Spectre negatif d'un operateur elliptique avec des conditions au bords de Robin

Publ. Mat. 45 (2001), 125–148 SPECTRE NEGATIF D’UN OPERATEUR ELLIPTIQUE AVEC DES CONDITIONS AU BORDS DE ROBIN Yu. V. Egorov and M. El Aidi Abstract In this article we discuss some estimates of the number of the negative eigenvalues and their moments of energy for an elliptic operator L=L0−V(x) defined in Hm(Rn +) with the Robin boundary conditions containing a potential W(x), in terms of some integrals of Vand W. 1. Estimation du sp`ectre n´egatif Soit L0un op´erateur positif elliptique d’ordre 2m,m≥1, sym´etrique, et Vun potentiel r´eel, d´efini dans Rn. Consid´erons l’op´erateur L= L0−V(x), d´efini dans Hm(Rn +), avec les conditions au bord de Robin. Le spectre de Lpeut contenir des valeurs propres n´egatives, mais sous certaines conditions leur nombre Nest fini. Notre but est de trouver ces conditions et d’estimer ce nombre. On consid`ere dans l’espace Rn +={x=(x,x n)∈Rn−1×R+}un op´erateur L0sym´etrique positif d’ordre 2mtel que L0u= |α|≤m, |β|≤m Dα(aαβ(x)Dβu), o`u les aαβ sont des fonctions mesurables. Nous allons utilis´e l’espace Hm(Rn +), un compl´et´edeC∞ 0(Rn) pour la norme ||u||2 Hm(Rn +)={xn>0} |u(x)|2dx +{xn>0} |β|=m |Dβu(x)|2dx. 126 Yu. V. Egorov, M. El Aidi Notons (·,·) le produit scalaire dans L2(Rn +). Pour u, v ∈C∞(Rn +)ona (L0u, v)={xn>0} |α|≤m, |β|≤m Dα(aαβ(x)Dβu(x))v(x)dx ={xn>0} |α|≤m, |β|≤m (−1)|α|aαβ(x)Dβu(x)Dαv(x)dx −{xn=0} m−1  r=0 ∂rv(x) ∂xr n Lr,m(u)dx. Lr,m :=  |α|≤2m−1−r brαDα,b rα ∈C∞(∂Rn +).(1.1) Supposons que (1.2) {xn>0} |α|≤m, |β|≤m (−1)|α|aαβ(x)Dβu(x)Dαu(x)dx ≥a0{xn>0} |β|=m |Dβu(x)|2dx, pour tout u∈Hm(Rn +), o`u a0est une constante strictement positive (par exemple pour l’op´erateur −∆d´efini dans H1 0(Ω) avec Ω un domaine de Rn,onaa0= 1). Soit L=L0−V(x). Nous consid´erons le syst`eme suivant:          Lu(x)=λu(x) pour xn>0, L0,m(u(x)) −W(x)u(x)=0 pourxn=0, ∂u ∂xn =∂2u ∂x2 n =···=∂m−1u ∂xm−1 n = 0 pour xn=0, (∗) l’op´erateur L0,m ´etait d´efini dans (1.1). Le r´esultat principal de cette section est le th´eor`eme suivant. Th´eor`eme 1.1. Soit n>2m,q≥n 2m>1,q1≥n−1 2m−1,W∈Lq1(Rn−1), V∈Lq(Rn +)avec V(x)=0,W(x)=0si |x|>Rpour un R>0. Alors le nombre de valeurs propres n´egatives du syst`eme (∗)v´erifie l’estimation suivante: N≤C1{xn>0} Vq(x)|x|2mq−ndx+C2{xn=0} Wq1(x)|x|(2m−1)q1−n+1dx. On ´enonce deux lemmes cruciaux pour l’estimation du nombre de valeurs propres n´egatives des op´erateurs elliptiques. Spectre Negatif d’un Operateur Elliptique 127 Lemme 1.1 (G. V. Rozenblyum).Soit