Sur la théorie du potentiel dans les domaines de John

Publ. Mat. 51 (2007), 345–396 SUR LA TH´ EORIE DU POTENTIEL DANS LES DOMAINES DE JOHN Alano Ancona Abstract Using rather elementary and direct methods, we first recover and add on some results of Aikawa-Hirata-Lundh about the Martin boundary of a John domain. In particular we answer a question raised by these authors. Some applications are given and the case of more general second order elliptic operators is also investigated. In the last parts of the paper two potential theoretic results are shown in the framework of uniform domains or the framework of hyperbolic manifolds. Introduction Dans leur travail r´ecent [AHL], H. Aikawa, K. Hirata et T. Lundh ont ´etudi´e la compactification de Martin d’un domaine de John de Rd. Ces auteurs ont en particulier ´etabli —cf. [AHL,§6]— un principe de Harnack au bord “faible” (essentiellement l’´enonc´e du Th´eor`eme 3.1 ci dessous, `a quelques modifications pr`es) et ont montr´e que pour un tel domaine Ω, l’ensemble des points minimaux sur la fronti`ere de Martin de Ω qui sont associ´es (en un sens naturel, cf. [AHL]) `a un point ξ∈∂Ω donn´e est fini, de cardinal N(ξ) major´e par un entier NΩne d´ependant que de det de la constante de John de Ω (voir un ´enonc´e plus pr´ecis dans [AHL]). Dans le pr´esent article, on se propose d’abord (Sections 2 et 3) de retrouver par des m´ethodes directes ´el´ementaires —proches de notre travail [An3]— l’in´egalit´e de Harnack au bord susmentionn´ee de [AHL] puis de r´epondre positivement `a une question laiss´ee ouverte par ces auteurs : on a Nξ≤msi ξ∈∂Ω admet pour chaque R > 0 assez petit un syst`eme de mpoints dominants sur ∂B(a, R) [voir la Section 1 pour les d´efinitions]. Ce qui r´esulte suivant les m´ethodes de [An3] d’une in´egalit´e de Harnack au bord “forte” bas´ee sur ces points (in´egalit´e conjectur´ee dans [AHL]) et pr´ecise le lien entre la g´eom´etrie 2000 Mathematics Subject Classification. 31C15, 31C25, 35J05, 46E35. Key words. Martin boundary, John domain, Green’s function, Harnack boundary principle, Na¨ım kernel, quasi-metric, radial limit theorem. 346 A. Ancona de Ω et sa compactification de Martin. La Section 4 est consacr´ee `a la d´emonstration de cette in´egalit´e qui est obtenue en ´etendant par une r´ecurrence convenable l’argument d´ej`a utilis´e pour les domaines de Denjoy dans [An3] et en s’inspirant d’un travail de A. L¨omker [L¨om] sur la fronti`ere de Martin des domaines multisectoriels. L’approche adopt´ee ici fournit en outre des ´enonc´es souples et bien localis´es (cf. les Sections 5 et 6 o`u sont d´ecrites certaines cons´equences des in´egalit´es de Harnack au bord obtenues). La Section 6 donne en termes des arcs de John dans Ω plusieurs formulations utiles du principe de Harnack au bord pour le cas des domaines int´erieurement uniformes. Dans la Section 7, on examine le cas de la th´eorie du potentiel relative `a un op´erateur elliptique d’ordre 2 assez g´en´eral. On montre que les r´esultats obtenus pour le Laplacien s’´etendent `a de tels op´erateurs sous des hypoth`eses d’uniforme r´egularit´e des domaines envisag´es en utilisant des r´esultats de [An7]. Nous ignorons ce qu’il advient lorsqu’on omet cette hypoth`ese —peut-ˆetre artificielle— et que l’op´erateur n’est pas suppos´e formellement auto-adjoint. Les Sections 8 et 9 sont consacr´ees `a deux types de r´esultats pour le cas (tr`es sp´ecial) des domaines uniformes. Elles sont `a ce titre un peu disjointes de ce qui pr´ec`ede. Dans la Section 8, on ´etablit, dans le sillage de [Doo], [LMT] et [AC], une version du th´eor`eme de limite radiale de Littlewood pour les domaines (int´erieurement) uniformes ; ici un argument nouveau est introduit pour ´eviter l’hypoth`ese —requise dans [AC,§A.1]— que la densit´e capacitaire du compl´ementaire du domaine est strictement positive. Dans la Section 9, on ´etablit, en application d’une des formes du principe de Harnack au bord et pour le cadre d’un domaine int´erieurement uniforme, ou pour celui d’un op´erateur elliptique du second ordre sur une vari´et´e riemannienne compl`ete hyperbolique, le caract`ere quasi-m´etrique de l’inverse du noyau de Na¨ım, r´esultats partiellement annonc´es dans [An8, pp. 131–132] (cf. aussi [An9]) et r´epondant `a une question de Kalton-Verbitsky [KV]. Ind´ependamment, W. Hansen a ´etabli cette propri´et´e de quasi-m´etrique pour un domaine uniforme [Han]. L’argument ici est bas´e plus explicitement sur des consid´erations de g´eom´etrie hyperboliques et est bien adapt´e au cadre de la th´eorie du potentiel sur une vari´et´e hyperbolique. Remerciements. Je remercie Hiroaki Aikawa qui m’a transmis les versions pr´eliminaires de [Aik], [ALM], [AHL] et m’a signal´e le probl`eme soulev´e en [AHL, Remark 2.2 et Remark 6.1]. Je lui dois aussi une lecture attentive d’une premi`ere version de la preuve du principe de Harnack Th´ eorie du Potentiel et Domaines de John 347 “fort” de la Section 4 et des commentaires sur cette preuve. Je remercie ´egalement le referee pour de nombreuses et tr`es utiles remarques. 1. Quelques d´efinitions et lemmes ´el´ementaires pr´eliminaires 1.A. Rappelons d’abord la notion d’arc de John [MS] qui sera centrale dans la suite. Dans tout ce qui suit, on notera si Ω est un domaine de Rd et si x∈Ω (adh´erence de Ω dans Rd), δΩ(x) (ou mˆeme δ(x) s’il n’y a pas d’ambiguit´e sur Ω) la distance d(x, ∂Ω). D´efinition 1.1. Soit γ: [α, β]→Ω un arc rectifiable dans Ω et soit c>0. On dira que γest un c-arc de John de Ω (ou encore un c-arc de John unilat`ere dans Ω) si δΩ(γ(t)) ≥clong(γ|[α,t]). On dira qu’un point Ade Ω peut ˆetre joint `a un point Bde Ω par un c-arc de John de Ω, s’il existe un c-arc de John de Ω d’origine Aet d’extr´emit´e B.´ Evidemment ici les rˆoles de Aet Bne sont pas ´echangeables en g´en´eral. Le mot unilat`ere pourra servir ici `a souligner ce fait et `a ´eviter toute confusion avec les arcs uniformes ou arcs de John bilat`eres dans Ω utilis´es dans les Sections 6 et suivantes. La reformulation ´el´ementaire (et plutˆot ´evidente) suivante des in´egalit´es de Harnack en termes d’arc de John nous sera tr`es utile. Soit γ: [α, β]→Ω un c0-arc de John (c0>0) de l’ouvert Ω de Rd, issu de A∈Ω et aboutissant `a B∈Ω. Soit aussi ε0>0. Proposition 1.2. Soit Pun point de Rdtel que d(P, A)≥ε0δΩ(A), d(P, B)≥ε0δΩ(B), soient U={x∈Ω; d(x, γ)< ε0δΩ(A)}et hune fonction harmonique positive sur U\{P}. Il existe une constante C= C(c0, ε0,δΩ(B) δΩ(A), d)≥1telle que C−1h(A)≤h(B)≤Ch(A). En particulier, la validit´e des in´egalit´es de Harnack entre Aet Bn’est pas mise en cause par l’´eventuelle proximit´e de Pet γ; le point Ppeut mˆeme ˆetre un point de l’arc γ. D´emonstration: On peut supposer α= 0, c0≤1, la param´etrisation γintrins`eque (i.e. t= long(γ[0,t]) pour 0 ≤t≤β), et donc β=ℓ:= long(γ)>0. Pour tout t∈[0, ℓ], on a d(γ(t),Ωc)>1 2c0δΩ(A) (distinguer t≤ 1 2δΩ(A) et t > 1 2δΩ(A)). Donc, quitte `a remplacer ε0par min{ε0,c0 2}, on 348 A. Ancona aU={x∈Rd;d(x, γ)< ε0δΩ(A)}(i.e. d(x, γ)< ε0δΩ(A)⇒x∈Ω). Notons aussi que ℓ≤c−1 0δΩ(B) = L(c0,δΩ(B) δΩ(A))×δΩ(A). Choisissons alors des points t0= 0 <···< tN−1< tN=ℓde [0, ℓ] tels que d(γ(ti), γ(ti+1)) = ε0 12 δΩ(A) pour i≤N−2, et d(γ(tN−1), γ(tN)) ≤ ε0 12 δΩ(A) ; ´evidemment (N−1)×ε0 12 ≤L. Supprimant les tj∈ {1,...,N− 1}tels que d(γ(tj), P)<ε0 24 δΩ(A), on obtient une nouvelle subdivision t′ 0< t′ 1<··· < t′ m=ℓde [0, ℓ] telle que m≤m0:= 1 + 12 ε0L,d(γ(t′ i), γ(t′ i+1)) ≤ε0 4δΩ(A) pour 0 ≤i < m et d(γ(t′ i), P)≥ ε0 24 δΩ(A) pour i≤m. Si d(γ(t′ i), P)≥ε0 2δΩ(A), les in´egalit´es de Harnack ordinaires dans la boule B(γ(t′ i),ε0 2δΩ(A)) donnent c−1h(γ(t′ i)) ≤ h(γ(t′ i+1)) ≤c h(γ(t′ i)) avec c=c(d). Si d(γ(t′ i), P)<ε0 2δΩ(A), le lemme ´el´ementaire suivant appliqu´e `a la boule B(P, ε0 2δΩ(A)) donne c−1h(γ(t′ i)) ≤h(γ(t′ i+1)) ≤c h(γ(t′ i)) avec c=c(d). Comme m≤m0, on a bien C−1h(A)≤h(B)≤C h(A) avec C=C(c0, ε0,δΩ(B) δΩ(A), d). Lemme 1.3. Soit hune fonction harmonique positive sur la boule ´epoint´ee B(0,1) \{0}de Rd, soient α, β ∈B(0,1/2) tels que |α|,|β| ≥ ε > 0. Alors c−1h(α)≤h(β)≤c h(α)pour un r´eel c=c(d, ε)≥1. Remarquons que la Proposition 1.2 admet l’am´elioration “automatique” suivante. Proposition 1.2bis. Soient U={x∈Ω; d(x, γ)< ε0δΩ(A)}et sune fonction surharmonique positive sur Uqui est harmonique dans V= {x∈U; min{d(x, A), d(x, B)}< ε0δΩ(A)}. Il existe une constante C= C(c0, ε0,δΩ(B) δΩ(A), d)≥1telle que C−1s(A)≤s(B)≤Cs(A). Par la repr´esentation de Riesz de sdans U,sest somme d’une fonction hharmonique positive dans Uet du potentiel p(.)