´ es generalment, hi ha diversos resultats que v´ enen a dir que si u´ es m´ ınimament regular en algun sentit concret i ´ es soluci´ o de (14) llavors ´ es m` aximament regular (el problema ´ es que la regularitat m ´ ınima requerida no arriba a incloure les solucions febles, almenys en els resultats d’aquest estil obtinguts fins ara). En particular, el terme soluci´ o regular es pot considerar, doncs, com a sin` onim de soluci´ o cl` assica. Per tant, la pregunta 20´ es la mateixa que ens plantej` avem a les seccions 5–7, a saber, si les solucions cl` assiques es poden estendre a tot temps t≥0. Per` o ara tamb´ e ens la podem mirar des d’un altre punt de vista: partint de les solucions febles, que ja sabem que existeixen per a tot temps t≥0, es tracta de veure si entre elles en podem trobar alguna que no contingui singularitats. Considerem ara la pregunta 1: ´ Es cert que el problema t´ e una sola soluci´ o? A difer` encia de la pregunta 20, aqu ´ ı no estem especificant cap tipus concret de soluci´ o. La idea ´ es que volem estar oberts a possibles nocions generalitzades. D’altra banda, tampoc no es tracta d’acceptar qualsevol cosa com a soluci´ o. En aquest sentit, per a admetre un concepte de soluci´ o generalitzada resulta natural imposar la condici´ o seg¨ uent: quan u´ es prou regular, llavors u´ es soluci´ o generalitzada si i nom´ es si u´ es soluci´ o cl` assica. Tal com hem vist en les seccions anteriors, la noci´ o de soluci´ o feble satisf` a la propietat d’exist` encia (global), per` o la unicitat no est` a assegurada. D’altra banda, la propietat d’exist` encia (global) es compleix tamb´ e dins de certes classes de solucions que s´ on m´ es restrictives. En efecte, m´ es amunt hem vist que es compleix en la classe de solucions globalment dissipatives, la qual est` a continguda en la classe de solucions febles. Davant d’aix` o, ´ es l` ogic plantejarse la q¨ uesti´ o de la unicitat a dins d’aquesta classe m´ es restrictiva. M´ es avall insistirem en aquesta direcci´ o. Per` o abans conv´ e fer un aclariment respecte a la relaci´ o entre les preguntes 1 i 20. 11.2 Les preguntes 1 i 20no s´ on independents. En efecte, per la part d’unicitat del teorema 1 est` a clar que una resposta afirmativa a la pregunta 20implica autom` aticament una resposta afirmativa a la pregunta 1 dins de la classe de solucions regulars. D’altra banda, aquesta proposici´ o´ es certament invertible: si tenim una sola soluci´ o regular, ` obviament en tenim almenys una. Tanmateix, una resposta afirmativa a la pregunta 1 en una classe de solucions generalitzades no implica necess` ariament una resposta afirmativa a la pregunta 20. En general, podria passar que cada estat inicial determin´ es una sola soluci´ o definida per a tot temps t≥0, per` o aquesta no fos regular. Tal com assenyala Michael Struwe a[64], de fet aquesta situaci´ o t´ e lloc en certes equacions en derivades parcials que no s´ on tan diferents de les equacions de Navier-Stokes (com ara l’equaci´ o 106 X. Mora ∂u/∂t =∆u+|∇u|2u, quan xvaria a l’interior d’un cercle i upren valors en una esfera). Aix ´ ı, doncs, les dues preguntes de m´ es amunt no s´ on equivalents. Des d’un punt de vista filos` ofic, la m´ es important de les dues ´ es certament la pregunta 1, ´ es a dir, la q¨ uesti´ o del determinisme. Tot i aix ´ ı, el problema del mil.lenniespecificat pel Clay Mathematics Institute no consisteix en la pregunta 1 sin´ o en la pregunta 20[78]. 