Qun cube dans Rnet fune fonction positive mesurable dans Q, telle que Qf(x)dx =1. Alors pour tout ε>0, le cube Qpeut ˆetre recouvert par une r´eunion d´enombrable finie de cubes ferm´es Qj,1≤j≤Mdont les arˆetes sont paralleles aux arˆetes de Qet tels que Qj f(x)dx ≤2nε;M≤4nε−1. On peut trouver la d´emonstration de ce dernier lemme dans [3, p. 294]. Lemme 1.2 (I. M. Glazman [4]).Soit Aun op´erateur auto-adjoint d´efini dans un espace de Hilbert H. Soit λ0un nombre r´eel fix´e, Ela projection spectrale associ´ee `a A. Alors la dimension de E(] −∞,λ 0[)H est finie si et seulement si il existe deux sous-espaces vectoriels Fet G de Htels que dim G<+∞,Hest somme directe orthogonale de Fet de G,et (Af −λ0f,f)≥0pour f∈F∩D(A), o`u(,)est le produit scalaire de H,etD(A)est le domaine de d´efinition de A. Donc le nombre de valeurs propres de Aqui sont inf´erieures `a λ0, ne d´epasse pas dim G. La d´emonstration du Th´eor`eme 1.1, se fera en deux ´etapes. Premi`ere partie de la d´emonstration du Th´eor`eme 1.1: A partir du syst`eme (∗) et par application de la formule de Green g´en´eralis´ee on a (L0u, u)={xn>0} |α|≤m, |β|≤m (−1)|α|aαβ(x)Dβu(x)Dαu(x)dx −{xn=0} u(x)L0,m(u(x))dx −{xn=0} m−1  r=1 ∂ru ∂xr n Lr,m(u)dx ={xn>0} |α|≤m, |β|≤m (−1)|α|aαβ(x)Dβu(x)Dαu(x)dx −{xn=0} W(x)u2(x)dx =λ{xn>0} u2(x)dx +{xn>0} V(x)u2(x)dx. (1.3) 128 Yu. V. Egorov, M. El Aidi La derni`ere ´egalit´e nous donne λ=S {xn>0}u2(x)dx, o`u S={xn>0} |α≤m, |β|≤m (−1)|α|aαβ(x)Dβu(x)Dαu(x)dx −{xn>0} V(x)u2(x)dx −{xn=0} W(x)u2(x)dx. Par application du lemme de Glazmann et l’hypoth`ese (1.2), on a N= N1+N2,o`uN1est la codimension du sous-espace de Hm(Rn +) des fonctions utelles que {xn>0} V(x)u2(x)dx ≤C1{xn>0} |β|=m |Dβu(x)|2dx(1.4) et N2est la codimension du sous-espace de Hm(Rn +) des fonctions u telles que {xn=0} W(x)u2(x)dx≤C2{xn>0} |β|=m |Dβu(x)|2dx,(1.5) o`uC1+C2=a0. N1co¨ıncide avec le nombre des valeurs propres de l’op´erateur L0−V d´efini dans Hm 0(Rn +). Dans [1] Egorov et Kondratiev ont d´emontr´e que N1admet la majoration suivante: N1≤c(n, m)Rn + V(x)q|x|2mq−ndx, q ≥n 2m>1. L’estimation du nombre N2figurera dans la deuxi`eme partie de la d´emonstration du Th´eor`eme 1.1. Pour ce faire on a besoin du th´eor`eme suivant Th´eor`eme 1.2. On a (1.6) xn=0 |u(x)|2p|x|−n+1+p(n−2m)dx1/p ≤C{xn>0} |β|=m |Dβu(x)|2dx, pour tout u∈Hm(Rn +), avec les conditions 1≤p≤n−1 n−2m,n>2m, m≥1. Spectre Negatif d’un Operateur Elliptique 129 Pour d´emontrer ce th´eor`eme, on a besoin du lemme suivant (voir [1] ou [3, p. 278]). Lemme 1.3. Soit