Applications holomorphes de domaines disqués non bornés

Publ. Mat. 50 (2006), 149–165 APPLICATIONS HOLOMORPHES DE DOMAINES DISQU´ ES NON BORN´ ES Jean-Jacques Loeb Abstract We give several extensions to unbounded domains of the following classical theorem of H. Cartan: A biholomorphism between two bounded complete circular domains of Cnwhich fixes the origin is a linear map. In our paper, pseudo-convexity plays a main role. Some precise study is done for the case of dimension two and the case where one of the domains is Cn. 1. Introduction Les domaines disqu´es de Cnont d’abord ´et´e ´etudi´es par H. Cartan vers 1930. Rappelons ici qu’un domaine dans Cnest dit disqu´e lorsque l’appartenance de x`a ce domaine implique l’appartenance de zx `a ce domaine pour tout complexe zde module au plus un. Pour n= 1, les seuls domaines disqu´es sont les disques ou Ctout entier. La situation est beaucoup plus riche en dimension sup`erieure. Un des plus anciens r´esultats dˆu `a H. Cartan [4] est le suivant. (Son ´enonc´e original est plus fort que l’´enonc´e que nous donnons.) R´esultat 1 (R1).Soit fun biholomorphisme d’un domaine disqu´e X1 sur un autre domaine disqu´e X2envoyant l’origine sur l’origine. Si un des deux domaines est suppos´e born´e, alors ce biholomorphisme est un automorphisme lin´eaire. Ce th´eor`eme est cons´equence du r´esultat suivant (dˆu ´egalement `a H. Cartan). R´esultat 2 (R2).Soit Vun domaine born´e de Cnet fune application holomorphe de Vdans lui-mˆeme. On suppose que fa un point fixe aet qu’en ce point fixe, la diff´erentielle de fsoit l’idendit´e. Alors felle-mˆeme est l’idendit´e. 2000 Mathematics Subject Classification. Primary: 32A07; Secondary: 32H02, 32T05. Key words. Complete circular domains, self holomorphic map. 150 J.-J. Loeb Un troisi`eme r´esultat dˆu `a W. Rudin [13] est le suivant (voir aussi pour le cas de la boule M. Herv´e [7]). R´esultat 3 (R3).Soit Uun domaine born´e de Cnsuppos´e strictement convexe, disqu´e et born´e et fune auto-application holomorphe de Ulaissant fixe l’origine. Alors l’ensemble des points fixes de fest l’intersection du sous-espace vectoriel de Cndes points fix´es par Df(0) (diff´erentielle de fen 0) avec U. Dans la suite, nous nous proposons de donner certaines g´en´eralisations de ces th´eor`emes au cas disqu´e non born´e. Au d´epart, faisons quelques remarques simples : Lien entre les R´esultats 1, 2 et 3. Rappelons que H. Cartan a montr´e que le R´esultat 2 implique le R´esultat 1 de la mani`ere suivante : Supposons dans le R´esultat 1 le domaine X1born´e. Notons g l’application r´eciproque de f. Alors pour ucomplexe de module 1, l’application hu:x→g(u−1f(ux)) est une auto-application holomorphe de X1dont on v´erifie facilement les hypoth`eses du R´esultat 2, `a savoir : hufixe l’origine et sa diff´erentielle en ce point est l’idendit´e. On d´eduit que huest l’idendit´e pour tout ude module 1, ce qui signifie aussi que f(ux) = uf(x) pour tout xdans X1et tout ude module 1. On montre alors facilement que fest lin´eaire. Il est aussi clair que le R´esultat 3 implique le R´esultat 2 dans le cas tr`es particulier o`u Vsatisfait aux conditions du R´esultat 3 et lorsque aest l’origine. Discussion des hypoth`eses. 1. Le contre-exemple classique au R´esultat 1 et au R´esultat 2 dans le cas non born´e est le suivant : On prend X1=X2=C2et fune application de la forme : (x, y)→(x, y +l(x)) avec lune fonction enti`ere non nulle v´erifiant l(0) = l′(0) = 0. Nous allons montrer dans la suite que malgr´e ce contre-exemple, on peut r´ecup´erer une certaine partie de le R´esultat 1 dans le cas non born´e. 2. Dans le cas du th´eor`eme de Rudin, on a des exemples de domaines born´es disqu´es pour lesquels le R´esultat 3 est mis en d´efaut. On prend par exemple pour domaine le bidisque et pour fl’application qui `a (x, y) associe (x, x2). Nous essayons ici de mieux comprendre cette situation. 