=RU\VGx(.)dµ(x) o`u Gxd´esigne la fonction de Green de pˆole xdans Uet o`u µd´esigne la mesure −∆s. Appliquant la Proposition 1.2 `a het chacune des Gxon obtient la double in´egalit´e voulue. 1.B. Passons maintenant `a deux lemmes simples li´es `a l’existence d’arcs de John dans Ω. Lemme 1.4. Soient Ωun ouvert de Rd,a∈Rdet Uune composante connexe de B(a, R)∩Ω,R > 0. Supposons que pour un c0>0tout point de B(a, R/4) ∩Upuisse ˆetre joint `a un point de Ω\Upar un c0-arc de John de Ω. Alors, tout point xde B(a, R/4) ∩Upeut ˆetre joint `a au moins un point de U∩∂B(a, R/2) par un c0-arc de John de U. Th´ eorie du Potentiel et Domaines de John 349 En effet, si l’arc rectifiable γ: [0, ℓ]→Ω joint x∈B(a, R/4) ∩U`a y∈Ω\Uet est c0-John dans Ω, il existe t0∈(0, ℓ] minimum tel que γ(t0)∈∂B(a, R/2) (sinon γ([0, ℓ]) ⊂U). Alors γ0=γ|[0,t0]est trac´e dans Uet pour 0 ≤t≤t0, on a B(γ(t), c0t)⊂Ω∩B(a, R). Donc B(γ(t), c0t)⊂Uet γ0est c0-John dans U. Lemme 1.5. Soient Ωun ouvert de Rd,a∈Rd,R > 0,0< η < 1, tels que chaque point z∈B(a, (1−η)R)∩Ωpuisse ˆetre joint `a (au moins) un point de Ω\B(a, R)par un c0-arc de John dans Ωissu de z(c0>0). Il existe alors une famille finie {Aj}1≤j≤mde points de ∂B(a, R)∩Ωtelle que : (i) on a m≤m0pour un entier m0=m0(d, c0, η), (ii) δΩ(Aj)≥ ηc0Rpour 1≤j≤met (iii) chaque x∈B(a, (1 −η)R)∩Ωpeut ˆetre joint `a l’un des Ajpar un c0 2-arc de John dans Ω. Preuve: Voir aussi la tr`es semblable Proposition 2.1 de [AHL]. Soit K l’ensemble (qu’on peut supposer non vide) des traces sur ∂B(a, R) des c0-arcs de John joignant un point de B(a, (1 −η)R)∩Ω `a un point dans Ω \B(a, R). Par construction, pour chaque z∈K, on a δΩ(z)≥ ηc0R. Soit {Aj}1≤j≤mun ensemble maximal de points de Ktel que d(Aj, Ak)≥c0ηR/4 pour j6=k. Les boules B(Aj, ηc0R 8) ´etant deux `a deux disjointes et contenues dans B(a, (1 + c0η)R), on a m≤m0:= [(1 + ηc0)d(8 ηc0)d] + 1. D’apr`es les hypoth`eses, un point donn´e x∈B(a, (1 −η)R)∩Ω peut ˆetre joint `a au moins un point y∈Kpar un c0-arc de John γde Ω ; comme d(y;∂Ω) ≥c0ηR un calcul simple montre que choisissant jtel que d(y, Aj)≤c0η 4R, l’arc ˜γobtenu en compl´etant γpar le segment orient´e [y, Aj] est c0 2-John dans Ω. D’o`u l’´enonc´e. On voit d’ailleurs qu’on peut aussi dans le Lemme 1.5 imposer d(Aj, Ak)≥c0η 4Rpour j6=k. D´egageons pour finir cette partie la notion suivante (tr`es proche de la D´efinition 2.1 de [AHL]) sugg´er´ee par le Lemme 1.5. D´efinition 1.6. Soient U⊂Ω, {Aj}1≤j≤mun ensemble fini de points de Ω tel que chaque point z∈Upuisse ˆetre joint `a (au moins) un des Aj par un c0-arc de John dans Ω issu de z,c0>0. On dira alors que {Aj}1≤j≤mest c0-dominant pour Udans Ω. 1.C. Soit Ω un domaine de Rdet soit ˜ ∂Ω = ˜ Ω\Ω la fronti`ere de Ω vis `a vis d’une compactification ˜ Ω de Ω. Il sera utile de disposer d’une notion ad´equate d’annulation au bord (cf. [An3, p. 221] ou [AHL] pour une notion parall`ele mais distincte pour le cas o`u ˜ Ω est l’adh´erence dans Rd∪ {∞}). Cette notion n’interviendra pas avant la Section 5. 350 A. Ancona D´efinition 1.7. Soit uune fonction sur Ω et soit A⊂˜ ∂Ω. On dira que us’annulle sur A(au sens intrins`eque et relativement `a la compactification ˜ Ω) s’il existe ssurharmonique positive sur Ω (distincte de la constante +∞) telle que |u|=o(s) le long du filtre des (traces sur Ω) des voisinages de A. On ´ecrira alors u= 0 sur A. Remarques 1.8. 1. (Principe du minimum). Si uest sous-harmonique sur Ω telle que u+s’annulle (au sens intrins`eque) sur ˜ ∂Ω alors u≤0 sur Ω (car u≤εs pour tout ε > 0). 2. Si uest born´ee au voisinage de A⊂˜ ∂Ω et si Aest de mesure harmonique nulle dans Ω (i.e. l’enveloppe de Perron sup´erieure H1A est nulle) alors u= 0 sur A. 3. Si uest nulle sur Aj⊂˜ ∂Ω, j= 1,2, alors u= 0 sur A1∪A2. 4. Soit u≥0 sur le domaine Ω et soit x0∈Ω fix´e. Pour que usoit nulle sur A⊂˜ ∂Ω il suffit que pour tout ε > 0 on ait u≤s+pau voisinage de A, pour une fonction ssurharmonique positive dans Ω telle que s(x0)≤εet un potentiel psur Ω (i.e. pest surharmonique dans Ω et la plus grande minorante harmonique de pdans Ω est nulle, [Br4]) : en effet, en rempla¸cant ppar une r´eduite (ref. [Br4], [Her]) b RΩ\K pdans Ω, avec Kcompact assez grand dans Ω, on voit qu’existe s′surharmonique ≥0 dans Ω telle que u≤s′au voisinage de ˜ ∂Ω et s′(x0)≤2ε. Prenant alors s′ nassoci´ee `a εn= 2−non voit que σ=Pn≥1s′ nest surharmonique (σ6≡ +∞) dans Ω et que u=o(σ) le long du filtre des voisinages de A. 5. En particulier tout potentiel s’annulle sur ˜ ∂Ω. Inversement si sest surharmonique positive, nulle au sens intrins`eque sur ˜ ∂Ω, alors s est un potentiel. Cela se d´eduit aussitˆot du principe du minimum du 1.8.1 ci-dessus. Exemples 1.9. (a) Si on prend ˜ Ω=Ω (l’adh´erence ordinaire dans Rd∪ {∞}), si u: Ω →R+est born´ee au voisinage de A⊂∂Ω et si utend vers z´ero en tout point ξ∈Ahors d’un ensemble polaire, alors u= 0 sur A. On retrouve ici la notion d’annulation au bord utilis´ee dans [An3], [Aik], [ALM]. (b) Si ssurharmonique positive sur Ω est nulle sur la partie Ade ˜ ∂Ω, si F⊂Ω est tel que F∩˜ ∂Ω⊂A, alors la r´eduite r´egularis´ee u=b RF s de ssur Fdans Ω est un potentiel (dans Ω). En effet, si σest surharmonique positive sur Ω telle que s=o(σ) au voisinage de Th´ eorie du Potentiel et Domaines de John 351 Adans Ω, si —pour ε > 0 fix´e— Lest l’ensemble (relativement compact dans Ω) L:= {x∈F;s≥εσ}, on a b RF s≤b RF\L s+b RL s≤εσ +b RL s o`u b RL sest un potentiel puisque Lest relativement compact dans Ω. On en d´eduit par le 1.8.4 ci-dessus que b RF sest nul (au sens intrins`eque) sur ∂Ω. Le 1.8.5 dit alors que b RF sest un potentiel. 2. Un premier contrˆole de la fonction de Green Cette partie est consacr´ee `a la preuve du Th´eor`eme 2.1 suivant. La majoration qui y apparait est l’analogue du Lemme 5.3 de [AHL]. Elle ´etend le Lemme 7.1 de [An3] dont on reprend le mode de d´emonstration. Ce type d’estimation trouve son origine dans [Car] et [HW1], [HW2]. Voir aussi [Tay], [An1], [An2], [CFMS], [JK]. Soient a∈Rdet Ω un ouvert de Green de Rddont la fonction de Green sera not´ee G. On notera aussi G(x, y) = Gy(x) pour (x, y)∈Ω. Th´eor`eme 2.1. Soient R > 0,c0>0, et soient A1,...,Amdes points de ∂B(a, R)∩Ωtels que chaque point z∈B(a, 1 2R)∩Ωpuisse ˆetre joint `a au moins l’un des Ajpar un c0-arc de John dans Ωissu de z. On a alors (2.1) Gx(y)≤C m X j=1 Gx(Aj) pour tout x∈∂B(a, 1 4R)∩Ωet tout y∈∂B(a, 1 2R)∩Ω. Ici C= C(d, c0)>0. L’hypoth`ese est donc que {Aj}1≤j≤mest c0-dominant pour Ω∩B(a,1 2R) dans Ω [cf. la D´efinition 1.6]. Dans les paragraphes 2.A et suivants on verra des formes plus g´en´erales de (2.1) mais qui en r´esultent facilement. Remarques 2.2.(1) Par le principe du maximum, l’in´egalit´e (2.1) s’´etend aux y∈Ω\B(a, R 2) et aux x∈B(a, R 4)∩Ω. (2) Quitte `a remplacer c0par c′ 0=1 2c0, on peut aussi apr`es suppression de certains des Ajsupposer que d(Aj, Ak)≥c0R 8pour j6=k et donc m≤m0(c, d) : si J⊂ {1,...,m}est maximal tel que d(Aj, Ak)≥c0R 8pour j, k ∈J,j6=k, alors {Aj}j∈Jconvient. [Cf. la fin de la preuve du Lemme 1.5.] Pour ´etablir le Th´eor`eme 2.1, on va passer par un ´enonc´e plus technique. 