u∈C2m 0(Rn),(r, ω)des coordonn´es sph´eriques dans Rn,|ω|=1,{φj}syst`eme complet orthogonal de fonctions sph´eriques dans L2(Sn−1), c’est `a dire Sn−1 φi(ω)φj(ω)dω =δij,i,j∈N, et u(x)= ∞  j=0 Rj(r)φj(ω). Alors on a Rn (−∆)mu(x)u(x)dx = ∞  j=0 R Lj(Dt)Tj(t)Tj(t)dt o`ur=et,Dt=d/dt,Tj(t)=Rj(r)r(n−2m)/2et Ljest un op´erateur diff´erentiel positif d’ordre 2m`a coefficients constants de polynˆome caract´eristique Lj(iλ)= m−1  l=0 [λ2+(k−m+n/2+2l)2]= m−1  l=0 c(j) lλ2l,i2=−1.(1.7) La valeur de k=k(j)dans la formule provient de la relation µj= −k(k+n−2),o`uµjest la jieme valeur propre de l’op´erateur LaplaceBeltrami Lω, associ´ee `a la fonction propre φj. Le lemme qui suit est d´emontr´e dans [3, p. 281], ici nous donnerons une esquise de la d´emonstration. Lemme 1.4. Soit p≥1,Ljl’op´erateur diff´erentiel d´efini dans le lemme pr´ec´edent. Si k(j)≥m+1−n/2ou nimpair alors l’in´egalit´e R |u(t)|2pdt1/p ≤bp[k(j)]1−1/p−2mR Lj(Dt)u(t)u(t)dt,(1.8) est vraie pour toute fonction u∈C∞ 0(R). D´emonstration: Le coefficient principal de Ljest ´egal `a(−1)m.Par cons´equent on a la minoration suivante R Lj(Dt)u(t)u(t)dt ≥R ((−1)mD2m t+a0 j)u(t)u(t)dt,(1.9) 130 Yu. V. Egorov, M. El Aidi avec a0 j= m−1  l=0 (k−m+n/2+2l)2.Sinest impair alors on a a0 j≥ d0[k(j)]2m,d0>1, et si nest pair et k(j)≥m+1−n/2, on obtient aussi a0 j≥d0[k(j)]2m. D’apr`es [1] on a l’in´egalit´e suivante: R |u(t)|2pdt1/p ≤bpR (|u(m)(t)|2+d0|u(t)|2)dt, vraie pour tout u∈C∞ 0(R), p≥1et bp= sup u∈C∞ 0(R)R|u(t)|2pdt1/p R(|u(m)(t)|2+d0|u(t)|2)dt. Par cons´equent `a partir de cette derni`ere in´egalit´e, on effectue le changement de variable t1=k(j)t R |u1(t)|2pdt1/p ≤bp[k(j)]−2m−1/p+1 R (|u(m) 1(t)|2+a0 j|u1(t)|2)dt ≤bp[k(j)]−2m−1/p+1 R Lj(Dt)u1(t)u1(t)dt, (1.10) d’o`u le Lemme 1.4. D´emonstration du Th´eor`eme 1.2: On prend ptel que n−1−p(n−2m)≥ 1. On a {xn=0} |u(x,0)|2p|x|−n+1−p(n−2m)dx ={xn=0} [|u(x,0)|2|x|1−2m n−1−p(n−2m) 2m−1|u(x,0)|2(n−1) n−2m(p−1)(n−2m) 2m−1]dx ≤{xn=0} |u(x)|2|x|1−2mdx n−1−p(n−2m) 2m−1 ×{xn=0} |u(x)|2(n−1) n−2mdx(p−1)(n−2m) 2m−1 . La derni`ere in´egalit´e est dˆue `aH¨older avec les exposants 2m−1 n−1−p(n−2m)et 2m−1 (p−1)(n−2m). Spectre Negatif d’un Operateur Elliptique 131 D’apr`es le th´eor`eme d’injection de Sobolev on a {xn=0} |u(x,0)|2(n−1) n−2mdxn−2m n−1 ≤C{xn>0} |β|=m |Dβu(x)|2dx. Il reste `a prouver que {xn=0} |u(x,0)|2|x|1−2mdx≤C{xn>0} |β|=m |Dβu(x)|2dx.(1.11) Pour cela, on passe aux coordonn´ees sph´eriques x=r.