3. La preuve donn´ee par H. Cartan de le R´esultat 2 est de supposer fdiff´erent de l’idendit´e. Son d´eveloppement en polynˆomes homog`enes `a l’origine est alors de la forme : f(x) = x+P(x) + ··· Applications Holomorphes de Domaines Disqu´ es 151 avec Ple polynˆome homog`ene non nul de degr´e le plus bas et sup´erieur `a un. Le d´eveloppement analogue du n-i`eme it´er´e est donn´e par : x+nP(x) + ···, ce qui viole les in´egalit´es de Cauchy si on suppose Vborn´e. Le th´eor`eme de Cartan a ´et´e g´en´eralis´e au cas des vari´et´es hyperboliques complexes [1]. En ce qui concerne les domaines disqu´es, ceci n’apporte rien de plus car un domaine disqu´e hyperbolique est born´e [11]. Des exemples simples de domaines disqu´es non born´es sont des ensembles du type : {z∈Cn| |P(z)|<1}o`u Pest un polynˆome homog`ene. Afin de mettre en ´evidence certains ph´enom`enes, nous donnons ici deux classes d’ exemples plus compliqu´es de domaines disqu´es pseudoconvexes et non born´es. Exemple 1. On part d’une suite d’´el´ements (an, bn)∈C2v´erifiant : annon nul pour tout n,|an|+|bn|= 1 pour tout net l’ensemble des directions point´ees par les vecteurs (an, bn) est dense dans l’ensemble des directions complexes. On choisit alors, ce qui est possible, une suite de nombres (cn) strictement positifs tel que la somme des cnln |an|converge (i.e. soit strictement sup´erieur `a −∞). On peut aussi s’arranger pour que la somme de la s´erie de terme g´en´eral cnsoit ´egal `a un. Nous affirmons alors que la s´erie de terme g´en´eral cnln |anx+bny|converge ou vaut −∞ pour tout (x, y)∈C2et d´efinit une fonction plurisousharmonique (psh) hqui v´erifie : h(av) = ln |a|+h(v) pour tout complexe aet tout v∈C2. On remarque d’abord que lorsque max(|x|,|y|)<1, le terme g´en´eral de la s´erie pr´ec´edente est n´egatif, donc il y a convergence (´eventuellement vers −∞). Les fonctions ln |anx+bny|´etant aussi psh, il s’en suit que hest psh comme limite d’une suite d´ecroissante de fonctions psh au moins lorsque max(|x|,|y|)<1. Le passage `a tout C2se fait en utilisant la relation ln |xy|= ln |x|+ ln |y|, et permet aussi de montrer la relation v´erifi´ee par h. La fonction hest diff´erente de −∞ en (1,0). Le domaine disqu´e Xconsid´er´e est alors d´efini comme ´etant l’ensemble des ´el´ements vde C2v´erifiant h(v)<0. C’est un domaine pseudo-convexe qui par construction contient un ensemble dense de droites vectorielles. On pourra remarquer que ceci implique l’inexistence de fonctions psh continues born´ees non constantes sur X(et `a fortiori de fonctions holomorphes born´ees non constantes) mais qu’il existe une fonction psh born´ee non constante sur X`a savoir h. Exemple 2. C’est un type de domaine construit en prenant l’intersection d’un domaine Xde l’Exemple 1 avec le domaine Z={(x, y)∈C2| |y|<1}. Il est disqu´e, pseudo-convexe, non born´e et ne contient pas de 152 J.