Caractérisation des anneaux noethériens de séries formelles à croissance controlée. Application à la synthèse spectrale

Publicacions Matem`atiques, Vol 41 (1997), 545–561. CARACT´ ERISATION DES ANNEAUX NOETH´ ERIENS DE S´ ERIES FORMELLES ` A CROISSANCE CONTROL´ EE. APPLICATION ` A LA SYNTH` ESE SPECTRALE Jacques Chaumat et Anne-Marie Chollet Abstract Given a subring of the ring of formal power series defined by the growth of the coefficients, we prove a necessary and sufficient condition for it to be a noetherian ring. As a particular case, we show that the ring of Gevrey power series is a noetherian ring. Then, we get a spectral synthesis theorem for some classes of ultradifferentiable functions. Introduction Soit M={Mp}p≥0une suite de r´eels strictement positifs v´erifiant les propri´et´es suivantes: (H1)M0=1et{Mp}p≥0est logarithmiquement convexe, (H2)M1/p ptend vers l’infini avec p. On d´esigne par F(n) l’anneau des s´eries formelles en nvariables. Soit C une constante strictement positive. On note M(n, C)=A∈F(n); A= J∈Nn aJxJ; sup J∈Nn |aJ| CjMj <∞ Keywords. Noetherian rings, spectral synthesis, ultradifferentiable classes. 1991 Mathematics subject classifications: 16P40, 26E10, 46J20. 546 J. Chaumat, A.-M. Chollet o`ujd´esigne la longueur du multi-indice J. On pose BM(n)=  C>0 M(n, C)etCM(n)=  C>0 M(n, C). On caract´erise ici les suites {Mp}p≥0telles que les anneaux BM(n)ou CM(n) soient noeth´eriens. Ce sont les suites qui v´erifient, de plus, (H3) il existe A≥1 tel que, pour tout p≥0, Mp+1 ≤Ap+1Mp. En effet, dans une premi`ere partie, lorsque (H1), (H2)et(H3) sont v´erifi´ees, on ´etablit un th´eor`eme de division sans perte de r´egularit´e dans BM(n)dontond´eduit naturellement le caract`ere noeth´erien de l’anneau. La r´eciproque fait l’objet de la deuxi`eme partie. On donne, comme application, un th´eor`eme de synth`ese spectrale de Whitney pour des classes ultra-diff´erentiables. Les r´esultats concernant CM(n) font l’objet du paragraphe 17. On peut comparer le th´eor`eme de division 9 ´etabli ici avec le Th´eor`eme 20 de [4]o`u la division par un polynˆome g´en´erique dans des classes de jets sur des compacts de Cfait apparaˆıtre une perte de r´egularit´e optimale sur la classe. Dans un cadre un peu diff´erent, on peut consulter [5]. Premi`ere partie Dans toute cette partie, on suppose que la suite M={Mp}p≥0v´erifie les hypoth`eses (H1), (H2)et(H3) ci-dessus. 1. D´efinitions et notations. Soient Ψ = (ψ1,... ,ψ n), ψj>0, 1 ≤j≤n,etJ=(j1,... ,j n) deux n-uples d’entiers. On note (1.1) Ψ.J = n  k=1 ψkjk. En particulier, pour 11=(1,... ,1), on a, si on note jla longueur de J, (1.2) 11.J = n  k=1 jk=j. On note F(n) l’anneau des s´eries formelles en nvariables et O(n) l’anneau des germes en 0 de fonctions analytiques au voisinage de 0 dans Cn. S´ eries formelles ` a croissance control´ ee 547 Soit Cune constante strictement positive. On note M(n, C, Ψ) = A∈F(n); A= J∈Nn aJxJ; sup J∈Nn |aJ| CjMΨ.J <∞ et BM(n, Ψ) =  C>0 M(n, C, Ψ). Lorsque Ψ = 11, on ´ecrit