352 A. Ancona Proposition 2.3. Soient R > 0,a∈∂Ω,c0>0,m0≥1et soit pour chaque n≥0, une famille {An j}1≤j≤m0de points de ∂B(a, 2−nR) c0-dominante pour Ω∩B(a, 2−n−1R)dans Ω. Alors pour x∈Ωtel que δΩ(x) = d(x, a)et 0< δΩ(x)≤R 4, on a (2.2) Gx(y)≤C m0 X j=1 Gx(Aj) pour tout y∈∂B(a, 1 2R)∩Ω. Ici Aj=A0 jet C=C(d, c0)>0. Preuve de la Proposition 2.3: (a) Observons d’abord la majoration plus faible suivante : pour x∈Ω tel que R 2n+1 ≤δ(x)≤R 2n,n≥2, et δ(x) = d(x, a), on a (2.3) Gx(y)≤Cn m0 X j=1 Gx(Aj) pour tout y∈∂B(a, 1 2R)∩Ω avec une constante Cn=Cn(d, c0) d´ependant de n,det c0. En utilisant l’existence d’un c0-arc de John dans Ω, issu de xet d’extr´emit´e Aj0(pour un j0convenable), et `a l’aide des in´egalit´es de Harnack de la Proposition 1.2 (appliqu´ee `a la fonction x7→ Gx(y) qui est harmonique sur Ω \{y}), on obtient Gx(y)≤C1 nGAj0(y), avec C1 n=C1 n(d, c0). Par le principe du maximum, on a GAj0(y)≤ sup{GAj0(z); d(Aj0, z) = c0 10 R}. Une nouvelle utilisation des in´egalit´es de Harnack de la Proposition 1.2 nous donne `a partir de l`a une constante C2 n—d´ependant de n,det c0— telle que (2.4) GAj0(y)≤C2 nGx(Aj0) et donc (2.3) avec Cn=C1 nC2 n. (b) Notons e Cn=e Cn(d, c0) la plus petite constante Cnne d´ependant que de n,c0et dtelle qu’on ait la majoration (2.3) chaque fois que les hypoth`eses de la Proposition 2.3 ont lieu. On a en particulier sous les hypoth`eses de la Proposition 2.3, (2.5) Gx(y)≤e Cn m0 X j=1 Gx(Ap j) Th´ eorie du Potentiel et Domaines de John 353 pour n≥2, p≥0, 2−p−n−1R≤δ(x) = d(x, a)≤2−p−nR, et y∈ ∂B(a, 2−p−1R) (en rempla¸cant Rpar 2−pR`a pfix´e et en consid´erant les syst`emes de points {Ap+q j}1≤j≤m0,q≥0). (c) Il suffira pour ´etablir la Proposition 2.3 de montrer que les e Cnsont born´es uniform´ement par rapport `a n. A cette fin, on adapte la m´ethode du Lemme 7.1 de [An3] qui porte sur les domaines de Denjoy lipschitziens. Si n≥3, on a pour 1 2n+2 R≤δ(x)≤1 2n+1 Ret par d´efinition de f Cnla majoration (2.6) Gx(y)≤e Cn m0 X j=1 Gx(A1 j) pour y∈Ω\B(a, 1 4R). Joignant chacun des A1 j`a l’un des A0 kpar un c0-arc de John dans Ω, une utilisation des in´egalit´es de Harnack (sous la forme de la Proposition 1.2) nous donne une constante c′=c(c0, d) telle que (2.7) Gx(z)≤c′˜ Cn m0 X j=1 Gx(A0 j) pour tout z∈Ω\B(a, 1 4R). Prenons maintenant y∈∂B(a, 1 2R)∩Ω et un c0-arc de John γ: [0, ℓ]→ Ω (en param´etrisation intrins`eque) joignant y`a l’un des A0 j, soit A0 j0; on a donc α−1R≤ℓ≤αR,α=α(c0). Consid´erons ensuite pour un η > 0 petit qu’on fixera ult´erieurement, l’ensemble ferm´e (pseudo tronc de cˆone de sommet γ(ηℓ) et d’“axe” γ|[ηℓ,ℓ]—c’est une “carotte” dans la terminologie de [Va1], [NV]—, F=[ ηℓ≤t≤ℓnBγ(t),c0 4(t−ηℓ)o⊂Ω. Notons yη=γ(ηℓ) le “sommet” de Fet introduisons l’ouvert U= Ω∩(B(yη,R 10 )\F). Si h1est la solution du probl`eme de Dirichlet dans U pour la donn´ee fronti`ere 1F∩∂U Gx, et si h2est celle correspondant `a la donn´ee fronti`ere 1Ω∩∂B(y,R/10)\FGx, les hjsont harmoniques positives dans Uet Gx=h1+h2dans Upuisque Gx= 0 sur ∂Ω. Par la d´efinition de h2, le principe du maximum et l’in´egalit´e (2.7) ci-dessus, on a h2(y)≤c′e Cn  m0 X j=1 Gx(A0 j) µy∂B yη,R 10\F 360 A. Ancona La proposition clef. Consid´erons un domaine de Green Ude Rd, un point a∈Rd, des points Aj∈∂B(a, R)∩U,1≤j≤N, et supposons qu’on ait la propri´et´e P(Γ) suivante pour une partie Γde {1,...,N}2 contenant la diagonale {(j, j); 1 ≤j≤N}: “Pour tout η∈(0,1 2), il existe ε=ε(η, Γ) ∈(0,1 2)tel que P(Γ) GU(x, y)≤cΓX (j,k)∈Γ GU(x, Aj)GU(Ak, y) pour tout x∈U∩B(a, εηR), tout y∈U\B(a, ηR)et une constante cΓ=cΓ(η)>0.” Ici Nest un entier ≥1et on a not´e GUla fonction de Green de U. On a alors la propri´et´e clef suivante. Proposition 4.1. Si (j0, k0)∈Γ,j06=k0, et si Γ′=Γ\{(j0, k0),(k0, j0)}, la propri´et´e P(Γ′)a ´egalement lieu avec ε(η, Γ′) = ε1ε2, o`u ε1=ε(η, Γ) et ε2=ε(ε1η, Γ). On peut d’ailleurs prendre cΓ′(η) = 3(cΓ(ε1η)+cΓ(η)). D´emonstration: On peut supposer Aj06=Ak0. Notons ε1=ε(η, Γ), ε2= ε(ε1η, Γ) et d´efinissons ε0:= ε1ε2=ε(η, Γ) ×ε(ε1η, Γ). Introduisons (comme pour le cas N= 2, cf. [An3]), les ouverts Uj0={z∈U;GU(Aj0, z)> GU(Ak0, z)}et Uk0={z∈U;GU(Aj0, z)< GU(Ak0, z)}. On peut supposer x∈Uj0∩B(a, ε0η) puisque U⊂Uj0∪Uk0et que le cas x∈Uk0∩B(a, ε0η) est bien sˆur semblable au cas o`u x∈ Uj0∩B(a, ε0η). Soit F=∂Uj0∩B(a, ε1ηR)∩Uet soient p=b RF GU xet gx=Gx−p, o`u la r´eduite (ref. [Br4] ou [Her]) b RF GU xest relative au domaine U. Notons que gxest la fonction de Green de pˆole xdans V:= U\Fprolong´ee par z´ero hors de V. Si y∈∂B(a, ε1ηR)∩Uj0, alors puisque y∈Uj0 GU(x, Aj0)GU(Ak0, y)≤GU(x, Aj0)GU(Aj0, y), et aussi, puisque x∈Uj0, GU(x, Ak0)GU(Aj0, y)≤GU(x, Aj0)GU(Aj0, y). Th´ eorie du Potentiel et Domaines de John 361 Ainsi, pour y∈Uj0\B(a, ε1ηR), on a d’apr`es l’hypoth`ese (avec η′=ε1η) et ce qui pr´ec`ede, gx(y)≤GU x(y)≤c1X (j,k)∈Γ GU x(Aj)GU(Ak, y) ≤3c1X (j,k)∈Γ′ GU x(Aj)GU(Ak, y) (4.1) o`u c1=cΓ(ε1η). Donc, par le principe du maximum, et puisque le bord dans V=U\F de Uk0∩Vest contenu dans U\B(a, ε1ηR), l’in´egalit´e (4.1) entraˆıne que pour tout y∈Uk0, (4.2) gx(y)≤3c1X (j,k)∈Γ′ GU x(Aj)GU(Ak, y). D’un autre cˆot´e, si z∈Fet si y∈U\B(a, ηR), en utilisant `a nouveau l’hypoth`ese (cette fois pour η) on a, GU z(y)≤c2X (j,k)∈Γ GU(z, Aj)GU(Ak, y) ≤2c2X (j,k)∈Γ′ GU(z, Aj)GU(Ak, y), (4.3) puisque GU(z, Aj0) = GU(z, Ak0) et donc GU(z, Ak0)GU(Aj0, y) = GU(z, Aj0)GU(Aj0, y); noter aussi que GU(z, Aj0)GU(Ak0, y) = GU(z, Ak0)GU(Ak0, y). Ici c2=cΓ(η). En int´egrant par rapport `a zl’in´egalit´e (4.3) contre la mesure −∆p associ´ee `a pdans U, on obtient en observant que p≤GU x, p(y)≤2c2X (j,k)∈Γ′ p(Aj)GU(Ak, y) ≤2c2X (j,k)∈Γ′ GU(x, Aj)GU(Ak, y), (4.4) pour y∈U\B(a, ηR). Finalement en ajoutant (4.4) et (4.2) (qui a lieu pour tout y∈U\B(a, ηR)), (4.5) GU(x, y)≤3(c2+c1)X (j,k)∈Γ′ GU(x, Aj)GU(Ak, y), 362 A. Ancona pour tout x∈U∩B(a, ε0ηR) et tout y∈U\B(a, ηR). Ce qui ach`eve la preuve de la proposition clef. Corollaire 4.2. Soient Uun ouvert de Green de Rd,a∈Rd,R > 0et {Aj}1≤j≤Nv´erifiant l’hypoth`ese P(Γ0)avec Γ0={1,...,N}2,cΓ0(η) = c′ Γ0Rd−2et ε(η) = 1 4. Il existe ε0=ε0(N, d),0< ε0≤1 4et C= C(c′ Γ0, N)tels que (4.6) GU(x, y)≤C Rd−2 N X j=1 GU(x, Aj)GU(Aj, y) pour x∈∂B(a, ε0R)∩Uet y∈∂B(a, R 2)∩U. En combinant avec le Th´eor`eme 3.1, on obtient une premi`ere forme du principe de Harnack au bord “fort” sous les hypoth`eses du Th´eor`eme 3.1. Corollaire 4.3. Soient Ωun ouvert de Green de Rd,Run r´eel >0, et soient a∈Rdet A1,...,Amdes points de ∂B(a, R)∩Ωtels que chaque point z∈B(a, 3 4R)∩Ωpuisse ˆetre joint `a au moins un des Ajpar un c0-arc de John de Ωissu de z. On a alors Gx(y)≤C Rd−2X 1≤j≤m Gx(Aj)GAj(y) pour tout x∈∂B(a, R 4)∩Ωet tout y∈∂B(a, R 2)∩Ω. Ici C=C(d, c0)>0. Preuve: D’abord, quitte `a r´eduire l’ensemble des Ajet `a remplacer c0 par c0/2, on peut supposer que d(Aj, Ak)≥c0R 4et donc m≤m0(c0, d). Une application directe du Corollaire 4.2 et du Th´eor`eme 3.1 donne ensuite que (4.7) Gx(y)≤C1Rd−2X 1≤j≤m Gx(Aj)GAj(y) pour x∈∂B(a, εR)∩Ω, 0 < ε =ε(d, m0)<1 4,y∈∂B(a, 1 2R)∩Ω et une constante C1=C1(d, c0, m0)>0. En particulier, si x∈∂B(a, R 4)∩Ω est tel que δ(x)< εR 4, si a′∈ ∂Ω est tel que δ(x) = δ(a′) et si {A′ j}1≤j≤m0est un syst`eme de points de ∂B(a′,R 4) dominant pour B(a′,3R/16) ∩Ω (cf. le Lemme 1.5) on a pour tout y∈∂B(a, R 2)⊂Ω\B(a′,R 8), (4.8) Gx(y)≤C1Rd−2X 1≤j≤m0 Gx(A′ j)GA′ j(y) en appliquant (4.7) `a U, le point a′∈∂U,R′=R/4 et les A′ j. En utilisant ensuite (comme dans la preuve du Th´eor`eme 2.1) la Proposition 1.2 et Th´ eorie du Potentiel et Domaines de John 363 des arcs de John joignant chaque A′ j`a un Ak, on a Gx(A′ j)≤c Gx(Akj), G(A′ j, y)≤c G(Akj, y) pour des kjconvenables et une constante c= c(d, c0, ε). On en d´eduit l’in´egalit´e voulue : Gx(y)≤c2C1Rd−2X 1≤j≤m Gx(Aj)GAj(y), c =c(d, c0, ε). Si x∈∂B(a, R 4)∩Ω est tel que δ(x)≥εR 4, les in´egalit´es de Harnack de la Proposition 1.2 et l’existence d’un arc c0-John joignant x`a l’un des Aj donnent directement Gx(y)≤C2GAj(y), C2=C2(d, c0, ε), et aussi Rd−2G(x, Aj)≥C3,C3=C3(d, c0, ε) pour au moins un j, 1 ≤j≤m. Donc Gx(y)≤C2C3Rd−2X 1≤j≤m Gx(Aj)GAj(y). L’´enonc´e suivant est ´equivalent au pr´ec´edent pour d≥3 mais il est plus pr´ecis pour d= 2 (voir la fin de la Section 3). Th´eor`eme 4.4. Soit Ωun ouvert de Green de Rd, soient A1,...,Am des points de ∂B(a, R)∩Ω,a∈Rd,R > 0, tels que chaque point z∈ B(a, 3 4R)∩Ωpuisse ˆetre joint `a au moins l’un des Ajpar un c0-arc de John de Ωissu de z. On a alors Gx(y)≤CX 1≤j≤m Gx(Aj)πj(y) pour tout x∈∂B(a, R 4)∩Ωet tout y∈∂B(a, 1 2R)∩Ω. Ici πj:= RBj 1 d´esigne le potentiel d’´equilibre de Bj=B(Aj, c0R 8)dans Ω(i.e. la mesure harmonique de ∂Bjdans Ω\Bj) et C=C(d, c0)>0. Remarque. Comme avant (cf. le 1.B), quitte `a jeter des Ajinutiles, on peut supposer en outre δ(Aj)≥c0R 4. On peut aussi en supprimant encore certains Aksupposer que d(Aj, Ak)≥c0R 4pour 1 ≤j6=k≤m—quitte `a remplacer c0par c0 2. Preuve: Supposant d= 2, on adapte facilement la preuve pr´ec´edente, en utilisant le Lemme 4.5 suivant qui assure qu’il existe ˜ C=˜ C(d, c0) tel que si Zj∈∂B(Aj, c0R 8) pour 1 ≤j≤m, on a GAk(Zk)≤˜ C GAℓ(Zℓ) pour 1 ≤k, ℓ ≤m,˜ C=˜ C(d, c0). On voit alors que le (3.5) du Corollaire 3.3 peut se r´e´ecrire sous la forme Gx(y)≤C θ−1X j,k Gx(Aj)G(Ak, y) 364 A. Ancona avec θ=max{G(Aj,Zj); 1≤j≤m, d(Zj,Aj)= c0R 8}≤ ˜ C−1min{G(Aj,Zj); 1≤j≤m, d(Zj, Aj) = c0R 