-J. Loeb droite vectorielle car l’axe des x(qui est la seule droite vectorielle incluse dans Z) n’est pas dans Xpar construction. Des r´esultats de Th. J. Barth [2] concernant l’indicatrice de Kobayashi jouent dans nˆotre article un rˆole important (Parties 1 et 2). L’id´ee de disque dans le bord (Partie 3) avait ´et´e d´evelopp´ee par E. Vesentini [14] pour les boules. Nos m´ethodes concernant la fonction de Green (Partie 4) sont proches de celles de F. Berteloot et G. Patrizio [3]. 2. ´ Equivalence holomorphe des domaines disqu´es pseudo-convexes Le th´eor`eme suivant est un corollaire imm´ediat de le R´esultat 1 dans le cas born´e. Th´eor`eme 1. Soit fun biholomorphisme entre deux domaines disqu´es dont l’un est pseudo-convexe et qui conserve l’origine. Alors les deux domaines sont lin´eairement ´equivalents par Df(0). Nous ignorons si ce th´eor`eme demeure vrai lorsqu’on supprime l’hypoth`ese de pseudo-convexit´e. Notons simplement que l’enveloppe d’holomorphie d’un domaine disqu´e est univalente et disqu´ee [12], ce qui permet de prolonger le biholomorphisme de d´epart en un biholomorphisme des enveloppes mais ne permet pas de conclure. 2.1. Lien avec l’indicatrice de Kobayashi. Apr´es avoir donn´e une preuve directe du r´esultat pr´ec´edent, nous avons constat´e qu’on pouvait le d´eduire ais´ement du r´esultat de Th. J. Barth [2] : R´esultat 4. L’indicatrice de Kobayashi d’un domaine disqu´e pseudoconvexe `a l’origine est le domaine lui-mˆeme. Remarque. D’apr´es ce th´eor`eme et en utilisant l’Exemple 2, on voit qu’il existe des indicatrices de Kobayashi non born´ees et sans droite vectorielle. En vue de ce qui suit, rappelons bri´evement certaines d´efinitions et r´esultats [9] : D´efinition 1. Soit Uun domaine ´etoil´e de Rn(c’est `a dire un domaine tel que si x∈U, alors tx ∈Upour tout t∈[0,1]). La jauge jUassoci´ee `a Uest une fonction positive sur Rnd´efinie par : jU(x) = inf{t > 0|x/t ∈U}. Applications Holomorphes de Domaines Disqu´ es 153 Cette fonction est semi-continue sup´erieurement (scs) et on a : U={x| jU(x)<1}. Si Uest disqu´e dans Cn, alors jU(zx) = |z|jU(x) pour tout complexe z et tout x∈Cn. La propri´et´e suivante est ´egalement d´emontr´ee dans [2]. R´esultat 5. Un domaine disqu´e de Cnest pseudo-convexe si et seulement si sa jauge est logarithmiquement plurisousharmonique (log-psh). D´efinition 2. Soit Mune vari´et´e complexe et a∈M. On note Eal’ensemble des applications holomorhes fd´efinies sur le disque unit´e et `a valeurs dans Mtelles que f(0) = a. Alors par d´efinition l’indicatrice de Kobayashi en a, not´ee Ka(M), est le sous-ensemble de l’espace tangent en adont les ´el´ements sont de la forme rf′(0) avec r∈[0,1[ et f∈Ea. On montre facilement [9] que l’indicatrice de Kobayashi en un point est un domaine disqu´e dans l’espace tangent. On a : Proposition 1. Soit fune application holomorphe d’un domaine disqu´e X`a valeurs dans un domaine disqu´e Ypseudo-convexe, et qui envoie l’origine en l’origine. Alors Df(0)(X)⊆Y. Preuve: Soit v∈X. Il existe p > 1 tel que la fonction h:z→f(zpv) soit d´efinie et holomorphe sur le disque unit´e ∆ et `a valeurs dans Y. On d´eduit que (1/p)h′(0) = Df(0)vest dans K0(Y) par d´efinition de l’indicatrice de Kobayashi. Le th´eor`eme de Barth dit que K0(Y) = Y, d’o`u le r´esultat. Preuve du Th´eor`eme 1: On sait qu’un biholomorphisme transforme domaine pseudo-convexe en domaine pseudo-convexe [6]. On applique alors la proposition pr´ec´edente au biholomorphisme et son inverse pour conclure. 2.2. Le cas de Cn. Un corollaire imm´ediat du th´eor`eme pr´ec´edent est qu’un domaine disqu´e Ybiholomorphe `a Cnest Cnlui-mˆeme. En effet, quitte `a composer par une translation de Cn, on peut supposer l’origine fix´ee. La pseudoconvexit´e de Cnpermet de conclure. Ce r´esultat qui se traduit par la non existence d’un domaine de Fatou-Bieberbach disqu´e peut ˆetre renforc´e par le th´eor`eme suivant : 154 J.