BM(n, 11) = BM(n). Clairement, BM(n, Ψ) est un sous-anneau de F(n) qui contient O(n). C’est aussi une alg`ebre de Fr´echet avec pour famille de normes: AM,C,Ψ= sup J∈Nn |aJ| CjMΨ.J . Lorsque Ψ = 11, on ´ecrit AM,C,11=AM,C. On note de mˆeme CM(n, Ψ) =  C>0 M(n, C, Ψ). Lorsque Ψ = 11, on ´ecrit CM(n, 11) = CM(n). Bien sˆur, CM(n, Ψ) est un sous-anneau de F(n) qui contient O(n); mais ce n’est plus une alg`ebre de Fr´echet. C’est une limite inductive d’espaces de Banach. En effet, M(n, C, Ψ) est un espace de Banach pour la norme ·M,C,Ψet, pour C1>C 2>0, l’injection canonique de M(n, C2,Ψ) dans M(n, C1,Ψ) est continue. 2. Propri´et´es ´el´ementaires de CM(n)et BM(n). On sait [6] que, sous les hypoth`eses (H1), (H2)et(H3), CM(n)v´erifie les propri´et´es suivantes: (2.1) Si A=J∈NnaJxJappartient `a CM(n)etsia(0,... ,0) n’est pas nul, alors Aa un inverse dans CM(n). (2.2) Plus g´en´eralement, CM(n) est stable par composition. (2.3) Le th´eor`eme des fonctions implicites est vrai dans CM(n). On d´eduit de (2.1) que CM(n) est un anneau local. De plus, si on note (CM(n))0l’id´eal maximal de CM(n) constitu´e des ´el´ements qui s’annulent `a l’origine, la propri´et´e(H3) montre que (CM(n))0est engendr´e par (x1,... ,x n). On montre ´egalement que tout id´eal I=0deCM(1) est engendr´e par xνpour un entier νconvenable. Ceci prouve que CM(1) est un anneau noeth´erien. Les mˆemes propri´et´es sont vraies pour BM(n). On peut s’en convaincre ais´ement en utilisant le lemme ´el´ementaire suivant. On trouvera une version plus ´elabor´ee de ce lemme dans [3]. 548 J. Chaumat, A.-M. Chollet Lemme. Soit une suite M={Mp}p≥0satisfaisant les propri´et´es (H1),(H2)et (H3)et (Aj)1≤j≤k, une famille finie d’´el´ements de BM(n). Alors, il existe une suite N={Np}p≥0satisfaisant les propri´et´es (H1),(H2)et (H3)telle que l’on ait (2.4) (Aj)1≤j≤kest incluse dans CN(n) et (2.5) lim p→∞ Np Mp1/p =0. On peut remarquer que la propri´et´e (2.5) implique que CN(n) est inclus dans BM(n). Dans la suite de ce travail, on traitera le cas de BM(n) de mani`ere d´etaill´ee et on reviendra dans le paragraphe 17 sur le cas de CM(n). Soit mun entier, m≥1. On note, pour tout λde Cm,λ= (λ1,... ,λ m), et tout xde C, Pm(x, λ)=xm+λ1xm−1+···+λm. Si on note Ψk=(1,... kfois,1,1,2,... ,m−1,m), alors, pour tout multiindice (I,J)deNk×Nm, on a d’apr`es (1.1) Ψk·(I,J)=i+j1+···+mjm o`uid´esigne la longueur de I. 3. Formules de division dans F(n)par un polynˆome g´en´erique Pm.Soit A=J∈NnaJxJun ´el´ement de F(n). On note x= (x1,... ,x n)=(x1,x ). Alors, on peut ´ecrire, au sens des s´eries formelles en (x, λ), (3.1) A(x)=Qm(A)(x, λ)Pm(x1,λ)+ m−1  t=0 Rm t(A)(x,λ)xt 1 avec (3.2) Qm(A)(x, λ)=  K∈Nn−1 β∈N B∈Nm aΨ1.(β,B)+m,K(−1)bb! B!xβ 1λBxK S´ eries formelles ` a croissance control´ ee 549 si on note bla longueur de Bet (3.3) Rm t(A)(x,λ)=  K∈Nn−1 B∈Nm aΨ0.B+t,K (−1)bbt(b−1)! B!