11.3 Respecte a la pregunta 1, el 1969 Ladyzhenskaya va donar un exemple de manca d’unicitat de solucions febles que malgrat certes propietats indesitjables no deixa de ser interessant [29]. L’exemple en q¨ uesti´ o es basa en una idea de Golovkin (1964) i en certes construccions afins a les solucions autosimilars de Leray (§7.2). La principal difer` encia respecte a aquestes ´ ultimes ´ es que aqu´ ı les singularitats no apareixen quan t↑T, sin´ o quan t↓0. Dit d’una altra manera, no es tracta de la formaci´ o d’una singularitat, sin´ o de la seva evoluci´ o posterior. D’altra banda, la singularitat que est` a present a t=0 resulta en un valor infinit de l’energia, la qual cosa li resta inter` es. De totes maneres, Ladyzhenskaya adapta la construcci´ o a una regi´ o espaciotemporal de la forma {(x, t) |t > 0,x/√t∈Ω1}—on la part espacial es contrau a un punt quan t↓0— i argumenta que en aquesta regi´ o les funcions constru¨ ıdes es poden considerar dues solucions febles diferents d’un mateix problema de contorn. 11.4 Tal com hem vist a §8.6 i §10.1, les solucions febles obtingudes per Leray i Hopf satisfan l’anomenada desigualtat de l’energia, en lloc de la corresponent igualtat que compleixen les solucions regulars. Per` o aix´ ı com aquesta ´ ultima igualtat es dedueix del mateix fet de constituir una soluci´ o regular, la desigualtat de l’energia no est` a assegurada de manera autom` atica per a qualsevol soluci´ o feble. Davant d’aix` o, Leray va optar per incloure expl´ ıcitament aquella desigualtat en la seva definici´ o de solucions turbulentes. Recordeu que nosaltres en diem solucions globalment dissipatives, la qual cosa fa ` emfasi en el fet que satisfan aquella desigualtat. La igualtat de l’energia que compleixen les solucions regulars afirma que en passar d’un instant t0a un altre posterior tl’energia cin` etica decreix exactament en la quantitat Rt t0RΩν|∇u|2dVds. En canvi, la desigualtat de l’energia permet que l’energia decreixi en una quantitat superior a la precedent. Aix´ ı, doncs, quan demanem que una soluci´ o feble compleixi la desigualtat de l’energia, el que estem dient ´ es el seg¨ uent: si les singularitats comporten una desviaci´ o respecte a la igualtat de l’energia, en tot cas aquesta desviaci´ o ha de ser en la direcci´ o de constituir una disminuci´ o addicional de l’energia. Aquesta restricci´ o va en la l ´ ınia del segon principi de la termodin` amica, que en el context que ens ocupa es pot interpretar en termes de la dissipaci´ ode l’energia cin` etica macrosc` opicaen energia microsc` opica. Tanmateix, el segon principi no ´ es nom´ es una q¨ uesti´ o del que passa al conjunt de Ω, sin´ o Les equacions de Navier-Stokes 107 que tamb´ e imposa restriccions en el que passa en qualsevol part del fluid. Aix` o porta a considerar una versi´ o local de la desigualtat de l’energia. En un sentit simb` olic, aquesta condici´ o de dissipaci´ o local correspondria a multiplicar l’equaci´ o diferencial (14.1) escalarment per ui despr´ es substituir el signe d’igualtat per un signe de desigualtat, sense haver integrat abans respecte a xni t: ∂1 2|u|2/∂t −νu·∆u+(u·∇)p+1 2|u|2≤0. (82) Aquesta relaci´ o s’hauria de complir amb un signe d’igualtat a tot arreu on u´ es regular, mentre que en un punt singular s’hauria de complir d’alguna manera la desigualtat estricta. Intentant parlar amb m´ es propietat, podr ´ ıem enfocar-ho des del punt de vista de les equacions integrals de balanc¸ (secci´ o 2), la qual cosa correspon a integrar la relaci´ o precedent sobre una regi´ o espaciotemporal de la forma ω×[t0, t]. Procedint d’aquesta manera, s’obt´ e la relaci´ o seg¨ uent: Zω 1 2|u(t)|2dV+Zt t0Zων|∇u|2dVds≤ Zω 1 2|u(t0)|2dV+Zt t0Z∂ωνu·∇ ⊥u+p+1 2|u|2u⊥dSds. ∀t0≥0,∀t≥t0,∀ω∈P(Ω). (83) Si tenim en compte la condici´ o