-J. Loeb Th´eor`eme 2. Soit Xun domaine disqu´e dans Cn. Alors Xest n´ecessairement ´egal `a Cndans les cas suivants : 1) Il existe une application holomorphe propre de Xdans Cn. 2) Il existe une application holomorphe propre de Cndans X. 3) Xest pseudo-convexe et il existe une application holomorphe non d´eg´en´er´ee (i.e. de Jacobien non identiquement nul) de Cndans X. Avant de passer `a la preuve, nous faisons les remarques suivantes : a) Pour 1), il nous parait difficile d’affaiblir la condition de propret´e, mˆeme dans le cas n= 1 et Y= ∆. b) Le 3) peut ˆetre pris en d´efaut si Xn’est pas pseudo-convexe. On prend pour Xle compl´ementaire dans C2de l’ensemble des (0, b) avec |b| ≥ 1. L’application (x, y)→(x, xy) est une application holomorphe non d´eg´en´er´ee de C2dans X. Preuve: Le point essentiel ici est qu’il existe sur un domaine disqu´e qui n’est pas l’espace entier, une fonction log-psh (et donc psh) born´ee et non constante `a savoir la jauge. Or une telle fonction n’existe pas pour Cn(th´eor`eme de Liouville [8]). Preuve de 1): On sait que si on a une application holomorphe propre entre deux domaines de Cn, la pseudo-convexit´e d’un des domaines implique la pseudo-convexit´e de l’autre [6]. Donc Xest pseudo-convexe. Supposons Xdiff´erent de Cnet notons jla jauge de X. Soit fune application holomorphe propre de Xdans Cn. Pour tdans Cn, on pose : h(t) = maxs∈Ftj(s) o`u on note Ftla fibre de l’application fau-dessus de t. D’apr`es un th´eor`eme de Klimek [8, p. 73], la fonction hest psh sur Cn. Elle est ´evidemment born´ee. De plus, elle est non constante car jsans atteindre la valeur 1 sur Xprend des valeurs aussi proche de 1 qu’on veut. On a donc une contradiction avec le th´eor`eme de Liouville et donc X=Cn. 3) implique 2) car on a vu que Xest n´ecessairement pseudo-convexe. De plus une application holomorphe propre est non d´eg´en´er´ee. Preuve de 3): Soit fune application non d´eg´en´er´ee de Cndans Xsuppos´e distinct de Cn. La fonction j◦f(avec jjauge de X) est psh sur Cn et donc ´egale `a une constante ccomprise entre 0 et 1. Comme fest non d´eg´en´er´ee, ceci implique que jvaut csur un ouvert non vide de X. Premier cas : c= 0.La fonction j´etant log-psh et non identiquement nulle, on d´eduit que l’ensemble {j= 0}est pluripolaire et donc d’int´erieur vide. Ce cas ne peut se produire. Applications Holomorphes de Domaines Disqu´ es 155 Deuxi`eme cas : c6= 0.Alors les ensembles {j=s}avec s6= 0 forment une famille non d´enombrable d’ensembles disjoints deux `a deux et d’int´erieurs non vides comme homoth´etiques de {j=c}, ce qui est impossible. 2.3. Remarques sur le cas quasi-disqu´e. Les r´esultats du th´eor`eme pr´ec´edent restent vrais si on remplace disqu´e par quasi-disqu´e. Faisons quelques rappels : On se donne d= (d1···dn) un n-upl´e de nombres entiers strictement positifs et premiers entre eux. Pour x= (x1,...xn)∈Cnet t∈C, on pose : tdx= (td1x1,...,tdnxn). Un domaine Xdans Cnest appel´e quasi-disqu´e de type dsi pour tout x∈Xet tout tcomplexe de module au plus un, on a : tdx∈X. La jauge jXpour un quasi-disqu´e Xde type dse d´efinit de la mˆeme mani`ere que pour un disqu´e, `a savoir que pour v∈Cn, on a : jX(v) = inf{t > 0|(t−1)dv∈X}. On v´erifie que X={v|jX(v)<1}. La jauge est semi-continue sup´erieurement et on a ´egalement pour tout complexe tet tout v∈Cn:jX(tdv) = |t|jX(v). La proposition suivante g´en´eralise le th´eor`eme de Barth : Proposition 2. La jauge jXest log-psh si et seulement si Xest pseudoconvexe. Nous ne donnerons pas la preuve qui est une simple adaptation de celle donn´ee par Barth dans le cas disqu´e. La g´en´eralisation du Th´eor`eme 2 au cas quasi-disqu´e s’en d´eduit. 