ω,eton´ecrit u(r, ω) sous la forme d’une s´erie u(x)= ∞  j=0 Rj(r)φj(ω), o`uRj(r)φj(ω) est la projection orthogonale de la fonction usur le sousespace propre de L2(Rn +), associ´e`a l’op´erateur de Laplace-Beltrami Lω et correspondant `a la valeur propre −j(j+n−2). Posons de nouveaux r=et,Tj(t)=Rj(r)rn 2−m. Alors {xn=0} |u(x,0)|2|x|1−2mdx =+∞ 0{|ω|=1,ω n=0} ∞  j=1 Rjφj 2 r1−2m+n−2drdω ≤∞ 0{|ω|=1,ω n=0} ∞  j=1 R2 jφ2 jr−2m+n−1drdω ≤{|ω|=1,ω n=0} ∞  j=1 φ2 jdωR |Tj(t)|2dt. (1.12) On applique le th´eor`eme d’injection de Sobolev entre l’espace de Sobolev W1 2(Sn−1 +), qie est le compl´et´e de l’espace C∞(Sn−1) pour la norme ||φ||2 W1 2(Sn−1 +)={ω∈Sn−1 +} |∇ωφ(ω)|2dω +{ω∈Sn−1 +} φ2(ω)dω, 132 Yu. V. Egorov, M. El Aidi et l’espace L2({ω∈Sn−1,ω n=0}) muni de sa norme habituelle. On rappelle que Sn−1 + |∇ωφj|2dω =−Sn−1 + Lωφj(ω)φj(ω)dω =j(j+n−2) Sn−1 + φ2 j(ω)dω ≤Cj2. Par cons´equent pour chaque jon obtient {ω∈Sn−1,ω n=0} φ2 j(ω,0)dω ≤C{ω∈Sn−1 +} |∇ωφj(ω)|2dω +{ω∈Sn−1 +} φ2 j(ω)dω ≤C{ω∈Sn−1 +} |∇ωφj(ω)|2dω +1  ≤C(j2+1). (1.13) D’apr`es le Lemme 1.4 avec p= 1 on a R |Tj(t)|2dt ≤b1j−2mR Lj(Dt)Tj(t)Tj(t)dt,(1.14) ainsi on a {ω∈Sn−1,ω n=0} ∞  j=1 φ2 j(ω,0)dωR |Tj(t)|2dt ≤C ∞  j=1 R Lj(Dt)Tj(t)Tj(t)dt ≤C{xn>0} |β|=m |Dβu(x)|2dx. Ainsi on a prouv´e (1.11), ce qui ach`eve la d´emonstration du Th´eor`eme 1.2. Spectre Negatif d’un Operateur Elliptique 133 Corollaire 1.1. Soit Q(δ)un cube dans Rn, d’arˆete δ, tel que ses arˆetes soient parall`eles aux axes de coordonn´ees de Rnet Q0(δ)=Q(δ)∩{xn= 0}le cube dans Rn−1d’arˆete δdans, Q+(δ)=Q(δ)∩{xn>0}. Il existe une constante Cqui d´epend de p,n, tel que pour toute fonction u∈ C∞(Q(δ)) satisfaisant Q+(δ) Dαu(x)dx =0pour |α|≤m−1,(1.15) on ait (1.16) Q0(δ) |u(x)|2p|x|−n+1+p(n−2m)dx1 p ≤CQ+(δ) |α|=m |Dαu(x)|2dx, avec n>2met 1≤p≤n−1 n−2m. D´emonstration: La d´emonstration d´ecoule du Th´eor`eme 1.2. En effet, posons J(u, Q0(δ)) := Q0(δ) |u(x)|2p|x|−n+1+p(n−2m)dx1 p , prolongeons ucomme fonction continue dans le cube Qd’arˆete 2δhomoth´etique au cube Q+(δ)). Ici on peut supposer que Q |α|≤m δ2|α|−2|Dαu(x)|2dx≤c0Q(δ) |α|≤m δ2|α|−2|Dαu(x)|2dx,(1.17) avec c0=c0(n). D´efinissons la fonction h∈C∞ 0(Q) de telle mani`ere que h(x)=1 pour x∈Q+(δ), et |Dαh(x)|≤Cδ−|α|pour |α|≤m.Ona Q |α|≤m δ2|α|−2|Dα(h(x)u(x)|2dx ≤cQ+(δ) |α|≤m |Dαu(x)|2dx. Maintenant, on applique l’in´egalit´e de Poincar´eg´en´eralis´ee Q+(δ) |α|≤m δ2|α|−2|Dαu(x)|2dx ≤c Q+(δ) |α|=m |Dαu(x)|2dx, qui est vraie si Q+(δ) Dαu(x)dx =0,|α|≤m−1. 