λBxK si, on note B=(b1,... ,b m)et, pour tout t, 0≤t≤m−1, bt=m i=m−tbi. Preuve: On a (3.4) Pm(x, λ)−Pm(ξ,λ)=(x−ξ)m−1  t=0 xtξm−1−t+ m−1  k=1 λk m−k−1  t=0 xtξm−k−1−t  =(x−ξ) m−1  t=0 xtξm−1−t+ m−1−t  k=1 λkξm−k−1−t =(x−ξ) m−1  t=0 xtξ−1−tξm+ m−1−t  k=1 λkξm−k =(x−ξ) m−1  t=0 xtξ−1−tSm t(ξ,λ). On tire de (3.4) (3.5) 1 ξ−x=Pm(x, λ) (x−ξ)Pm(ξ,λ)+ m−1  t=0 xtξ−1−tSm t(ξ,λ) Pm(ξ,λ). Soit xαun monˆome. On peut ´ecrire, pour |λ|=m k=1 |λk|21/2assez petit et pour |x|<1, (3.6) xα=1 2iπ |ξ|=1 ξα ξ−xdξ =Pm(x, λ)1 2iπ |ξ|=1 ξα (ξ−x)Pm(ξ,λ)dξ + m−1  t=0 xt1 2iπ |ξ|=1 Sm t(ξ,λ)ξα−1−t Pm(ξ,λ)dξ =Qm α(x, λ)Pm(x, λ)+ m−1  t=0 xtRm t,α(λ). 550 J. Chaumat, A.-M. Chollet La fonction Qm α(x, λ) est holomorphe au voisinage de (0,0) dans C×Cm et les fonctions Rm t,α(λ), t=0,... ,m−1, sont holomorphes au voisinage de 0 dans Cm. On remarque que, pour tout entier βet tout multi-indice Bde Nmde longueur b,B=(b1,... ,b m), on a (3.7) Dβ,B x,λ Qm α(0,0) = (−1)b 2iπ β!b!|ξ|=1 ξα+m−1 i=1 (m−i)bi ξβ+1+(b+1)mdξ et donc, en calculant l’int´egrale figurant dans (3.7), avec B!=b1!...b m! et λB=λb1 1...λ bm m, (3.8) Qm α(x, λ)=  β∈N,B∈Nm (−1)bb! B!xβλBavec m+β+ m  k=1 kbk=α. Alors, en utilisant la d´efinition de Ψ1,onpeut´ecrire (3.9) Qm α(x, λ)=  (β,B)∈N×Nm;Ψ1.(β,B)+m=α (−1)bb! B!xβλB. Pour tentier, 0 ≤t≤m−1, on pose λ=(λ,λ ) avec λ= (λ1,... ,λ m−1−t)etλ =(λm−t,... ,λ m). De mˆeme, pour B∈Nm,on ´ecrit B=(B,B)avecB=(b1,... ,b m−1−t)etB =(bm−t,... ,b m). On a alors, en reprenant l’expression de Rm t,α(λ) dans (3.3) et en prenant en compte le fait que Sm t(ξ,λ) ne fait intervenir que λk, 1≤k≤m−1−t, (3.10) DB λRm t,α(0) = 1 2iπ |ξ|=1 ξα−(1+t)DB λ Sm t(ξ,λ) Pm(ξ,λ)λ=0 dξ =1 2iπ |ξ|=1 ξα−(t+1)DB λξm+ m−1−t  k=1 λkξm−kDB λ 1 Pm(ξ,λ)λ=0 . On remarque que l’on a ξm+ m−1−t  k=1 λkξm−kDB λ 1 Pm(ξ,λ)λ =0 =(−1)b b!ξm−1 i=m−t(m−i)bi ξm+m−1−t k=1 λkξm−kb S´ eries formelles ` a croissance control´ ee 551 et donc DB λRm t,α(0) =(−1)b 2iπ b! |ξ|=1 ξα−t−1+m−1 i=m−t(m−i)biDB λ 1 ξm+m−1−t k=1 λkξm−kb λ=0 dξ =(−1)b 2iπ b(b−1)! |ξ|=1 ξα−t−1+m−1 i=1 (m−i)bi ξmb dξ. On a donc (3.11) Rm t,α(λ)=  B∈Nm;t+Ψ0.B=α (−1)bb(b−1)! B!λB. Soit A=J∈NnaJxJun ´el´ement de F(n) avec x=(x1,... ,x n)= (x1,x ). Alors, au sens des s´eries formelles en (x, λ), on a (3.12) A(x)=Qm(A)(x, λ)Pm(x1,λ)+ m−1  t=0 Rm t(A)(x,λ)xt 1 avec (3.13) Qm(A)(x, λ)=  K∈Nn−1 α∈N aα,KQm α(x1,λ)xKet Rm t(A)(x,λ)=  K∈Nn−1 α∈N aα,KRm t,α(λ)xK. On a (3.14) Qm(A)(x, λ) = K∈Nn−1  α∈N aα,K  (β,B)∈N×Nm;Ψ1.(β,B)+m=α (−1)bb! B!xβ 1λB xK. De l`a, en sommant par tranches dans la formule (3.14), on obtient (3.2). Un calcul analogue conduit `a (3.3) `a partir de (3.13). 4. Th´eor`eme de division dans BM(n)par un polynˆome g´en´erique Pm.Soit {Mp}p≥0v´erifiant les hypoth`eses (H1),(H2)et (H3). Quel que soit Adans BM(n),ona (4.1) A(x)=Qm(A)(x, λ)Pm(x1,λ)+ m−1  t=0 Rm t(A)(x,λ)xt 1 avec Qm(A)dans BM(n+m, Ψn)et Rm t(A)dans BM(n−1+m, Ψn−1). Preuve: Il s’agit l`a d’une cons´equence imm´ediate de (H3), (3.1), (3.2) et (3.3). 552 J. Chaumat, A.