8},C=C(d, c0), ˜ C=˜ C(d). Le Corollaire 4.2 avec le raisonnement de la proposition pr´ec´edente donne maintenant Gx(y)≤C θ−1X 1≤j≤m G(x, Aj)G(Aj, y) pour x∈Ω∩B(a, R 4), y∈Ω\B(a, R 2) avec une nouvelle constante C= C(d, c0) (on utilise d’ailleurs encore le Lemme 4.5). On ach`eve en notant que par le principe du maximum GAj(y)≤θ πj(y). Lemme 4.5. Soient Uun ouvert de Green de Rdet B(a, ρ),B(b, ρ)deux boules contenues dans Uet telles que d(a, b)≤c ρ. Alors on a pour a′∈∂B(a, ρ 2),b′∈∂B(b, ρ 2), C−1G(b, b′)≤G(a, a′)≤C G(b, b′) o`u C=C(d, c)et o`u Gd´esigne la fonction de Green de U. Preuve: Pour d≥3, il est bien classique que cd(1−22−d)ρ2−d≤G(a, a′)≤ cdρ2−do`u cdne d´epend que de d. On peut donc supposer d= 2, cas o`u on a de mˆeme la minoration uniforme G(a, a′)≥c2log(2) = c′ 2mais o`u G(a, a′) n’est pas uniform´ement born´e ind´ependamment de U. Comme par les in´egalit´es de Harnack on peut choisir arbitrairement b′∈∂B(b, ρ 2) et a′∈∂B(a, ρ 2), on peut aussi supposer que a, a′/∈B(b′,ρ 2). Dans Ua=U\B(b′,ρ 8), on a Ga=ga+Ho`u gaest la fonction de Green de pˆole adans Uaet o`u Hest la solution du probl`eme de Dirichlet dans Uapour la donn´ee fronti`ere f=Gasur ∂B(b′,ρ 8) et f= 0 sur ∂Ua∩∂U. On a ga≤c′sur ∂B(a, ρ 2) —on peut se ramener `a Ua=R2\B(b′,ρ 8) et `a ρ= 1— avec c′=c′(c)>0, et aussi G(a, b′)≤ c′G(b, b′) (in´egalit´es de Harnack et principe du maximum). Donc Ga(a′)≤c′(1+G(a, b′)) ≤c′(1+c′G(b′, b)) ≤c′(c′ 2−1+c′)G(b, b′). 5. Autres formes du PHF. Premi`eres applications 5.A. On va d’abord ´enoncer d’autres formes, plus naturelles et ´eventuellement plus commodes, du Th´eor`eme 4.4. Commen¸cons par l’´enonc´e suivant o`u pour F⊂Rdon note Fη:= {x∈Rd;d(x, F)≤η}. Th´eor`eme 5.1. Soient Ωun ouvert de Rd,Fun ferm´e de Ω,η,c0, c1des r´eels >0,c0∈(0,1 2),c1>1et Aj,1≤j≤m, des points de Ωtels que : (i) c−1 1η≤δ(Aj)≤c1ηpour 1≤j≤met (ii) chaque point de Fη∩Ωpeut ˆetre joint `a au moins un des Ajpar un c0-arc de John de Ω. Notons πj:= RBj 1le potentiel d’´equilibre dans Ωde Bj:= B(Aj,c−1 1 4η)⊂Ω. Th´ eorie du Potentiel et Domaines de John 365 Alors pour toute fonction hharmonique positive sur Ωqui s’annule sur Fη∩∂Ω(au sens intrins`eque relativement `a Ωcf. le 1.C) on a (5.1) h(x)≤C m X j=1 h(Aj)πj(x) pour x∈F, avec une constante C=C(d, c0, c1)>0ind´ependante de η. Donc, pour toute suite finie {hj}1≤j≤mde fonctions harmoniques positives sur Ωet tout x∈F, on a (5.1’) h(x)≤C′ N X j=1 h(Aj) hj(Aj)hj(x), C′=C′(d, c0, c1). Remarque 5.2.Notons que les in´egalit´es “oppos´ees” h(x)≥C−1h(Aj)πj(x), pour x∈Ω et une nouvelle constante C, sont imm´ediates par Harnack et le principe du maximum. Preuve: On peut supposer Ω Greenien (sinon h, les πjet les hjsont constantes) connexe et F6=∅. On notera Gla fonction de Green de Ω. (a) Montrons d’abord que pour x∈∂Fη/2∩Ω, on a pour tout y∈F, (5.2) Gx(y)≤C m X j=1 Gx(Aj)πj(y). Posons ρ=c−1 1 4ηet observons que d’apr`es les hypoth`eses et le Lemme 1.5 on peut trouver des A′ j∈∂B(x, ρ 10 )∩Ω, 1 ≤j≤m0=m0(c0, d) tels que chaque point de B(x, 3ρ 40 )∩Ω puisse ˆetre joint `a l’un des A′ jpar un c0 2-arc de John de Ω (d’apr`es le Lemme 1.5). Par le Th´eor`eme 4.4 on a donc pour y∈Ω∩∂B(x, ρ 20 ), (5.3) Gx(y)≤CX 1≤j≤m0 Gx(A′ j)π′ j(y), C =C(d, c0) o`u π′ jd´esigne le potentiel capacitaire de B′ j=B(A′ j,c0ρ 80 )⊂Ω dans Ω. ` A l’aide des in´egalit´es de Harnack de la Proposition 1.2 et comme dans la d´emonstration du Corollaire 4.3 et du Th´eor`eme 4.4 (cf. aussi le 2.A), on voit qu’on peut remplacer les A′ jet les π′ j, 1 ≤j≤m0, par les Aket les πk, 1 ≤k≤N, quitte a multiplier la constante Cpar une nouvelle constante (d´ependant de c1,c0et d). D’o`u le (5.2). (b) Prenons alors la fonction harmonique positive hde l’´enonc´e et consid´erons sa r´eduite (relativement `a Ω) p=b RF′ ho`u F′=Fη/2. Cette r´eduite pest un potentiel de Green dans Ω [cf. le 1.8] de mesure associ´ee 366 A. Ancona (dans Ω) µ:= −∆pport´ee par ∂F ′∩Ω et on a p=hsur F. Il d´ecoule alors des in´egalit´es (5.2) (en int´egrant en xcontre µ) que (5.4) h(y)≤CX j=1 h(Aj)πj(y), pour tout y∈F. Mais par les in´egalit´es de Harnack ordinaires, on a πj≤c hj/h(Aj) sur B(Aj, ρ). Donc par le principe du maximum (πjest un potentiel sur Ω), πj≤c hj/h(Aj) sur Ω \B(Aj, ρ), et en combinant avec (5.4) on obtient l’in´egalit´e (5.1’) de l’´enonc´e. On peut donner une version un peu plus fine du Th´eor`eme 5.1, bas´ee sur la distance accessible dans l’ouvert Ω de Rd. Cette distance da= dΩ aest d´efinie par la formule (5.5) dΩ a(x, y) = inf{diam(C); Cpartie connexe de Ω, x, y ∈C} pour x, y ∈Ω (ref. [Br1], [BV1], [ALM] pour des utilisations en th´eorie du potentiel). On consid`ere maintenant, pour F⊂Ω, les ensembles ouverts FΩ η={x∈Ω; dΩ a(x, F)< η},η > 0. Th´eor`eme 5.3. Soient Fun ferm´e de Ω,ηun r´eel >0,c0∈(0,1 2), c1≥1et Aj,1≤j≤m, des points de Ωtels que : (i) c−1 1η≤δ(Aj)≤ c1ηpour 1≤j≤met (ii) chaque point de FΩ ηpeut ˆetre joint `a un des Ajpar un c0-arc de John de Ω. Si hest harmonique positive sur Ω telle que h|FΩ ηsoit nulle sur FΩ η∩∂Ω, si πjd´esigne le potentiel capacitaire de B(Aj, η/4c1)dans Ωalors pour tout x∈F h(x)≤C m X j=1 h(Aj)πj(x) avec une constante C=C(d, c0, c1)>0ind´ependante de η. Comme ci-dessus, on a facilement l’estimation oppos´ee : h(x)≥C−1m P j=1 h(Aj)πj(x) sur Ω pour tout x∈Ω et C=C(d, c0, c1) assez grand. Preuve: On va se ramener au r´esultat pr´ec´edent. Consid´erons x∈F, la boule B(x, R) avec R=η 100 et la composante connexe Vde B(x, R)∩Ω contenant x. Par construction on a V⊂FΩ 2R. Choisissons des points A′ j∈V∩∂B(x, R/2), 1 ≤j≤m=m(c0, d), tels que tout point de V∩B(x, R/4) puisse ˆetre joint `a l’un des A′ j par un c0 2-arc de John dans V(voir les Lemmes 1.4 et 1.5). On peut aussi supposer d(A′ j, ∂V )≥c0R/8. Par le th´eor`eme pr´ec´edent [appliqu´e Th´ eorie du Potentiel et Domaines de John 367 `a l’ouvert V, au ferm´e B(x, R 2)∩Vde V, aux points A′ jet au r´eel η=R 4> 0] on a h(x)≤CPm j=1 h(A′ j)π′ j(x) o`u π′ jd´esigne le potentiel capacitaire de B(A′ j, c0R 8). Les in´egalit´es de Harnack de la Proposition 1.2 le long d’un arc de John joignant chaque A′ j`a un Akdonnent alors le r´esultat voulu. Remarques 5.4.a) L’´enonc´e ci-dessus admet une version (qui se d´eduit de (5.2)) utilisant la fonction de Green : sous les hypoth`eses du th´eor`eme pr´ec´edent sur Ω, Fet les Aj, et si Gest la fonction de Green de Ω, on a pour tout x∈Ω\FΩ η Gx(y)≤CX j Gx(Aj)πj(y)≤CX j ρjGx(Aj)GAj(y),∀y∈F, o`u ρ−1 j= max{GAj(z); 1 ≤j≤m, d(Aj, z) = η 4c1}. b) On peut remplacer `a droite ρjpar ηd−2quitte `a ´eventuellement perdre, dans le cas d= 2, un ordre de grandeur. 5.B. Passons maintenant, en suivant des m´ethodes bien connues (ref. [An3]), `a des applications du Th´eor`eme 4.4 (et des variantes pr´ec´edentes) `a la fronti`ere de Martin ([Mar], [Na¨ı], [HW1], [HW2]). On va d’abord ´enoncer un r´esultat g´en´eral, dans l’esprit de [An3]. Soient Ω un domaine et x0un point de r´ef´erence fix´e de Ω. Pour Fpartie ferm´ee de Ω telle que x0/∈F, notons b+(F) la r´eunion des composantes de Ω \Fne contenant pas x0, et b−(F) la composante de Ω \Fcontenant x0. Disons ici qu’un filtre Fsur Ω est un bout de Ω s’il existe une suite {Bν}ν≥1de parties ferm´ees de Ω, x0/∈Bν, telle qu’on ait, posant ων:= b+(Bν) : (i) Bµ⊂ωνet donc ωµ⊂ωνsi µ > ν, (ii) pour tout compact Kde Ω il existe ν≥1 tel que K⊂b−(Bν), (iii) {ων}ν≥1est une base du filtre F. Ces d´efinitions sont emprunt´ees `a [An3]. On dira que {Bν}ν≥1est un acc`es du bout F. On notera aussi H+ F:= {u∈ H+(Ω); ∀ν≥1, h|Uνest nulle sur ∂Uν∩∂Ω}o`u Uν:= b−(Bν) et H+(Ω) := {h: Ω →R+;hharmonique dans Ω}. D´efinition 5.5. Soient Fun bout de Ω, Nun entier ≥1 et c0>0. Disons que Fest c0-John d’ordre Ns’il existe un acc`es {Bν}de Favec pour chaque ν≥1 les propri´et´es suivantes : (i) il existe Npoints Aj ν∈Ω, 1≤j≤Net εν>0 tels que tout point de [Bν]Ω ενpeut ˆetre joint `a l’un des Aj νpar un c0-arc de John de Ω, (ii) c0εν≤δ(Aj ν)≤c−1 0εν, et (iii) [Bν+1]Ω εν+1 ∩[Bν]Ω εν=∅(donc Bµ∩[Bν]Ω εν=∅,∀µ > ν). 