3. Lemme de Schwarz et applications Nous donnons ici un lemme de Schwarz dˆu `a A. Sadullaev [10]. Pour ˆetre complet, nous en donnons ici la preuve. Ce lemme permet d’´etablir certaines g´en´eralisations de le R´esultat 2 et le R´esultat 3 au cas disqu´e non born´e. Dans le cas de la dimension deux, nous arrivons `a un r´esultat presque optimal concernant le R´esultat 2. Lemme 1. Soit fune application holomorphe de ∆`a valeurs dans un domaine disqu´e Xpseudoconvexe et v´erifiant f(0) = 0. Alors on a : 1) jX◦f(z)≤ |z|. 2) Si l’in´egalit´e devient une ´egalit´e en un point z6= 0 ou si j(f′(0)) = 1, alors l’in´egalit´e pr´ec´edente devient une ´egalit´e pour tout z dans ∆et n´ecessairement on a : jX(f′(0)) = 1. Preuve: L’application f(z)/z est holomorphe sur ∆. On voit que jX(f(z)/z) = jX(f(z)) |z|est plus petit que 1/r pour |z|=r(r < 1). 156 J.-J. Loeb Le principe du maximum appliqu´e `a la fonction psh jX(f(z)/z) montre que cette fonction est plus petite que 1/r pour |z| ≤ r. En faisant tendre rvers 1, on obtient le 1). Les hypoth`eses du 2) signifient que la fonction psh jX(f(z)/z) atteint son maximum 1 en un point de ∆ donc elle est constante ce qui termine la preuve. Discussion du cas de l’´egalit´e. On suppose qu’on a l’´egalit´e dans le lemme pr´ec´edent. Deux situations se pr´esentent : a) f(z) = zf′(0) pour tout z∈∆. b) si a) n’est pas v´erifi´e, alors n´ecessairement, il existe une application holomorphe non constante hde ∆ `a valeurs dans Xtelle que j◦hsoit identiquement 1. En vue de ce qui suit,on introduit l’hypoth`ese (H) suivante : (H) Un disqu´e Xsatisfait `a (H) si pour toute application holomorphe : f:C→X(qu’on appellera application enti`ere par la suite) et v´erifiant f(0) = 0, l’image de f(qu’on appellera courbe enti`ere par la suite) est contenue dans une droite vectorielle. Le cas de la dimension deux fait l’objet de la proposition suivante : Proposition 3. Un disqu´e pseudoconvexe Xde C2et diff´erent de C2 satisfait (H). Preuve: Si fest une application enti`ere `a valeur dans X, alors par Liouville, jX◦fest constante. Si de plus f(0) = 0, alors jX◦fest identiquement nulle. Par l’homog´en´eit´e de jX, le sous-ensemble Sde C2d´efini par : S:= {af(z)|a∈C, z ∈C}est contenu dans {jX= 0}et cet ensemble est pluripolaire car on a : X6=C2et jXlog-psh. Supposons maintenant que f(C) ne soit pas contenu dans une droite complexe. En notant pla projection canonique de C2−(0) sur la droite projective, on voit que p(f(C)) est d’int´erieur non vide. Il en est alors de mˆeme de S, ce qui est contradictoire avec sa pluripolarit´e. Donc (H) est bien v´erifi´ee pour X. Par la suite, on notera de mani`ere g´en´erale pla projection canonique de Cn−(0) sur l’espace projectif Pn−1. Avant d’introduire la d´efinition principale de ce paragraphe, on fait la remarque ´el´ementaire suivante : Soit Xun domaine disqu´e de dimension n. On se donne une direction dde Cnqu’on peut voir comme ´el´ement de Pn−1, et qu’on peut ´ecrire sous la forme d=p(v). Si jX(v) est non nul, on peut quitte `a changer vsupposer que jX(v) = 1. Dans le cas oppos´e on aura jX(v) = 0 pour tout repr´esentant. On dira dans