140 Yu. V. Egorov, M. El Aidi pour la fonction mesurable positive f(x)=I−1Wq1 α(x)|x−x 0|s(q1−1), avec I=α−q1+(np1+s+1−n)(q1−1)/2mQ Wα(x)q1|x−x 0|s(q1−1)dx. Pour tout ε>0, qui sera d´etermin´e plus tard, il existe un recouvrement fini de cubes (Qj)1≤j≤Nd’arˆetes parall`eles aux axes des coordonn´ees de Rn−1, avec |Qj|1 n−1=δj, tel que Qj Wq1 α(x)|x−x 0|s(q1−1)dx≤εαq1−(np1+s+1−n)(q1−1)/2mI.(2.5) Maintenant on compare l’arˆete δjdu cube Qj, avec le nombre α.Ona trois possibilit´es: 1) Si 2α−1/2m≥δj≥α−1/2m, alors δ−2m j≤α. Par cons´equent, l’in´egalit´e (2.3) devient (2.6) Qj |u(x)|2p1 |x−x 0|sdx1/p1 ≤C0α−1+(np1−n+1+s)/2mp1 Q+ j |β|=m |Dβu(x)|2dx+αQ+ j u(x)2dx . Cette collection de cubes sera nomm´ee K1. 2) Si δj≥2α−1/2m, on peut effectuer un d´ecoupage du cube Qj,etle repr´esenter comme une r´eunion de cubes Q jk d’arˆete δ jk telles que 2α−1/2m≥δ j,k ≥α−1/2m. On notera K2cette collection de cubes. Spectre Negatif d’un Operateur Elliptique 141 Par cons´equent Qj |u(x)|2p1 |x−x 0|sdx1/p1 ≤ nj  k=1 Q jk |u(x)|2p |x−x 0|sdx = nj  k=1 C0α−1+(np1+1+s−n)/2mp1 × Q+ jk  |β|=m |Dβu(x)|2dx+α Q+ jk u(x)2dx  ≤C0α−1+(np1+1+s−n)/2mp1 × Q+ j |β|=m |Dβu(x)|2dx+α Q+ j u(x)2dx . (2.7) 3) Si δj≤α−1/2mon suppose que la condition Q+ j Dβu(x)dx =0,0≤|β|≤m−1 soit v´erifi´ee. Sous cette condition, par application de l’in´egalit´e de Poincar´eg´en´eralis´ee, l’in´egalit´e (2.6) devient (2.8) Qj |u(x)|2p1 |x−x 0|sdx1/p1 ≤C0α−1+(np1+1+s−n)/2mp1Q+ j |β|=m |Dβu(x)|2dx. Cette collection de cubes est not´ee K3. 142 Yu. V. Egorov, M. El Aidi En utilisant successivement (2.5), et par application des trois cas cidessus, on obtient {xn=0} Wα(x)u(x)2dx ≤ N  j=1 Qj Wα(x)u(x)2dx ≤ N  j=1 Qj |u(x)|2p1 |x−x 0|sdx1/p1 ×Qj Wq1 α(x)|x−x 0|s(q1−1)dx1/q1 ≤α1−(np1−n+s+1)/2mp1(εI)1/q1  Qj∈K1Qj |u(x)|2p1 |x−x 0|sdx1/p1 + Qj∈K2 nj  k2=1 Qjk2 |u(x)|2p1 |x−x 0|sdx1/p1 + Qj∈K3Qj |u(x)|2p1 |x−x 0|sdx1/p1  ≤C(n)(εI)1/q1 Qj∈K1 Q+ j |β|=m |Dβu(x)|2dx+αQ+ j u(x)2dx  +C2(n)(εI)1/q1 Qj∈K2 Q+ j |β|=m |Dβu(x)|2dx+αQ+ j u(x)2dx  +C3(n)(εI)1/q1 Qj∈K3Q+ j |β|=m |Dβu(x)|2dx ≤C n(εI)1/q1 {xn>0} |β|=m |Dβu(x)|2dx +α{xn>0} u2(x)dx . (2.9) Spectre Negatif d’un Operateur Elliptique 143 Rappelons que l’in´egalit´e (2.8) est v´erifi´ee sous la condition suppl´ementaire Q+ j Dβu(x)dx =0,0≤|β|≤m−1.(2.10) Donc si on a C n(εI)1/q1= min(C2,1),C 1+C2=a0,(2.11) alors l’in´egalit´e {xn=0} Wα(x)u(x)2dx ≤a0{xn>0} |β|=m |Dβu(x)|2dx +α{xn>0} u2(x)dx est v´erifi´ee si les conditions (2.10) (qui sont en nombre finies) sont satisfaites. Par cons´equent le nombre N2αne d´epasse pas le nombre de conditions ´enonc´ees dans (2.10), c’est `a dire N2α≤Cε−1 ≤Cα−q1+(np1+s+1−n)(q1−1)/2m{xn=0} Wα(x)q1|x−x 0|s(q1−1)dx. Les constantes C,Cd´ependent de n,m,s. Remarquons que r1:= s(q1−1) <(n−1)(q1−1). A partir de la relation (2.4) on obtient 0≤r1<(2m−1)q1−(n−1), d’o`u le Lemme 2.1. D´emonstration du Th´eor`eme 2.1: D’apr`es les hypoth`eses, on a γ+(n+r2)/2m>1+r2/n et γ+(n+r1)/2m>1. 