368 A. Ancona Th´eor`eme 5.6. Soient Ω⊂Rdun domaine de Green et Fun bout de Ω qui est c0-John d’ordre N. Alors le cˆone H+ Fest de dimension finie NF, engendr´e par NFminimales sur Ωet 1≤NF≤N. De plus, si on note F:= {ζ∈∂b Ω; Kζ∈ H+ F}, on a F={V∩Ω; Vvoisinage dans b Ωde F}. Ici et dans la suite on note —selon l’usage— b Ω le compactifi´e de Martin de Ω, ∂b Ω = b Ω\Ω la fronti`ere de Martin Ω et Kx= lim z∈Ω, z→x G(.,z) G(x0,z) la fonction harmonique positive (ou noyau Martin) associ´ee `a x∈∂b Ω (x0´etant pris comme point de normalisation). Preuve (Indications rapides): On reprend assez directement les arguments de [An3, partie 2]. (a) Si h,h1,...,hNsont N+ 1 ´el´ements de H+ Fon a par le Th´eor`eme 5.3 et le principe du maximum : h(x)≤ CPN j=1 h(Aj ν) hj(Aj ν)hj(x) pour tout x∈b−(Bν) et une constante Cind´ependante de ν. Une r´ep´etition de l’argument de [An3, pp. 223–224] montre alors qu’´etant donn´es N+ 1 ´el´ements, H+ F, l’un d’entre eux est major´e par Cfois la somme des autres et que par cons´equent H+ Fadmet un ensemble g´en´erateur ayant au plus N´el´ements. De plus les in´egalit´es utilis´ees montrent que H+ Fest ferm´e. Le cˆone H+ Fest donc engendr´e par ses g´en´eratrices extrˆemales et vu la d´efinition de H+ Fces g´en´eratrices sont aussi extrˆemales dans H+(Ω). D’o`u la premi`ere assertion de l’´enonc´e. (b) Soit hharmonique positive dans Ω, limite d’une suite de potentiels normalis´es hk(.) = G(.,zk) G(x0,zk),zk∈ωνk,νk↑ ∞. D’abord, on a (toujours en utilisant le Th´eor`eme 5.3) hk(x)≤C N X j=1 hk(Aj ν)GAj ν(x), x ∈b−(Bν) pour νk> ν. Faisant tendre kvers +∞on obtient que h(x)≤C N X j=1 h(Aj ν)GAj ν(x), x ∈b−(Bν), ce qui montre que h∈ H+ F. (c) Inversement si h∈ H+(Ω) est limite d’une suite hk(.) = G(.,zk) G(x0,zk) avec des zkappartenant tous `a un mˆeme b−(Bν−1), on aura h(x)≤C N X j=1 hk(Aj ν)GAj ν(x), x ∈ων. Th´ eorie du Potentiel et Domaines de John 369 Si h∈ H+ Falors h= 0 sur ∂Ω (fronti`ere dans Rd) et h= 0 ce qui est absurde. En application, consid´erons d’abord le cas de la fronti`ere de Martin d’un domaine Ω qui est de John au voisinage d’un point fronti`ere. Voir aussi [AHL]. Plus pr´ecis´ement, disons que le point fronti`ere a∈∂Ω de l’ouvert Ω ⊂ Rdest un point fronti`ere de Ωde type John d’ordre inf´erieur ou ´egal `a l’entier N≥1, s’il existe c0∈(0,1 2), une suite {Rp}p≥0de r´eels>0 tendant vers 0, une famille {Ap j}p≥0,1≤j≤Nde points de Ω tels que (i) c0Rp≤ δ(Ap j)≤c−1 0Rp, (ii) tout point x∈Ω∩B(a, c0Rp) est origine d’un c0-arc de John dans Ω d’extr´emit´e l’un des Ap j, 1 ≤j≤N. D’autre part, pour Fpartie de la fronti`ere (dans Rd)∂Ω du domaine Ω, notons H+ F(Ω) le cˆone des fonctions harmoniques positives sur Ω qui s’annulent (au sens intrins`eque, cf. le 1.C) sur ∂Ω\F. Le Th´eor`eme 5.6 a alors la cons´equence suivante. La preuve sera laiss´ee au lecteur. Proposition 5.7. Si Ωest de Green et si aest un point fronti`ere de Ω de type John d’ordre ≤N, alors le cˆone H+ a(Ω) est engendr´e par N′minimales, 1≤N′≤N. Le filtre des traces sur Ωdes voisinages de a dans Rdest identique `a celui des traces sur Ωdes voisinages dans b Ωde Fa:= {x∈∂b Ω; Kx∈ H+ a(Ω)}. On peut d’ailleurs facilement ´etendre ce qui pr´ec`ede aux points fronti`eres accessibles de Ω. La fronti`ere accessible ∂aΩ du domaine Ω est, par d´efinition, l’espace Ωa\Ω, o`u Ωad´esigne le compl´et´e de l’espace m´etrique (Ω, da). Il est clair que l’identit´e se prolonge en une projection continue π:Ωa→Ω telle que π(∂aΩ) ⊂∂Ω. On notera Ba(ξ, ρ) la boule ouverte de centre ξ∈∂aΩ et de rayon ρdans (Ωa, da) et H+ ξ(Ω) = {h∈ H+(Ω); h|Ω\Ba(ξ,r)= 0 sur ∂(Ω \Ba(ξ, r)) ∩∂Ω, ∀r > 0}(fronti`eres relatives `a Rd). Disons que le point ξ∈∂aΩ est John d’ordre Ns’il existe β∈(0,1 2), c0>0, une suite {Rn}n≥1de r´eels >0 tendant vers z´ero et pour chaque n≥1 une suite {Ak n}1≤k≤Nde Npoints de ∂Ba(ξ, Rn)∩Ω qui soit c0-dominante pour Ba(ξ, βRn) dans Ω. Proposition 5.7bis. Si Ωest de Green et si ξ∈∂aΩest de type John d’ordre ≤N, alors H+ ξ(Ω) est engendr´e par un ensemble de N′harmoniques minimales, 1≤N′≤N. Le filtre des traces sur Ωdes voisinages de ξdans Ωaest identique `a celui des des voisinages dans b Ωde Mξ:= {ζ∈∂b Ω; Kζ∈ H+ ξ(Ω)}. 376 A. Ancona Observons ici qu’un sous-arc “pas trop petit” d’un arc uniforme dans Ω est aussi uniforme. Une preuve de l’´enonc´e (certainement standard) suivant est incluse pour la commodit´e du lecteur. Lemme 6.10. Soient Γun arc C-uniforme de Ωet X, Y ∈Γtels que d(X, Y )≥εδ(X),0< ε < 1. Le sous-arc Γ′d´elimit´e par Xet Yest C′uniforme dans Ωpour une constante C′=C′(ε, C)>0. Preuve: D’abord d(X, Y )≥εδ(Y)−ε|δ(X)−δ(Y)| ≥ εδ(Y)−εd(X, Y ) d’o`u d(X, Y )≥ε 1+εδ(Y). Donc d(X, Y )≥ε′max{δ(X), δ(Y)}o`u ε′=ε 1+ε. Notant Pet Qles extr´emit´es de Γ —X´etant entre Pet Yle long de Γ— et ℓla longueur de Γ, on peut supposer que Xappartient `a la moiti´e de Γ issue de P(sinon ´echanger Xet Y). Alors si long( ⌢ PX)≥ε1ℓ (o`u ε1>0 sera fix´e dans la suite), on a dg(X, Y )≥εδ(X)≥εCε1ℓet a fortiori, dg(X, Y )≥Cεε1long(Γ′). On r`egle de mˆeme le cas o`u Yappartient `a la seconde moiti´e de Γ (celle d’extr´emit´e Q) et o`u long( ⌢ Y Q)≥ε1ℓ. Si long( ⌢ PX)≤ε1ℓ, distinguons deux cas : (a) si Yappartient `a la premi`ere moiti´e de Γ, on a dg(X, Y )≥ε′δ(Y)≥Cε′long(Γ′) et long(Γ′)≤C−1ε′−1dg(X, Y ), (b) si Yappartient `a la deuxi`eme moiti´e de Γ et si long( ⌢ Y Q)≤ε1ℓ, on a dg(X, Y )≥dg(P, Q)−2ε1ℓ≥(C−2ε1)ℓ et le r´esultat avec ε1=C 4. On en d´eduit l’am´elioration suivante du Corollaire 6.9. Corollaire 6.11 (Principe de Harnack au bord le long d’un arc uniforme).Soient Γun c1-arc de John bilat`ere dans Ωet ε0>0. Si X, Y,Zsont trois points se succ´edant dans cet ordre sur Γet tels que X, Z /∈B(Y, ε0δ(Y)),Z /∈B(X, ε0δ(X)), on a G(X, Z)≤C1δ(Y)d−2G(X, Y )πY(Q)≤C2δ(Y)d−2G(X, Y )G(Y, Q) o`u Cj=Cj(cΩ, c1, ε0, d),j= 1,2et o`u πYd´esigne le potentiel capacitaire de B(Y, ε0 2δ(Y). 6.D. Pour finir on va donner deux autres cons´equences simples du principe de Harnack au bord qui serviront dans la Partie 8. Th´ eorie du Potentiel et Domaines de John 377 Proposition 6.12. Soit Γun c0-arc de John joignant le point ξ∈Ωg au point X∈Ω. Supposons que d(X, ξ)≥1 2δ(ξ)(δ(ξ) = 0 si ξ∈∂gΩ) et que ξ, X /∈B(x0, r0),0< r0≤δ(x0). On a alors c−1KX(Q)≤Kξ(Q)≤c KX(Q) pour tout Q∈Ωtel que dg(Q, ξ), dg(Q, X)≥β dg(ξ, X). Ici Kest le noyau-Martin de Ωnormalis´e en x0, et cest une constante >0ne d´ependant que de d,β,cΩ,c0et r−1 0diamg(Ω). Preuve: On supposera pour all´eger d≥3. Prenons ξ′∈Γ arbitrairement proche de ξmais distinct de ξ. Par la Proposition 6.7 (cf. Remarque 6.8) on a avec une constante c=c(cΩ, β, c0, d) c−1δ(X)d−2G(ξ′, X)G(X, Q)≤G(ξ′, Q)≤c δ(X)d−2G(ξ′, X)G(X, Q) si dg(Q, ξ), dg(Q, X)≥β dg(ξ, X). En divisant par G(ξ′, x0), on obtient (6.1) c−1δ(X)d−2Kξ′(X)G(X, Q)≤Kξ′(Q)≤c δ(X)d−2Kξ′(X)G(X, Q). En faisant Q=x0, on a c−1δ(X)d−2Kξ′(X)G(X, x0)≤1≤c δ(X)d−2Kξ′(X)G(X, x0) o`u cd´epend de plus de r0×diamg(Ω)−1. En divisant par ces derni`eres les in´egalit´es (6.1) on a bien c−2KX(Q)≤Kξ′(Q)≤c2KX(Q), o`u c=c(cΩ, c0, β, d, r−1 0diamg(Ω)). Il ne reste plus qu’`a faire tendre ξ′ vers ξpour obtenir le r´esultat. Corollaire 6.13. Soient ξ∈∂gΩ,y∈Ω\B(x0, r0)(o`u B(x0, r0)⊂Ω) tels que r:= δ(y)≥c dg(ξ, y)et soit hharmonique positive sur Ω, nulle sur ∂gΩ\To`u T=∂gΩ∩Bg(ξ, c−1r). Alors C−1h(x) h(x0)≤Gy(x) Gy(x0)≤Ch(x) h(x0) pour tout x∈Ωtel que dg(x, T)≥cr et dg(x, y)≥cr. Ici Cest une constante ne d´ependant que de d,cΩ,cet diamg(Ω)/r0. Par la repr´esentation de Martin hest barycentre des Kz,z∈T:= Bg(ξ, c−1r)∩∂gΩ relativement `a une mesure de Borel positive finie sur T. Il suffit donc de v´erifier l’assertion du corollaire pour h=Kz,z∈T. Or, dg(z, y)≤c−1r+dg(ξ, y)≤2c−1δ(y). Il existe donc un c1-arc de John joignant z`a ydans Ω, c1=c1(cΩ, c) (d’apr`es le Lemme 6.3). Par la Proposition 6.12, on a donc que pour xcomme dans l’´enonc´e c−1 2Kz(x)≤ Gy(x) Gy(x0)≤c2Kz(x). 378 A. Ancona Corollaire 6.14. Soient x0∈Ω,r0< δ(x0)et ε1>0. Si x∈Ω\ B(x0, r0),ξ∈∂gΩsont tels que δ(x)≥ε1dg(ξ, x), o`u 0< ε1<1, alors pour tout y∈Ω\B(x, ε1δ(x)) on a (6.2) Kx(y)≤c Kξ(y) pour une constante c=c(Ω, ε1, x0, r0)) >0. Par le principe du maximum, il suffit de montrer (6.2) pour y∈ ∂B(x, ε1δ(x)). Mais l’in´egalit´e d´ecoule dans ce cas de la Proposition 6.12. 