d’abs` encia de lliscament, de seguida es veu que per a ω=Ωaquesta relaci´ o es converteix en la desigualtat global de l’energia que hem considerat fins ara. Tanmateix, en el cas general, el darrer terme de la desigualtat precedent cont´ e la integral de (p +1 2|u|2)u⊥, la qual no est` a clar que estigui ben definida per a les solucions febles. Alternativament, podem enfocar la q¨ uesti´ o des del punt de vista de les equacions integrals amb qu` e s’expressa la noci´ o de soluci´ o feble (secci´ o 7). Ja que la relaci´ o (82) que volem traduir a una versi´ o feble no ´ es una igualtat sin´ o una desigualtat, resulta natural restringir-se a funcions de prova positives sobre la regi´ o espaciotemporal Ω×(0,∞). En el que segueix el conjunt de tals funcions de prova el denotarem D+(Ω×(0,∞)). Com en la secci´ o 7, es tractar` a de multiplicar la relaci´ o (82) per un element arbitrari d’aquest conjunt, integrar sobre Ω×[0, t] i aplicar la f´ ormula d’integraci´ o per parts per tal de transferir les derivades a la funci´ o de prova. Procedint d’aquesta manera, s’arriba a la formulaci´ o seg¨ uent: ZΩ 1 2|u(t)|2φ(t) dV+Zt 0ZΩ ν|∇u|2φdVds≤ Zt 0ZΩ1 2|u|2(∂φ/∂t +ν∆φ)+p+1 2|u|2u·∇φdVds. ∀t > 0,∀φ∈D+(Ω×(0,∞)). (84) 108 X. Mora Doncs b´ e, encara que no ´ es gens obvi, resulta que la definici´ o de soluci´ o feble implica certes acotacions sobre les integrals espaciotemporals de |u|3i de |pu|que permeten donar sentit als diversos termes de (84). En conson` ancia amb la nostra terminologia anterior, les solucions febles que satisfan aquesta condici´ o les anomenarem solucions localment dissipatives. Tamb´ e esmentarem aqu ´ ı que existeix una reformulaci´ o forc¸a interessant de la condici´ o precedent de Jean Duchon i Raoul Robert [50]. 11.5 De fet, la condici´ o (84) va ser introdu¨ ıda el 1977 per Vladimir Scheffer [40], que va observar que el seu compliment implicava certes propietats de regularitat parcial per a u. Aquestes propietats v´ enen a dir que u´ es regular llevat d’un conjunt de dimensi´ o redu¨ ıda. A m´ es d’aix` o, Scheffer tamb´ e va comprovar que la demostraci´ o de Leray sobre l’exist` encia de solucions febles (secci´ o 8) es pot ajustar de manera que les solucions febles obtingudes compleixin la condici´ o de dissipaci´ o local (84). El 1982 aquests resultats van ser millorats per Luis Caffarelli, Robert Kohn i Louis Nirenberg [42] (els quals es refereixen a les solucions que acabem d’introduir com a solucions febles adients), i posteriorment encara han estat refinats per Fang-Hua Lin [48] i per Olga A. Ladyzhenskaya i Grigori˘ ı A. Ser¨ egin [49]. En conjunt, aquests treballs permeten enunciar els dos teoremes seg¨ uents: 7 Teorema Sigui Ω=R3. Per a qualsevol estat inicial u0de quadrat integrable que tingui diverg` encia nul.la en sentit feble, el problema (14)t´ e almenys una soluci´ o localment dissipativa u(t) que est` a definida per a temps arbitr` ariament grans. 8 Teorema Sigui Ω=R3. Sigui uuna soluci´ o localment dissipativa de (14) a l’interval [0,∞). Llavors u´ es regular en un subconjunt obert de Ω×(0,∞) el qual t´ e com a complementari un conjunt de dimensi´ o inferior o igual a 1en el sentit de Haussdorff. 