144 Yu. V. Egorov, M. El Aidi En tenant compte des conditions du Lemme 2.1, il existe q1>1etq2>1 tels que γ+(n−1+r1)/2m>q 1(1 −1/2m)(2.12) et γ+(n+r2)/2m>q 2>1+r2/n. Par cons´equent, en appliquant le Lemme 2.1 on a Sγ≤Cn,m,r2∞ 0 αγ−1−q1+(q1+n−1+r1)/2m {xn=0} Wα(x)q1|x−x 0|r1dxdα +Cn,m,r1∞ 0 αγ−1−q2+(n+r2)/2mRn + Vα(x)q2|x−x0|r2dxdα. On a la majoration suivante: (2.13) Rn + |x−x0|r2V(x)q2dx ×V(x) 0 αγ−1−q2+(n+r2)/2mdα ≤cRn + |x−x0|r2V(x)γ+n/2m+r2/2mdx. On a utilis´e le fait que γ−1+(n+r2)/2m−q2>−1. Il reste `a majorer l’int´egrale ∞ 0 αγ−1−q1+(q1+n−1+r1)/2m{xn=0} Wα(x)q1|x−x 0|r1dxdα ={xn=0} |x−x 0|r1Wq1(x)dxW(x) 0 αγ−1−q1+(q1+n−1+r1)/2mdα ≤C2{xn=0} |x−x 0|r1Wγ+(q1+n−1+r1)/2m(x)dx. (2.14) La derni`ere in´egalit´e est dˆue au fait que γ−1+(1−2m 2m)q1+n−1+r1 2m>−1,κ=q1−1, d’apr`es (2.12). Par cons´equent, l’int´egrale en αest convergente. A partir des derni`eres majorations, le Th´eor`eme 2.1 est d´emontr´e. Spectre Negatif d’un Operateur Elliptique 145 Que peut-on dire dans le cas o`u n≤2m? C’est `a dire peut-on donner une estimation de Sγpour L0−V, avec les mˆemes conditions au bord que pour le syst`eme (∗)? Dans le cas, o`u γ+(n+r1)/2m<1+r1/n ou γ+(n+r2)/2m<1+r2/n, on ne peut pas donner une estimation de la somme finie Sγpour le syst`eme (∗), comme le prouve le contre-exemple ci-dessous. On prendra V(x)=0et W(x)=       δ2ms1,si 0 <|x−x 0|<δ 2m, |x−x 0|s1,si δ2m<|x−x 0|< δ, 0,si δ<|x−x 0|, o`u 1−n>s 1>−2mr1+n−1 2mγ +n+r1+κ,κ>0. Un tel nombre existe si (2mγ +n+r1)(n−1) <2m(r1+n−1), i.e. γ+n+r1 2m<r1+n−1 n−1. Nous avons {xn=0} W(x)dx=|x−x 0|<δ2m W(x)dx +δ2m<|x−x 0|<δ W(x)dx =|x−x 0|<δ2m δ2ms1dx +δ2m<|x−x 0|<δ |x−x 0|s1dx≥Cδ2m(n+s1−1). (2.15) 146 Yu. V. Egorov, M. El Aidi Donc lim δ→0{xn=0} W(x)dx=+∞.(2.16) Montrons que {xn=0} |x−x 0|r1W(x)γ+(n+κ+r1)/2mdx< ε,(2.17) lorsque δest suffisamment petit. En effet, {xn=0} |x−x 0|r1W(x)(n+κ+r1)/2m+γdx =|x−x 0|<δ2m |x−x 0|r1δ(n+κ+r1)s1+2ms1γdx +δ2m<|x−x 0|<δ |x−x 0|r1+s1[(r1+n+κ)/2m+γ]dx ≤C3δ2m(r1+n−1)+s1(n+κ+r1)+2ms1γ +C4δn−1+r1+s1[(n+κ+r1)/2m+γ]. (2.18) Par cons´equent lorsque δest au voisinage de 0 on a bien (2.17). La premi`ere valeur propre n´egative du syst`eme (∗) s’exprime de la fa¸con suivante: λ1= inf u∈Hm(Rn +) ×   {xn>0} |α|≤m, |β|≤m (−1)|α|aαβ(x)Dβu(x)Dαu(x)dx −{xn=0} W(x)u2(x)dx/{xn>0} u2(x)dx    . (2.19) Donc (2.20) λ1≤{xn>0} |α|≤m, |β|≤m (−1)|α|aαβ(x)Dβu0(x)Dαu0(x)dx −{xn=0} W(x)u2 0(x)dx, Spectre Negatif d’un Operateur Elliptique 147 o`uu0est une fonction de classe C∞,´egale `a 1 dans |x−x0|<1/4, qui s’annule quand |x|>1 et qui v´erifie {xn>0}u2 0(x)dx = 1. Or pour δ proche de 0, d’apr`es (2.16) l’integrale {xn=0} W(x)u2 0(x)dx=Rn−1 W(x)dx tend vers +∞, et donc λ1→−∞. Donc, le moment d’´energie du syst`eme (∗), Sγtend vers +∞lorsque δ tend vers z´ero. Si n+r2 2m+γ=1+r2 nou n+r1 2m+γ=1+r1 n, toujours on ne peut pas estimer la somme finie Sγ. Dans cette situation on sugg`ere le contre exemple suivant, on prend encore V=0etWd´efini par W(x)=|x−x 0|−n+1 ln( 1 |x−x 0|)pour δ<|x−x 0|<1 ln(1 δ)et W(x)= δ1−n ln(1 δ) si δ>|x−x 0|. En suivant la mˆeme d´emarche que pr´ec´edemment on montre que Sγtend vers +∞lorsque δtend vers z´ero. R´ef´erences [1] Yu. V. Egorov et V. A. Kondratiev, Estimates of the negative spectrum of an elliptic operator, in “Spectral theory of operators” (Novgorod, 1989), Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2 150, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992, pp. 111–140. [2] Yu. V. Egorov et V. A. Kondratiev, On moments of negative eigenvalues of an elliptic operator, in “Partial differential operators and mathematical physics” (Holzhau, 1994), Oper. Theory Adv. Appl. 78, Birkh¨auser, Basel, 1995, pp. 119–126. [3] Yu. Egorov et V. Kondratiev,“On spectral theory of elliptic operators”, Operator Theory: Advances and Applications 89, Birkh¨auser Verlag, Basel, 1996. [4] I. M. Glazman,“Direct methods of qualitative spectral analysis of singular differential operators”, Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem, 1965. [5] E. H. Lieb, The stability of matter, Rev. Modern Phys. 48(4) (1976), 553–569. [6] E. H. Lieb et W. Thirring, Inequalities for the moments of the Schr¨odinger Hamiltonians and their relation to Sobolev inequalities, Studies in Math. Physics: Essays in honor of V. Bargmann, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ. [7] D. Ruelle, Large volume limit of the distribution of characteristic exponents in turbulence, Comm. Math. Phys. 87(2) (1982/83), 287–302. 148 Yu. V. Egorov, M. El Aidi Yu. V. Egorov: Laboratoire MIP UFR MIG 118 route de Narbonne 31062 Toulouse Cedex France E-mail address:[email protected] M. El a¨ıdi: Erwin Schr¨odinger Institut Boltzmanngasse 9 A-1090 Wien Autriche E-mail address:[email protected] Primera versi´o rebuda el 18 de febrer de 2000, darrera versi´o rebuda el 19 d’octubre de 2000.