7. Extension `a des op´erateurs elliptiques du second ordre plus g´en´eraux 7.A. Tout ce qui pr´ec`ede s’´etend sans difficult´e particuli`ere et `a l’aide d’arguments bien connus, `a des op´erateurs elliptique `a structure divergence sur Ω de la forme (7.1) L0u=X 1≤i,j≤d ∂i(aij∂ju) o`u {aij}1≤i,j≤dest une matrice sym´etrique positive `a coefficients r´eels mesurables et uniform´ement born´es sur Ω tels que (7.2) ε0X 1≤i≤d ξ2 i≤X 1≤i,j≤d aij(x)ξiξj≤ε−1 0X 1≤i≤d ξ2 i pour tout (x, ξ)∈Ω×Rdet pour une constante ε0>0 convenable. On se contentera ici de renvoyer aux m´ethodes de [CFMS], [An3] (voir aussi [An1] pour des op´erateurs `a structure non divergence). On pourrait d’ailleurs rajouter `a L0un terme d’ordre 0 de signe variable (moyennant quelques pr´ecautions) et Lppour un p > d/2. Un point important est que contrairement au cas o`u Ω est lipschitzien [An1], la sym´etrie de L0joue un rˆole essentiel pour ´etendre les arguments de la Section 4 (passage au principe de Harnack au bord fort) et la question se pose de savoir si on peut se passer de cette hypoth`ese de sym´etrie apparemment artificielle. Par contre, pour N= 1 la sym´etrie n’est pas n´ecessaire pour l’extension des r´esultats pr´ec´edents, les r´esultats de la Section 4 devenant superflus. On va remarquer ici que sous des hypoth`eses suppl´ementaires sur Ω, on peut se d´ebarasser de l’hypoth`ese de sym´etrie en combinant [An7] et ce qui pr´ec`ede. Rappelons ([An4]) que Ω est dit uniform´ement r´egulier s’il existe β > 0 tel que pour tout a∈∂Ω et tout r > 0, la mesure harmonique classique (i.e. relative au Laplacien) de B(a, r)∩Ωcdans la boule B(a, r) est sup´erieure ou ´egale `a βsur ∂B(a, r/2) ; Ω est dit alors Th´ eorie du Potentiel et Domaines de John 379 β-uniform´ement r´egulier. Si cette condition a lieu pour un a∈∂Ω donn´e et un β > 0 on dira que Ω est β-uniform´ement r´egulier en a, ou encore que Rd\Ω est de densit´e capacitaire sup´erieure ou ´egale `a βen a. Th´eor`eme 7.1. Soit Ωun ouvert born´e, uniform´ement r´egulier et de type John dans Rd. Soit Lun op´erateur de la forme L(u) = L0(u) + B.∇u+αu o`u Best un champ de vecteurs mesurable sur Ωtel que δ1−ε0|B| ≤ C sur Ω(5) pour des constantes C > 0,ε0>0et o`u αest une fonction mesurable n´egative sur Ωtelle que δ2−ε0|α| ≤ C. Alors l’identit´e de Ω se prolonge en une application continue surjective π:b ΩL→Ωgo`u b ΩL d´esigne le compactifi´e de Martin de Ωrelativement `a L. Si ξ∈∂gΩest John d’ordre ≤N, l’ensemble des points minimaux ζtels que π(ζ) = ξ est fini de cardinal major´e par N. D´emonstration: Par le Th´eor`eme 9.1’ et la Proposition 8.4 de [An7], la L-compactification de Martin s’identifie canoniquement `a celle relative `a L0. D’o`u le r´esultat par les remarques pr´ec´edentes, et en fait un r´esultat plus pr´ecis que celui annonc´e. Notons que par le Th´eor`eme 9.1’ de [An7] la fonction de Green de Lest uniform´ement ´equivalente `a celle de L0. En fait on peut `a l’aide du Th´eor`eme 9.1’ de [An7] ´etendre tous les r´esultats des Sections 4 et 5 `a l’op´erateur Lde l’´enonc´e pr´ec´edent (au lieu du Laplacien ordinaire) `a condition de se limiter `a des domaines born´es et uniform´ement r´eguliers. Pour le voir montrons un analogue du Th´eor`eme 5.3. On suppose ici que Ω est un domaine born´e dans Rdet on suppose toujours que L0,Bet αv´erifient dans Ω les mˆemes hypoth`eses que dans le Th´eor`eme 7.1 pr´ec´edent. Th´eor`eme 7.2. Soit Run r´eel, 0<R≤1, et soient a∈∂Ωet A1,...,Am des points de ∂B(a, R)∩Ωtels que chaque point z∈B(a, 3 4R)∩Ωpuisse ˆetre joint `a au moins l’un des Ajpar un c0-arc de John de Ωissu de z. Supposons aussi que Ωest ε-uniform´ement r´egulier en chaque point de ∂Ω∩B(a, 3 4R), pour un ε > 0. Alors pour toute fonction L-harmonique positive hsur Ωnulle sur ∂Ω∩B(a, 3 4R), on a h(x)≤C1Rd−2X 1≤j≤m h(Aj)GAj(x) pour tout x∈∂B(a, R 2)∩Ω. Ici Gd´esigne la fonction de Green de L dans Ωet C1=C1(d, C, ε0, ε, c0)>0. (5)Comme pr´ec´edemment δ=δΩd´esigne la distance au bord dans Ω. 380 A. Ancona Rappelons que quitte `a modifier c0peut supposer que d(Aj, Ak)≥ c0 4Rpour j6=k[cf. la Remarque 2.2 (2)] et aussi δ(Aj)≥1 4c0R. On suppose dans la suite que ces in´egalit´es sont v´erifi´ees. Convenons de noter, si γ: [α, β]→Ω est un c0-arc de John de Ω issu de γ(α), Vγ=[ α≤t≤β Bγ(t),c0 4long(γ[α,t]) =nz∈Ω; ∃t∈[α, β] tel que d(z, γ(t)) <c0 4long(γ[α,t])o. L’ensemble Vγest un ouvert qu’on peut appeler le c0/4 cˆone de John associ´e `a γ. Soit Ula r´eunion des c0/4 cˆones de John Vγlorsque γparcourt l’ensemble des c0-arcs de John de Ω joignant un point de B(a, 3 4R)∩ Ω `a l’un des Aj. On v´erifie ais´ement que Uest c-John pour l’ensemble de pˆoles {Aj}1≤j≤met que B(a, 3 4R)∩Ω⊂U⊂B(a, c−1R)∩Ω pour un c=c(d, c0)>0 assez petit. En g´en´eral, Un’est pas n´ecessairement uniform´ement r´egulier et il faut encore modifier Upour passer `a un ouvert V`a la fois John (relativement aux Aj) et uniform´ement r´egulier. Consid´erons les cubes de Whitney suivants : notons R′=cR 4√det disons qu’un cube Qest bon s’il est maximal parmi ceux de la forme Q=Q 1≤j≤d [kj 2νR′,kj+1 2νR′], kj∈Z, νentier ≥4, et v´erifiant 2Q⊂U,Q\B(a, 5 8R)6=∅—o`u 2Qest le cube de mˆeme centre que Qet homoth´etique de Qdans le rapport 2—. Notons qu’un bon cube contient au plus un Ajet que les bons cubes recouvrent U\B(a, 5 8R). ` A chaque bon cube Qassocions un sous cube (ferm´e) Q′de la fa¸con suivante : si le cube Q0de mˆeme centre que Qet homoth´etique de celui-ci dans le rapport 1 9est tel que 2Q0ne contienne aucun Aj, on prend Q′=Q0. Sinon Q′est l’un des sous cubes obtenus en divisant Q en 9dcubes de mˆeme taille, Q′´etant de plus disjoint de 2Q0et Q′⊂7Q0. Soit alors Vl’ouvert obtenu en enlevant `a Utous les cubes Q′associ´es aux bons cubes. On peut alors v´erifier que : (a) Vest c′-John d’ensemble de pˆoles {Aj}1≤j≤m,c′=c′(c, d)>0 et (b) Vest β-uniform´ement r´egulier pour une constante β=β(d, ε, c0)>0. Le (b) d´ecoule du Lemme 7.4 ci-dessous ; la preuve facile —mais fastidieuse— du (a) sera omise ici. Maintenant par ce qui pr´ec`ede, les r´esultats de [An7] (cf. la Remarque 7.3 ci-dessous) disent que Let L0ont dans Vdes fonctions de Green Get G0´equivalentes, i.e. C−1 2G0≤G≤C2G0dans V×V Th´ eorie du Potentiel et Domaines de John 381 avec C2=C2(d, C, ε0, c0, ε). Il s’ensuit qu’il existe h0, fonction L0harmonique sur V, nulle sur ∂V ∩B(a, 5 8R) telle que C−2 2h0≤h≤C2 2h0 dans V. Comme L0est sym´etrique, on a d’apr`es le Th´eor`eme 4.4 (´etendu `a L0), h0(x)≤c4Rd−2X 1≤j≤m h0(Aj)G0(x, Aj) pour tout x∈∂B(a, R 2)∩Ω avec c4=c4(d, C, ε, ε0, c0). Donc finalement h(x)≤c4C4 2Rd−2X 1≤j≤m h(Aj)G(x, Aj) pour tout x∈∂B(a, R 2)∩Ω. Remarque 7.3.Dans [An3], le Th´eor`eme 9.1’ est ´etabli pour un domaine ε-uniform´ement r´egulier et c0John par rapport `a un pˆole. Mais le r´esultat et la preuve s’´etendent au cas d’un ouvert qui est John par rapport `a une famille de mpoints de Ω (avec une constante de comparaison ne d´ependant que de m,c0,εet des constantes de description des op´erateurs elliptiques consid´er´es); on observera que le Th´eor`eme XX de [An3] s’´etend sans difficult´e particuli`ere si on remplace la distance d(m) = d(O, m) au point O∈Mpar d(m) := inf{d(Oj, m); 1 ≤ j≤N}, o`u {Oj}1≤j≤Nest une famille finie de points de r´ef´erence dans M. Lemme 7.4. Soit K⊂∂U un ferm´e tel que Rd\Usoit de densit´e capacitaire ≥εen chaque a∈K. Soit {Ci}i∈Iune collection de cubes ferm´es contenus dans Uet tels que V:= U\Si∈ICisoit ouvert et : (i) chaque cube Ciest de cˆot´e ℓ(Ci)≥εδ(xi), o`u xiest le centre de Ci(ici δ=δU), (ii) pour chaque x∈Utel que δ(x)≤ε d(x;K), il existe i∈Itel que d(x, xi)≤ε−1δ(x)et ℓ(Ci)≥εδ(x). Alors, Vest uniform´ement r´egulier pour une constante α=α(d, ε)>0. Remarque 7.5.La condition (i) entraˆıne que pour chaque a∈Cion a δ(a)≤√d ℓ(Ci) + δ(xi)≤(√d+ε−1)ℓ(Ci) et ℓ(Ci)≥ε′δ(a) si ε′:= (√d+ε−1)−1. Preuve: Prenons a∈Φ := ∂V ,ρ > 0 et notons B=B(a, ρ). Il suffira de montrer que la mesure harmonique µde Φ ∩Bdans Ben un point b∈ ∂B(a, ε1ρ)∩Vest ≥c(d, ε)>0 pour un ε1∈(0,1 4) `a choisir en fonction de ε. En effet, on a alors pour d(a, b′) = 1 2ρ,µ(b′)≥c(d, ε)×2d−2−1 ε2−d 1−1 si d≥3 (resp. ≥c(d, ε)log 2 |log ε1|si d= 2). 382 A. Ancona Si a∈K, ou plus g´en´eralement si d(b, K)≤ρ 4, il n’y a rien `a d´emontrer d’apr`es l’hypoth`ese sur la densit´e capacitaire en chaque a′∈ Kde Rd\U⊂Rd\V. Si a∈∂U \Ket d(b, K)>ρ 4, on a puisque δ(b)≤ε1ρ B(b, 2ε−1δ(b)) ⊂B(a, 2(ε−1+ 1)ε1ρ)⊂B si 2(ε−1+ 1)ε1≤1 ; alors, par l’hypoth`ese (ii), Bcontient le centre xi d’un Cide cˆot´e ℓ(Ci)≥εδ(b). La mesure harmonique dans B(b, 2ε−1δ(b)) de Ciest ≥α(ε) au point bet a fortiori µ(b)≥α. Ainsi Rd\Vest de densit´e capacitaire ≥α′(ε)>0 en tout a∈∂U. Consid´erons maintenant le cas o`u a∈∂Cipour un i∈I. Si δ(a)≤ρ 4 on a B(a, ρ)⊃B(a′,ρ 4), a′∈∂U et, puisque Rd\Vest de densit´e capacitaire ≥α′(ε) en a′, on a µ(b)≥α′. Si ρ≤4δ(a) (et a∈∂Ci pour un i∈I), l’hypoth`ese (i) et la Remarque 7.5 donnent que ℓ(Ci)≥ ε′δ(a)≥ε′ 4ρ; donc µ(b) est minor´e par la mesure harmonique dans B(a, ρ) d’un cube contenant aet de cˆot´e ≥ε′ 4ρ, ´evalu´ee en un point de ∂B(a, ε1ρ). Il s’ensuit que µ(b)≥C1avec C1=C1(d, ε)>0. 