11.6 En realitat, la demostraci´ o d’aquest ´ ultim teorema no utilitza el fet que usigui soluci´ o (feble) de les equacions (14), sin´ o que es basa ´ unicament en la desigualtat (84) i en el car` acter acotat de diverses integrals que hi estan associades. Doncs b´ e, vers el 1985 Scheffer va mostrar que es poden construir funcions uque compleixen totes aquestes premisses i en canvi tenen un conjunt singular de dimensi´ o fraccion` aria arbitr` ariament propera a 1 [45]. Aix` o significa que si mai s’arriba a obtenir algun resultat m´ es fort que el teorema 8, en tot cas la seva demostraci´ o haur` a d’utilitzar la resta d’informaci´ o que hi ha sobre u. De fet, la funci´ ouconstru¨ ıda per Scheffer no ´ es soluci´ o del problema (14), sin´ o d’un problema m´ es general en el qual l’equaci´ o (14.1) cont´ e una forc¸a exterior f, com consider` avem en l’equaci´ o (9). D’altra banda, uifes construeixen de tal manera que es compleix la desigualtat f·u≤0 (a tot arreu), ´ es a dir, que Les equacions de Navier-Stokes 109 factua en la direcci´ o de frenar el moviment, o el que ´ es el mateix, proporciona una dissipaci´ o addicional d’energia. A primera vista, aix` o hauria de dificultar la formaci´ o de singularitats. Tanmateix cal notar que, en pres` encia de la forc¸a exterior f, la condici´ o de dissipaci´ o local que requereix el segon principi de la termodin` amica ja no ve donada exactament per (82)–(84), sin´ o que en el segon membre de (82) hi ha de figurar la quantitat f·u, de manera que resulta una condici´ o m´ es restrictiva (a causa del signe d’aquesta ´ ultima quantitat). En canvi, en la construcci´ o de Scheffer nom´ es es compleix (82). Pel que sembla, aquest marge juga un paper essencial a l’hora de possibilitar que udesenvolupi singularitats. Val a dir que l’exemple de Scheffer utilitza certes idees d’autosimilaritat que recorden l’intent de Leray en la mateixa direcci´ o (§7.2). En el cas de Scheffer, aquesta autosimilaritat d´ ona lloc a un car` acter fractal, el qual t´ e un paper essencial de cara a obtenir una dimensi´ o fraccion` aria positiva del conjunt de singularitats. Segons Scheffer, es podria aconseguir que la funci´ offos infinitament derivable a Ω×[0, T ), on Trepresenta el primer instant singular. Tanmateix sembla bastant inevitable que ftingui algun tipus de singularitat en l’instant T. Aix´ ı, doncs, en el fons les singularitats de us´ on conseq¨ u` encia de les singularitats de f. 11.7 Especialment despr´ es de l’exemple precedent, el teorema 8 es pot veure com un intent frustrat de respondre positivament a la pregunta 20(exist` encia i regularitat). Tanmateix, segons l’observaci´ o que hem fet a §11.2, aix` o no treu que tingui forc¸a sentit plantejar-se la pregunta 1 dins de la classe de solucions localment dissipatives. D’altra banda, at` es que el teorema 7 ja cobreix la part d’exist` encia, nom´ es restaria pendent la q¨ uesti´ o de la unicitat: Pregunta 4. ´ Es cert que el problema d’evoluci´ o per a les equacions de NavierStokes no t´ e m´ es que una soluci´ o localment dissipativa? En suport d’una possible resposta positiva a aquesta pregunta es pot adduir que, en determinats casos de la teoria del moviment d’un fluid compressible no visc´ os, l’aplicaci´ o d’una condici´ o d’entropiaen les singularitats t´ e efectivament la virtut de determinar una sola soluci´ o del corresponent problema d’evoluci´ o. 12 Ep ´ ıleg: despr´ es de tot, la mec` anica celeste tampoc no ´ es perfecta Per limitacions d’espai i temps, la present exposici´ o ha hagut de deixar de banda moltes altres contribucions interessants que tamb´ e giren al voltant de la q¨ uesti´ o del determinisme de les equacions de Navier-Stokes. Per a m´ es informaci´ o, el lector es pot dirigir a altres monografies, com ara [51–54]. Des d’un 116 X. Mora [c] «O primenenii metoda drobnyh stepene$i operatorov k issledovani uravneni$i Nav~e-Stoksa». Dokl. Akad. Nauk SSSR, 155 (1964) , 50–53. / The use of fractional powers of operators in studying the Navier-Stokes equations.Soviet Math. Dokl., 5 , 356–360. [d] «Issledovanie uravneni$i Nav~e-Stoksa metodami teorii paraboliqeskih uravneni$i v Banaxovyh prostranstve». Dokl. Akad. Nauk SSSR, 156 (1964) , 745–748. /Study of the Navier-Stokes equations by the methods of the theory of parabolic equations in Banach spaces.Soviet Math. Dokl., 5 , 720–723. [37] S. Itˆ o, 1961. [ ä] [a] The existence and the uniqueness of regular solution of non-stationary Navier-Stokes equations.J. Fac. Sci. Univ. Tokyo I, 9 (1961) , 103–140. [b] Navier-Stokes ¹nãnX(.