-M. Chollet 5. Notation. On note Ph m(x)=xm 1+Hm−1(x)o`uHm−1est le polynˆome homog`ene g´en´erique de degr´e m−1enx=(x1,... ,x n)= (x1,x ). On peut encore ´ecrire (5.1) Ph m(x1,x ,µ)=xm 1+ m−1  t=0 xt 1  L∈Nn−1,=m−1−t µLxL  o`u%d´esigne la longueur de Let µ={µL;L∈Nn−1,%≤m−1}appartient `a CN(n,m)si N(n, m)d´esigne le nombre de monˆomes homog`enes de n−1 variables et de degr´e inf´erieur ou ´egal `a m−1. On peut r´e´ecrire (5.1) sous la forme (5.2) Ph m(x1,x ,µ)= m−1  t=0 xt 1λm−t(x,µ)=Pm(x1,λ(x,µ)) o`uλ(x,µ)=(λt(x,µ),1≤t≤m). Chaque λtest le polynˆome homog`ene g´en´erique de degr´e t−1enx=(x2,... ,x n). Il est de plus de degr´e1enµ. 6. Proposition. Soit A=J∈NnaJxJun ´el´ement de F(n). Alors, au sens des s´eries formelles en (x, µ),ona (6.1) A(x)=Qm(A)(x, λ(x,µ))Ph m(x1,x ,µ) + m−1  t=0 Rm t(A)(x,λ(x,µ))xt 1. De plus, si Aappartient `a BM(n), alors Qm(A)(x, λ(x,µ)) appartient `a BM(n+N(n, m)) et, pour t,0≤t≤m−1,Rm t(A)(x,λ(x,µ)) appartient `a BM(n−1+N(n, m)). Preuve: Il s’agit l`a d’une cons´equence des formules 3 et du Th´eor`eme 4, apr`es substitution de λpar λ(x,µ) dans (3.1), (3.2) et (3.3). En effet, on a (6.2) λB(x,µ)=λb1 1(x,µ)...λ bn n(x,µ) = {S∈Nn−1,V ∈NN(n,m);s+v=Ψ0·B} C(B,S,V )xSµV o`uset vd´esignent respectivement la longueur de Set la longueur de V. Il est crucial de remarquer que l’on a (6.3) |C(B,S,V )|≤N(n, m)b S´ eries formelles ` a croissance control´ ee 553 et (6.4) B1=B2implique {(S, V ); C(B1,S,V)=0}∩{(S, V ); C(B2,S,V)=0}=∅. On remplace dans (3.2) λpar λ(x,µ); apr`es d´eveloppement, on obtient (6.5) Qm(A)(x, λ(x,µ)) = K∈Nn−1 β∈N B∈Nm aΨ1.(β,B)+m,K (−1)bb! B!xβ 1 S∈Nn−1,V ∈NN(n,m) s+v=Ψ0·B C(B,S,V )xK+SµV. La propri´et´e(H3) appliqu´ee mfois permet de conclure. Un calcul analogue donne le r´esultat correspondant pour Rm t(A)(x,λ(x,µ)). 7. D´efinition. Soit Aun ´el´ement de F(n)etmun entier. On dit que Aest m-r´egulier par rapport `a la variable x1si (7.1) aJ=0,pour j<m et (7.2) a(m, 0,... ,0 n−1 fois )=0. Soit Aun ´el´ement de F(n) non identiquement nul. Il existe mtel que, ´eventuellement apr`es changement de variables lin´eaire, Apuisse ˆetre consid´er´e comme m-r´egulier par rapport `a la variable x1. 8. Lemme de pr´eparation. Soit Aun ´el´ement de F(n)et mun entier. On suppose que Aest m-r´egulier par rapport `a la variable x1; alors on a, au sens des s´eries formelles, (8.1) A(x)=Qm(A)(x, λ(x,µ(A)(x)))Ph m(x1,x ,µ(A)(x)) o`uµ(A)(x)={µJ(A)((x),j ≤m−1}est une famille de s´eries formelles de F(n−1) d´ependant de Aet Qm(A)(0,0) =0. De plus, si Aappartient `a BM(n), pour tout J,µJ(A)(x)appartient `a BM(n−1) et Qm(A)(x, λ(x,µ(A)(x))) appartient `a BM(n). Preuve: On ´ecrit la division de Apar Pm(x1,λ) et on remplace λpar λ(x,µ). On obtient (8.2) A(x)=Qm(A)(x, λ(x,µ))Ph m(x1,x ,µ) + m−1  t=0 Rm t(A)(x,λ(x,µ))xt 1 560 J. Chaumat, A.