8. Une version du th´eor`eme de limite radiale de Littlewood Pour all´eger, on se limite dans cette partie et la suivante `a la th´eorie du potentiel par rapport au Laplacien. Les r´esultats s’´etendent sans difficult´e au cas de la th´eorie du potentiel associ´ee `a un op´erateur elliptique L0comme en Section 7 (et donc aussi `a un op´erateur Lcomme dans le Th´eor`eme 7.1 dans le domaine Ω envisag´e lorsque celui-ci est uniform´ement r´egulier). 8.A. Soit Ω un domaine born´e et int´erieurement uniforme de Rdet soit ∂gΩ = Ωg\Ω sa fronti`ere accessible. Fixons un point de r´eference x0∈Ω et un r´eel r0>0 tels que B(x0,2r0)⊂Ω. On se donne une partie Ede ∂gΩ et un champ non tangentiel de base E, c’est `a dire ici la donn´ee d’une partie bor´elienne (ou seulement analytique au sens de Souslin, cf. [Bou]) Γ de Ω \B(x0, r0) et d’une application π: Γ →Etelles que (i) πest lipschitzienne (Ω et E´etant munis de dg), (ii) δ(x)≥c1dg(x, ξ) pour x∈Γ, ξ=π(x)∈Eet une constante c1>0, (iii) ξ∈π−1(ξ) (adh´erence au sens de dg) pour tout ξ∈E. Puisque πest continue et Γ analytique, l’ensemble Eest aussi une partie analytique de ∂gΩ. Une fa¸con naturelle de produire de tels champs Th´ eorie du Potentiel et Domaines de John 383 est donn´ee par la notion suivante, due pour l’essentiel `a Zhao [Zha] et `a l’origine de la d´efinition ci-dessus. Exemple 8.1 (Les champs de rayons non tangentiels).Soit E⊂∂gΩ bor´elien et soit γ:E×(0,1) →Ω\B(x0, r0) une application Borel-mesurable v´erifiant les conditions suivantes pour un c≥1 : (i) d(γ(ζ, t), ∂Ω) ≥c−1dg(γ(ζ, t), ζ) pour (ζ, t)∈E×(0,1), (ii) |γ(ζ, t)−γ(ζ′, s)| ≥ c−1dg(ζ, ζ′) pour ζ,ζ′∈E, et t,s∈(0,1), (iii) ζ= lim t→0γ(ζ, t) pour tout ζ∈E. Si on pose Γ = {γ(ξ, t); ξ∈E, t ∈(0,1)}et si on d´efinit π: Γ →E par la formule π(γ(ξ, t)) = ξ, alors le couple (Γ, π) est un champ non tangentiel de base E. 8.B. Notons ω(x0, .) la mesure harmonique dans Ω de x0(relativement `a la compactification g´eod´esique Ωgou ce qui revient au mˆeme `a la compactification de Martin b Ω). L’existence de ωx0est ´etablie en g´en´eral dans [Br1], [Br2], [Br3] et il est bien connu (cf. [Br3]) que cette mesure co¨ıncide avec l’unique mesure de probabilit´e µx0sur ∂gΩ telle que RKζ(x)dµx0(ζ) = 1, ∀x∈Ω —si Kd´esigne le noyau Martin de Ω relatif au point de normalisation x0—. Donc R∂gΩKζ(x)ω(x0, dζ) = 1 pour tout x∈Ω. Pour Lpartie compacte de Ω on notera aussi ω(x0, L) la mesure harmonique de Ldans Ω au point x0. C’est aussi la valeur en x0de la r´eduite b RL 1(relative `a Ω) (ref. e.g. [Br4], [Her]). 8.C. On se propose de montrer, dans le prolongement des m´ethodes de [AC,§A.1], que pour toute ssurharmonique positive dans Ω la limite limx∈π−1(ξ), x→ξs(x) = ℓξexiste pour ωx0-presque tout ξ∈E. Le point crucial est d’´etablir l’in´egalit´e de projection de type Doob ([Doo], [LMT]) suivante. La preuve qui suit s’inspire toujours de [Doo] (cf. aussi l’expos´e dans [LMT]) et est parall`ele `a celle de [AC,§A.1] ; n´eanmoins un nouvel argument permet ici d’´eviter l’hypoth`ese d’uniforme r´egularit´e de Ω. Pour d’autres m´ethodes (et des r´esultats ant´erieurs) voir [Da2] pour Ω Lipschitzien et [Zha] pour Ω NTA. Th´eor`eme 8.2. Il existe C > 0tel que pour tout compact L⊂Γ, on a : ω(x0, π(L)) ≤C ω(x0, L). Preuve: Fixons (comme dans [LMT]) une mesure de Borel positive µ sur Ldont la projection π(µ) soit exactement la restriction de ω(x0, .) `a π(L) (l’existence de µse d´eduit facilement du th´eor`eme de prolongement de Hahn-Banach appliqu´e `a f7→ Rg(x)ω(x0, dx), f=g◦π,g∈ 384 A. Ancona C(π(L)), voir [LMT]). Consid´erons le potentiel p(y) = RLKx(y)dµ(x), y∈Ω, (rappelons que Kd´esigne le noyau Martin de Ω normalis´e en x0) et montrons qu’on a p≤csur Lpour une constante cind´ependante de L. Pour y parvenir on part de la decomposition p=p1+p2o`u p1(y) = ZL∩B(y, 1 2δ(y)) Kx(y)dµ(x), p2(y) = ZL\B(y, 1 2δ(y)) Kx(y)dµ(x). Pour estimer p2notons que si d(x, y)≥1 2δ(y) alors δ(x)≤d(x, y) + δ(y)≤3d(x, y) et d(x, y)≥1 3δ(x). Donc, d’apr`es les in´egalit´es de Harnack au bord disponibles ici (voir le Corollaire 6.14), on a, pour x∈Γ et y∈Ω\B(x, 1 2δ(y)), (8.1) Kx(y)≤c Kπ(x)(y) pour une constante c=c(Ω,Γ, π)>0. ` A partir de (8.1), on obtient (8.2) p2(y)≤cZL Kπ(x)(y)dµ(x) = cZπ(L) Kζ(y)ω(x0, dζ)≤c, o`u on a utilis´e la propri´et´e π(µ) = ω(x0, .) sur π(L) et l’identit´e R∂gΩKζ(y)ω(x0, dζ) = 1 (cf. le 8.B). Pour estimer p1, introduisons un domaine born´e Vcontenant la fermeture de Ω et observons la majoration : Kx(y)≤cGV(y,x) G(x0,y)pour x∈Γ∩ B(y1 2, δ(y)), G(resp. GV) d´esignant la fonction de Green de Ω (resp. V) —noter que par les in´egalit´es de Harnack G(x0, y)≤c′ dG(x0, x)— si c a ´et´e fix´ee assez grande. Comme la projection π: Γ →∂gΩ est lipschitzienne, on a GV(x, y)≤c GV(π(y), π(x)) (quitte `a agrandir la constante c) —en convenant ici que pour z, z′∈Ωg,GV(z, z′) := GV(u, u′) o`u u,u′sont les projections naturelles de z,z′dans Ω. En effet, z7→ u est 1-lipschitzienne de (Ωg, dg) sur Ω muni de sa m´etrique ordinaire et c−1 V|u−u′|2−d≤GV(z, z′)≤cV|u−u′|2−dpour z, z′∈Ωget une constante cV≥1 (avec des modifications standard si d= 2). Donc, p1(y)≤c1 G(x0, y)ZB(y, 1 2δ(y))GV(y, x)dµ(x) ≤c2 G(x0, y)Zπ[B(y, 1 2δ(y))] GV(π(y), z)ω(x0, dz), (8.3) o`u c1et c2sont des constantes positives (ne d´ependant que de Ω, Γ et π). Th´ eorie du Potentiel et Domaines de John 385 Consid´erons maintenant la fonction h:x7→ Zπ[B(y, 1 2δ(y))] GV(π(y), z)ω(x, dz), x ∈Ω. Cette fonction hest harmonique positive dans Ω et s’annulle sur ∂gΩ hors de π(B(y, 1 2δ(y)), donc sur ∂gΩ hors de Bg(π(y), cδ(y)) pour une constante c > 0 assez grande (puisque πest Lipschitzienne). De plus la valeur en yde hest major´ee par GV(π(y), y) : en effet, pour toute fonction surharmonique ssur Von a s(y)≥R∂gΩs(z)ω(y, dz) par le principe du maximum (ou par la d´efinition mˆeme de ω). Et h(y) est donc aussi major´ee, si d≥3, par c GV(y′, y)≤c′Gy(y′), y′∈∂B(y, 1 2δ(y)) (avec de nouvelles constantes c > 0) ; d’o`u h(y′)≤c Gy(y′) (par Harnack quitte `a modifier encore c). Par les in´egalit´es de Harnack au bord du Corollaire 6.13, on obtient alors que h(x0) est major´e par c G(x0, y) = cGy(x0), c:= c(Ω,Γ, π)>0. ` A ce point on a montr´e, compte tenu de (8.3) et si d≥3, que p(y)≤c pour y∈Let une constante c=c(Ω,Γ, π). Le principe du maximum dit qu’en fait on a dans Ω tout entier p(y)≤cb RL 1(y), o`u b RL 1d´esigne la r´eduite (r´egularis´ee) dans Ω de la fonction constante 1 sur L, c’est `a dire le potentiel capacitaire de Ldans Ω. En prenant maintenant y=x0et en observant que p(x0) = kµk= ω(x0, π(L)), RL 1(x0) = ω(x0, L), on obtient finalement la conclusion du th´eor`eme dans le cas d≥3. Le cas d= 2.L’argument ci-dessus semble difficile `a adapter pour d= 2. On peut n´eanmoins d´eduire ce cas de celui de la dimension 3 de la mani`ere suivante. Formons ˜ Ω := Ω ×(−2,2) et posons ˜x0= (x0,0), ˜ Γ = Γ ×[−1,1], ˜π(x, t) = (π(x), t) pour (x, t)∈Γ. On montre ais´ement que ˜ Ω est int´erieurement uniforme (pour un r´esultat g´en´eral pour les domaines produits voir [BSt]) et que ∂g˜ Ω s’identifie naturellement `a ∂gΩ×[−2,2]∪Ω×{−2,2}. Aussi (˜ Γ,˜π) est un champ non tangentiel dans ˜ Ω de base ˜ E:= E×[−1,1]. De plus, pour Kcompact de Ω, ω(x0, K)≥˜ω(˜x0, K ×[−1,1]) (o`u ˜ωd´esigne la mesure harmonique relative `a ˜ Ω) et, pour Lcompact de ∂gΩ on a, comme on va voir, que pour une constante c > 0 ind´ependante de L (8.4) ω(x0, L)≤c˜ω(˜x0, L ×[−1,1]). 392 A. Ancona Munissons Ω de la m´etrique pseudo-hyperbolique dh, i.e. |dx|h= |dx| δ(x)pour x∈Ω. D’apr`es [BHK, Th´eor`eme 3.6], (Ω, dh) est Gromovhyperbolique et tout segment g´eod´esique de (Ω, dh) est un arc int´erieurement c-uniforme de Ω, c=c(Ω) >0 (ref. [BHK, p. 11]). D’autre part, si on pose ˜ G(x, y) = δd−2(y)G(x, y) si dh(x, y)≥1 et ˜ G(x, y) = 1 si dh(x, y)<1, alors par le (PHI) du Corollaire 6.11 (dont on a dit qu’il s’´etend `a l’op´erateur Lconsid´er´e ici, cf. le 7) ˜ Gv´erifie les conditions ´enonc´ees en 9.B. On en d´eduit que l’inverse du pseudo noyau de Na¨ım d˜ θ(x, y) = ˜ G(x,x0)G˜ (x0,y) ˜ G(x,y)est une pseudo-m´etrique. 