Ñf(©â), 32 (1962), 82. / >Existence of solutions of Navier-Stokes equations. Kagaku (Iwanami). [c] Navier-Stokes ¹ncGãnX(h'.pf, 14 (1962/1963), 13–27. / >The existence and the uniqueness of regular solutions of Navier-Stokes equations. Sˆ ugaku. [38] H. Fujita (F), T. Kato (K), 1962–1964. [ ä0•, äO+] [a] (K, F)On the non-stationary Navier-Stokes system.Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 32 (1962) , 243–260. [b] (F) Navier-Stokes ¹n$OLnãnX(—\( np þnÜ(—. pf, 14 (1962/1963), 65–81. / >The unique existence of solutions for the initial-value problem of Navier-Stokes equations (an application of fractional powers of operators). Sˆ ugaku. [c] (F, K)On the Navier-Stokes initial value problem.Arch. Rat. Mech. Anal., 16 (1964) , 269–315. [39] Scheffer, V., 1976. [a] G´ eom´ etrie fractale de la turbulence. ´ Equations de Navier-Stokes et dimension de Haussdorff.C. R. Acad. Sci. Paris A, 282 , 121–122. [b] Turbulence and Haussdorff dimension.Turbulence and Navier Stokes Equations (ed. R. Temam; Springer) : Lecture Notes in Math., 565 , 174–183. [c] Partial regularity of solutions to the Navier-Stokes equations.Pacific J. Math., 66 , 535–552. [40] Scheffer, V., 1977. Haussdorff measures and Navier-Stokes equations.Comm. Math. Phys., 55 , 97–112. [41] Scheffer, V., 1980. The Navier-Stokes equations on a bounded domain.Comm. Math. Phys., 73 , 1–42. [42] Caffarelli, L. (C); Kohn, R. (K); Nirenberg, L. (N), 1982. [a] (C, K, N)Partial regularity of suitable weak solutions of the NavierStokes equations.Comm. Pure Appl. Math., 35 (1982) , 771–831. [b] (K)Partial regularity and the Navier-Stokes equations.Nonlinear Partial Differential Equations in Applied Science (ed. H. Fujita, P. Lax, G. Strang; North-Holland, 1983), p` ag. 101–118. Les equacions de Navier-Stokes 117 [c] (K)The method of partial regularity as applied to the Navier-Stokes equations.Seminar on Nonlinear Partial Differential Equations (ed. S. S. Chern; Springer, 1984), p` ag. 117–128. [43] Kato, T., 1984. Strong Lp-solutions of the Navier-Stokes equations in Rm.Math. Z., 187 , 471–480. [44] Masuda, K., 1984. [a] L2-decay of solutions of the Navier-Stokes equations in the exterior domain.Nonlinear Functional Analysis and its Applications (ed. F. E. Browder; Amer. Math. Soc., 1986) : Proc. Sympos. Pure Math., 45, part 2 , 179–182. [b] Weak solutions of the Navier-Stokes equations.Tˆ ohoku Math. J., 36 (1984) , 623–646. [45] Scheffer, V., 1985–1987. [a] A solution to the Navier-Stokes inequality with an internal singularity. Comm. Math. Phys., 101 (1985) , 47–85. [b] Solutions to the Navier-Stokes inequality with singularities on a Cantor set.Geometric Measure Theory and the Calculus of Variations (ed. W. K. Allard, F. J. Almgren; Amer. Math. Soc., 1986) : Proc. Sympos. Pure Math., 44 , 359–367. [c] Nearly one-dimensional singularities of solutions to the Navier-Stokes inequality.Comm. Math. Phys., 110 (1987) , 525–551. [d] A self-focusing solution to the Navier-Stokes equations with a speedreducing external force.Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1986 (ed. A. M. Gleason; Amer. Math. Soc., 1987), 2 , 1110– 1112. [46] Bellout, H.; Bloom, F.; Neˇ cas, J., 1993–1994. [a] Solutions for incompressible non-Newtonian fluids.C. R. Acad. Sci. Paris I, 317 (1993) , 795–800. [b] Young measure-valued solutions for non-Newtonian incompressible fluids.Comm. Partial Differential Equations, 19 (1994) , 1763–1803. [47] Neˇ cas, J.; R˚ uˇ ziˇ cka, M.; ˇ Sver´ ak, V., 1996. [a] Sur une remarque de Leray concernant la construction de solutions singuli` eres des ´ equations de Navier-Stokes.C. R. Acad. Sci. Paris I, 323 , 245–249. [b] On Leray’s self-similar solutions of the Navier-Stokes equations.Acta Math., 176 , 283–294. [48] Lin, F. H., 1998. A new proof of the Caffarelli-Kohn-Nirenberg theorem. Comm. Pure Appl. Math., 51 , 241–257. [49] Ladyzhenskaya, O. A.; Ser¨ egin, G. A., 1999. On partial regularity of suitable weak solutions to the three-dimensional Navier-Stokes equations.J. Math. Fluid Mech., 1 , 356–387. 118 X. Mora [50] Duchon, J.; Robert, R., 1999–2000. [a] Dissipation d’´ energie pour des solutions faibles des ´ equations d’Euler et Navier-Stokes incompressibles.C. R. Acad. Sci. Paris I, 329 (1999) , 243–248. [b] Inertial energy dissipation for weak solutions of incompressible Euler and Navier-Stokes equations.Nonlinearity, 13 (2000) , 249–255. [51] Galdi, G. P., 2000. An introduction to the Navier-Stokes initial-boundary value problem.Fundamental Directions in Mathematical Fluid Dynamics (ed. G. P. Galdi, J. G. Heywood, R. Rannacher; Birkh¨ auser), p` ag. 1–70. [52] Foias¸, C.; Manley, O.; Rosa, R.; Temam, R., 2001. Navier-Stokes Equations and Turbulence. Cambridge Univ. Press. [53] Sohr; H., 2001. The Navier-Stokes equations. An Elementary Functional Analytic Approach. Birkh¨ auser. [54] C´ ordoba, D.; Fontelos, M. A.; Rodrigo, J. L., 2005. Las matem´ aticas de los fluidos: torbellinos, gotas y olas.La Gaceta de la Real Sociedad Matem´ atica Espa˜ nola, 8 , 565–595. [55] Waller, I., 1948. Carl Wilhelm Oseen: 17/4 1879, 7/11 1944. Minnesteckning.Kungliga Svenska Vetenskapsakademiens ˚ Arsbok, 46 , 357– 379. / ≡Levnadsteckningar ¨ over Kungliga Svenska Vetenskapsakademiens Ledam¨ oter, 133 (Stockholm: Almqvist & Wiksell, 1950). / >Carl Wilhelm Oseen: 17/4/1879, 7/11/1944. In memoriam. [56] Grandin, K., 1999. Ett slags modernism i vetenskapen: Teoretisk fysik i Sverige under 1920-talet. Uppsala Universitet, Institutionen f¨ or Id´ eoch L¨ ardomshistoria (Skrifter, 22). / >A kind of modernism in science : Theoretical physics in Sweden during the 1920s. [57] Mawhin, J., 1999. Jean Leray (1906–1998).Bulletin de la Classe des Sciences (Ser. 6) (Acad´ emie Royale de Belgique), 10 , 89–98. [58] Kantor, J. M. (ed.), 2000. Jean Leray (1906–1998) :Gazette des Math´ ematiciens, 84, suppl´ ement. [59] Chemin, J. Y., 2000–2004. [a] Jean Leray et Navier-Stokes. [58], p` ag. 71–82. [b] Le syst` eme de Navier-Stokes incompressible soixante dix ans apr` es Jean Leray. [62], p` ag. 99–123. [60] Andler, M., 2000. Jean Leray.Proceedings of the American Philosophical Society, 144 , 470–150. [61] Borel, A.; Henkin, G. M.; Lax, P. D., 2000. Jean Leray (1906–1998). Notices Amer. Math. Soc., 47 , 350–359. [62] Guillop´ e, L.; Robert, D. (ed.), 2004. Actes des Journ´ ees Math´ ematiques ` a la m´ emoire de Jean Leray (Nantes, 2002) : S´ eminaires et Congr` es (Soci´ et´ e Math´ ematique de France), 9. Les equacions de Navier-Stokes 119 [63] Meyer, Y., 2004. Jean Leray et la recherche de la v´ erit´ e.