ce dernier cas que dest une direction enti`ere. Applications Holomorphes de Domaines Disqu´ es 157 D´efinition 3. Soit Xun domaine disqu´e pseudo-convexe et v´erifiant (H). On dira qu’une direction dest bonne dans les deux cas suivants : 1) dest une direction enti`ere. 2) d=p(v) avec jX(v) = 1 et il n’existe pas d’application holomorphe non constante fde ∆ dansl’ensemble {x|jX(x) = 1}avec f(0) = v. (On peut exprimer ceci en disant qu’il n’existe pas de vrai disque analytique contenu dans l’ensemble {jX= 1}et passant par v.) Exemple 3. Si Xest le bidisque ∆×∆, alors les bonnes directions sont de la forme p((u, v)) avec uet vde module 1. On donne maintenant les g´en´eralisations des R´esultats 2 et 3. Dans la proposition et le th´eor`eme qui suit, on notera Xun domaine disqu´e pseudo-convexe dans Cn. Proposition 4. Soit fune auto-application holomorphe de Xfixant l’origine. On a pour tout x∈X:jX(f(x)) ≤jX(x). De plus si Df(0)x=xpour un certain x, on a : jX(f(x)) = jX(x). En particulier, si Df(0) vaut l’idendit´e, alors l’in´egalit´e pr´ec´edente devient une ´egalit´e pour tout xdans X. Th´eor`eme 3. A) On suppose l’ensemble des bonnes directions de Xnon inclus dans un sous-ensemble alg´ebrique propre de Pn−1et que Xv´erifie (H), alors : (R2) Toute auto-application holomorphe de Xconservant l’origine et tangent `a l’idendit´e en ce point vaut l’idendit´e. (R1) Tout biholomorphisme d’un domaine disqu´e sur Xet conservant l’origine est lin´eaire. B) On suppose que Xne contient pas de droite complexe vectorielle et que toutes les directions sont bonnes, alors : (R3) L’ensemble des points fixes d’une auto-application holomorphe conservant l’origine est l’intersection de Xet du sous-espace vectoriel des points fix´es par Df(0). Remarque. Si n= 2, la condition A) signifie simplement qu’il y a un nombre infini de bonnes directions. 164 J.-J. Loeb pour nvariant dans Z. Comme la mesure mest finie, ceci implique qu’elle ne peut que charger l’ensemble {0,∞}. On est bien dans une situation exceptionnelle du premier type. 3) Il reste le cas o`u aet bsont ´egaux et de module 1, et la matrice Atriangulaire. On peut se ramener au cas a=b= 1 et on raisonne comme pour 2). Ici la mesure mest invariante par la translation z→z+ 1. Le seul point qui peut ˆetre charg´e est le point `a l’infini. On est donc `a ´equivalence lin´eaire pr`es dans le cas de C2ou dans celui de C×∆. Remerciements. Je tiens `a remercier F. Berteloot et J. P. Vigu´e pour l’int´eret qu’ils ont port´e `a ce travail ainsi que pour les encouragements qu’ils m’ont prodigu´e. Je remercie ´egalement C. T. Dinh, M. Nicolau, K. Oeljeklaus et les coll`egues de l’Universit´e de Rome pour les discussions que nous avons eues `a ce sujet. R´ef´erences [1] M. Abate,“Iteration theory of holomorphic maps on taut manifolds”, Research and Lecture Notes in Mathematics. Complex Analysis and Geometry, Mediterranean Press, Rende, 1989. [2] Th. J. Barth, The Kobayashi indicatrix at the center of a circular domain, Proc. Amer. Math. Soc. 88(3) (1983), 527–530. [3] F. Berteloot et G. Patrizio, A Cartan theorem for proper holomorphic mappings of complete circular domains, Adv. Math. 153(2) (2000), 342–352. [4] H. Cartan, Les fonctions de deux variables complexes et le probl`eme de la repr´esentation analytique, J. Math. Pures Appl., 9e serie 10 (1931), 1–114. [5] J. E. Fornæss et N. Sibony, Complex dynamics in higher dimensions, Notes partially written by Estela A. 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