3B. Si on suppose de plus Ω uniform´ement r´egulier (au sens de [An4]) on peut envisager des op´erateurs elliptiques bien plus g´en´eraux. Ainsi si Lest de la forme Lu = div(A∇u) + B.∇u+V u avec Acomme en C1 et B,Vmesurables sur Ω tels que δkBk+δ2|V| ≤ Csur Ω et (pour all´eger) V≤0, on sait que L=δ2Lest un op´erateur adapt´e et faiblement coercif sur (Ω, dh) [An7]. Donc le B s’applique (ici on n’utilise pas les r´esultats de [Aik] ou ceux du §6, mais le principe de Harnack `a l’infini de [An6]). Il s’ensuit que la fonction d˜ θassoci´ee `a la fonction de Green modifi´ee ˜ G de Lest une quasi-m´etrique. R´ef´erences [Aik] H. Aikawa, Boundary Harnack principle and Martin boundary for a uniform domain, J. Math. Soc. Japan 53(1) (2001), 119–145. [AHL] H. Aikawa, K. Hirata et T. Lundh, Martin boundary points of a John domain and unions of convex sets, J. Math. Soc. Japan 58(1) (2006), 247–274. [ALM] H. Aikawa, T. Lundh et T. Mizutani, Martin boundary of a fractal domain, Potential Anal. 18(4) (2003), 311–357. [An1] A. Ancona, Principe de Harnack `a la fronti`ere et th´eor`eme de Fatou pour un op´erateur elliptique dans un domaine lipschitzien, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 28(4) (1978), 169–213, x. [An2] A. Ancona, Une propri´et´e de la compactification de Martin d’un domaine euclidien, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 29(4) (1979), ix, 71–90. [An3] A. Ancona, R´egularit´e d’acc`es des bouts et fronti`ere de Martin d’un domaine euclidien, J. Math. Pures Appl. (9) 63(2) (1984), 215–260. Th´ eorie du Potentiel et Domaines de John 393 [An4] A. Ancona, On strong barriers and an inequality of Hardy for domains in Rn,J. London Math. Soc. (2) 34(2) (1986), 274–290. [An5] A. Ancona, Negatively curved manifolds, elliptic operators, and the Martin boundary, Ann. of Math. (2) 125(3) (1987), 495–536. [An6] A. Ancona, Th´eorie du potentiel sur les graphes et les vari´et´es, in : “´ Ecole d’´et´e de Probabilit´es de Saint-Flour XVIII-1988”, Lecture Notes in Math. 1427, Springer, Berlin, 1990, pp. 1–112. [An7] A. Ancona, First eigenvalues and comparison of Green’s functions for elliptic operators on manifolds or domains, J. Anal. Math. 72 (1997), 45–92. [An8] A. Ancona, Some results and examples about the behavior of harmonic functions and Green’s functions with respect to second order elliptic operators, Nagoya Math. J. 165 (2002), 123–158. [An9] A. Ancona, Quasimetric property for the inverse of Na¨ım’s kernel, Manuscrit (1999), 4 p. [AC] A. Ancona et N. Chevallier, Sur la convergence radiale des potentiels associ´es `a l’´equation de Helmholtz, Bull. Soc. Math. France 128(2) (2000), 249–281. [BB] Z. M. Balogh et S. M. Buckley, Geometric characterizations of Gromov hyperbolicity, Invent. Math. 153(2) (2003), 261–301. [BV1] Z. Balogh et A. Volberg, Boundary Harnack principle for separated semihyperbolic repellers, harmonic measure applications, Rev. Mat. Iberoamericana 12(2) (1996), 299–336. [BV2] Z. Balogh et A. Volberg, Geometric localization, uniformly John property and separated semihyperbolic dynamics, Ark. Mat. 34(1) (1996), 21–49. [BBZ] R. F. Bass et K. Burdzy, A boundary Harnack principle in twisted H¨older domains, Ann. of Math. (2) 134(2) (1991), 253–276. [BHK] M. Bonk, J. Heinonen et P. Koskela, Uniformizing Gromov hyperbolic spaces, Ast´erisque 270 (2001), viii+99 pp. [BS] M. Bonk et O. Schramm, Embeddings of Gromov hyperbolic spaces, Geom. Funct. Anal. 10(2) (2000), 266–306. 394 A. Ancona [Bou] N. Bourbaki,“´ El´ements de math´ematique. I : Les structures fondamentales de l’analyse. Fascicule VIII. Livre III : Topologie g´en´erale. Chapitre 9 : Utilisation des nombres r´eels en topologie g´en´erale”, Deuxi`eme ´edition revue et augment´ee, Actualit´es Scientifiques et Industrielles 1045, Hermann, Paris, 1958. [Br1] M. Brelot, Le probl`eme de Dirichlet “ramifi´e”, Ann. Univ. Grenoble. Sect. Sci. Math. Phys. (N.S.) 22 (1946), 167–200. [Br2] M. Brelot, Le probl`eme de Dirichlet g´eod´esique, C. R. Acad. Sci. Paris 228 (1949), 1790–1792. [Br3] M. Brelot, Le probl`eme de Dirichlet avec la fronti`ere de Martin, C. R. Acad. Sci. Paris 240 (1955), 142–144. [Br4] M. Brelot,“Axiomatique des fonctions harmoniques”, Deuxi`eme ´edition, S´eminaire de Math´ematiques Sup´erieures 14 (´ Et´e, 1965), Les Presses de l’Universit´e de Montr´eal, Montreal, Que., 1969. [BD] M. Brelot et J. L. Doob, Limites angulaires et limites fines, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 13, fasc. 2 (1963), 395–415. [BSt] S. M. Buckley et A. Stanoyevitch, Weak slice conditions, product domains, and quasiconformal mappings, Rev. Mat. Iberoamericana 17(3) (2001), 607–642. [CFMS] L. Caffarelli, E. Fabes, S. Mortola et S. Salsa, Boundary behavior of nonnegative solutions of elliptic operators in divergence form, Indiana Univ. Math. J. 30(4) (1981), 621–640. [Car] L. Carleson, On the existence of boundary values for harmonic functions in several variables, Ark. Mat. 4(1962), 393–399. [CM] M. Cranston et T. R. McConnell, The lifetime of conditioned Brownian motion, Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 65(1) (1983), 1–11. [Da1] B. E. J. Dahlberg, Estimates of harmonic measure, Arch. Rational Mech. Anal. 65(3) (1977), 275–288. [Da2] B. E. J. Dahlberg, On the existence of radial boundary values for functions subharmonic in a Lipschitz domain, Indiana Univ. Math. J. 27(3) (1978), 515–526. [Doo] J. L. Doob, Some classical function theory theorems and their modern versions, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 15, fasc. 1 (1965), 113–136. [Han] W. Hansen, Uniform boundary Harnack principle and generalized triangle property, J. Funct. Anal. 226(2) (2005), 452–484. Th´ eorie du Potentiel et Domaines de John 395 [Her] R.-M. Herv´ e, Recherches axiomatiques sur la th´eorie des fonctions surharmoniques et du potentiel, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 12 (1962), 415–571. [HW1] R. A. Hunt et R. L. Wheeden, On the boundary values of harmonic functions, Trans. Amer. Math. Soc. 132 (1968), 307–322. [HW2] R. A. Hunt et R. L. Wheeden, Positive harmonic functions on Lipschitz domains, Trans. Amer. Math. Soc. 147 (1970), 507–527. [JK] D. S. Jerison et C. E. Kenig, Boundary behavior of harmonic functions in nontangentially accessible domains, Adv. in Math. 46(1) (1982), 80–147. [KV] N. J. Kalton et I. E. Verbitsky, Nonlinear equations and weighted norm inequalities, Trans. Amer. Math. Soc. 351(9) (1999), 3441–3497. [Lit] J. E. Littlewood, On functions subharmonic in a circle. II, Proc. London Math. Soc. (2) 28 (1928), 383–394. [L¨om] A. L¨ omker, Martin boundaries of quasi-sectorial domains, Potential Anal. 13(1) (2000), 11–67. [LMT] T. J. Lyons, K. B. MacGibbon et J. C. Taylor, Projection theorems for hitting probabilities and a theorem of Littlewood, J. Funct. Anal. 59(3) (1984), 470–489. [Mar] R. S. Martin, Minimal positive harmonic functions, Trans. Amer. Math. Soc. 49 (1941), 137–172. [MS] O. Martio et J. Sarvas, Injectivity theorems in plane and space, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 4(2) (1979), 383–401. [Na¨ı] L. Na¨ ım, Sur le rˆole de la fronti`ere de R. S. Martin dans la th´eorie du potentiel, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 7(1957), 183–281. [NV] R. N¨ akki et J. V¨ ais¨ al¨ a, John disks, Exposition. Math. 9(1) (1991), 3–43. [Tay] J.-C. Taylor, On the Martin compactification of a bounded Lipschitz domain in a Riemannian manifold, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 28(2) (1978), v, 25–52. [Va1] J. V¨ ais¨ al¨ a, Uniform domains, Tohoku Math. J. (2) 40(1) (1988), 101–118. 396 A. Ancona [Va2] J. V¨ ais¨ al¨ a, Relatively and inner uniform domains, Conform. Geom. Dyn. 2(1998), 56–88 (electronic). [Va3] J. V¨ ais¨ al¨ a, Hyperbolic and uniform domains in Banach spaces, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 30(2) (2005), 261–302. [Zha] Shi Ying Zhao, Boundary behavior of subharmonic functions in nontangential accessible domains, Studia Math. 108(1) (1994), 25–48. D´epartement de Math´ematiques Universit´e Paris Sud Campus d’Orsay, Bˆat. 425 91405 Orsay Cedex France E-mail address:[email protected] Primera versi´o rebuda el 13 de setembre de 2006, darrera versi´o rebuda el 14 de febrer de 2007.