[62], p` ag. 1–12. [64] Struwe, M., 2002. Olga Ladyzhenskaya. A life-long devotion to mathematics.Geometric Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations (ed. S. Hildebrandt, H. Kracher; Springer, 2003), p` ag. 1–10. [65] Ser¨ egin, G. A.; Ural’tseva, N. N., 2003 [ G. A. Ser¨egin, N. N. Ural~ceva]. «Ol~ga Aleksandrovna Ladyenska (k vos~midesttileti so dl rodeni)». Uspehi Mat. Nauk, 58, n. 2 , 181–206. / Ol’ga Aleksandrovna Ladyzhenskaya (on her 80th birthday).Russian Math. Surveys, 58, n. 2 , 395–425. [66] Friedlander, S.; Lax, P.; Morawetz, C.; Nirenberg, L.; Ser¨ egin, G.; Ural’tseva, N., Vishik, M., 2004. Olga Aleksandrovna Ladyzhenskaya (1922–2004).Notices Amer. Math. Soc., 51 , 1320–1331. [67] Batchelor, G. K., 1967. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge Univ. Press. [68] Darrigol, O., 2002. Between hydrodynamics and elasticity theory: The first five births of the Navier-Stokes equation.Arch. Hist. Exact Sci., 56 , 95–150. [69] Dalmedico, A. D., 2001. History and epistemology of models: Meteorology (1946–1963) as a case study.Arch. Hist. Exact Sci., 55 , 395–422. [70] Glowinski, R.; Pan, T. W.; Ju´ arez V., L. H.; Dean, E., 2006–2007. Finite element methods for the numerical simulation of incompressible viscous fluid flow modeled by the Navier-Stokes equations.Bol. Soc. Esp. Mat. Appl., 36 , 7–62, 37 , 11–46, 38 , 11–37. [71] Mc Gehee, R., 1975. Triple collision in Newtonian gravitational systems.Dynamical Systems, Theory and Applications (ed. J. Moser; Springer) : Lect. Notes in Phys., 38 , 550–572. [72] Smale, S., 1998. Mathematical problems for the next century.Mathematical Intelligencer, 20, n. 2 , 7–15. / ≡Collected Papers (ed. F. Cucker, R. Wong; Singapore Univ. Press & World Scientific, 2000), 1 , 480–488. / ≡ [73], p` ag. 271–294. / Problemas matem´ aticos para el pr´ oximo siglo. Gaceta de la Real Sociedad Matem´ atica Espa˜ nola, 3 (2000) , 413–434. [73] Arnold, V. I.; Atiyah, M.; Lax, P.; Mazur, B. (eds.), 2000. Mathematics: Frontiers and Perspectives. International Mathematical Union &American Mathematical Society. [74] Lions, P. L., 2000. On some challenging problems in nonlinear partial differential equations. [73], p` ag. 121–135. [75] Alon, N.; Bourgain, J.; Connes, A.; Gromov, M.; Milman, V. (eds.), 2000. Visions in Mathematics : Towards 2000 (Actes d’un congr´ es realitzat a Tel Aviv, 25 agost – 3 setembre 1999). Birkh¨ auser, 2000 (Geom. Funct. Anal. 2000, Special Volume, Part I). 120 X. Mora [76] Klainerman, S., 2000. [a] PDE as a unified subject. [75], p` ag. 279–315. [b] Great problems in nonlinear evolution equations. On the analysis of geometric evolution equations. Confer` encia donada en el congr´ es [79]. www.math.princeton.edu/˜seri/homepage/losangeles/index.htm. [77] Atiyah, M., 2000. The Millennium Prize Problems(v´ ıdeo). Confer` encia donada en el Clay Mathematics Institute Millennium Meeting (Paris, 24–25 May 2000). Springer &Clay Mathematics Institute. [78] Fefferman, C., 2000. Existence and smoothness of the NavierStokes equation. Descripci´ o oficial del problema posat a premi pel Clay Mathematics Institute. www.claymath.org/millennium/NavierStokes-Equations/Official-Problem-Description.pdf. [79] Browder, F. (org.), 2000. Mathematical Challenges of the 21st Century. Congr´ es organitzat per la American Mathematical Society (Los Angeles, 7–12 August 2000). / Anunci: Notices Amer. Math. Soc., 47 , 324. / Reportatge: Notices Amer. Math. Soc., 47 , 1271–1273. [80] Engquist, B.; Schmid, W., 2001. Mathematics Unlimited : 2001 and Beyond. Springer. [81] Constantin, P., 2001. Some open problems and research directions in the mathematical study of fluid dynamics. [80], 353–360. Departament de Matem` atiques Universitat Aut` onoma de Barcelona Edifici C, Campus Universitari, 08193 Bellaterra [email protected]