-M. Chollet La d´emonstration du Th´eor`eme 14 pour CM(n)sepr´esente de mani`ere analogue `a celle de BM(n). Par contre, pour ´etablir le Th´eor`eme 16 pour CMK, il importe d’utiliser le fait que, sous les hypoth`eses (H1), (H4), (H5), le th´eor`eme d’extension de Whitney est vrai pour ces classes. Plus pr´ecis´ement, si on note CcMRn={f∈CMRn`a support compact} et Rl’application restriction de CMRndans CMK, cette application est surjective [2], [3]. De l`a, on v´erifie ais´ement que d´emontrer le Th´eor`eme 16 revient `a d´emontrer que le th´eor`eme de synth`ese spectral de Whitney est vrai dans CMRn, c’est `a dire que l’on a (16.1) pour tout id´eal ferm´e Ide CMRn. Pour cela, on montre que, pour tout suite N={Np}p≥0v´erifiant (H1), (H4), (H5), et de plus, lim p→∞ Np Mp1/p =∞, toute fde J=x∈RnI+ I∞ x(CcMRn) et tout η>0, il existe une fonction gηappartenant `a Itelle que l’on ait (17.1) f−gη(p!Np;1)Rn<η. Ce r´esultat s’obtient en remarquant que l’on a CcMRn⊂BNRnet en modifiant la construction d´etaill´ee dans [1]. On r´egularise les partitions de l’unit´e qui interviennent dans [1] pour qu’elles appartiennent `a CcMRn et conservent leur bon contrˆole dans (p!Np;1) Rn. On raisonne maintenant par l’absurde. Soit donc fappartenant `a J et n’appartenant pas `a I. A l’aide du th´eor`eme de Hahn-Banach, on trouve une forme lin´eaire %appartenant au dual de CcMRnv´erifiant %(f)=1et Re%(g)≤0 pour tout g∈I. Soit Ω un ouvert born´e contenant le support de f. On remarque que les fonctions gηqui approchent fdans (17.1) peuvent ˆetre construites `a support dans Ω. On utilise alors la caract´erisation du dual de CcMRn donn´ee dans [8, Proposition 8.6] pour construire une suite Nv´erifiant les propri´et´es ci-dessus et telle que %se prolonge continˆument `a(p!Np;1) Ω. Le calcul de %(gη) apporte alors la contradiction. R´ef´erences 1. J. Bruna, Spectral synthesis in non quasi-analytic classes of infinitely differentiable functions, Bull. Sci. Math. 104 (1980), 65–78. S´ eries formelles ` a croissance control´ ee 561 2. J. Bruna, An extension theorem of Whitney type for non quasianalytic classes of functions, J. London Math. Soc. (2) 22 (1980), 495–505. 3. J. Chaumat et A. M. Chollet,Th´eor`eme de Whitney dans les classes ultradiff´erentiables, Publ. IRMA Lille 28 (1992). 4. J. Chaumat et A. M. Chollet, Sur le th´eor`eme de division de Weierstrass, Studia Math. 116 (1995), 59–84. 5. J. Chaumat et A. M. Chollet, Propri´et´es de l’intersection des classes de Gevrey et de certaines autres classes, (`a paraˆıtre). 6. E. M. Dynkin, Pseudoanalytic extension of smooth functions. The uniform scale, Amer. Math. Soc. Transl. 115 (1980), 33–58. 7. H. Grauert et K. Fritzsche,“Several complex variables,” G. T. M., Springer-Verlag, 1976. 8. H. Komatsu, Ultradistributions, Internat. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sec. I A 20 (1973), 25–105. 9. B. Malgrange, Ideals of Differentiable Functions, Oxford University (1966). 10. J. C. Tougeron,“Id´eaux de fonctions diff´erentiables,” Springer Verlag, 1972. Jacques Chaumat: URA CNRS 757 Universit´e Paris-Sud Math´ematiques - Bˆat. 425 91405 Orsay cedex FRANCE e-mail: jacques.c[email protected] Anne-Marie Chollet: URA CNRS 751 Universit´e de Lille U.F.R. de Math´ematique - Bˆat. M2 59655 Villeneuve d’Ascq cedex FRANCE e-mail: c[email protected] Primera versi´o rebuda el 22 de Juliol de 1996, darrera versi´o rebuda el 5 de Novembre de 1996