Sur certaines relations entre les intégrales trajectorielles et l'opérateur de translation et son dual dans l'espace de Poisson canonique

Publicacions Matem`atiques, Vol. 44 (2000), 325–337 SUR CERTAINES RELATIONS ENTRE LES INT´ EGRALES TRAJECTORIELLES ET L’OP´ ERATEUR DE TRANSLATION ET SON DUAL DANS L’ESPACE DE POISSON CANONIQUE Jorge A. Le´ on, Josep L. Sol´ e et Josep Vives Abstract We study the relationship between the translation operator, its dual and the pathwise integral on the Poisson space with weak conditions on the processes. 1. Introduction Le calcul stochastique associ´e au processus de Poisson a interess´ede nombreux auteurs. Se placer dans l’espace canonique de Poisson permet de faire des d´emonstrations trajectorielles directes (voir [Ne], [N-V-2]). Nualart et Vives [N-V-1], [N-V-2] ont introduit l’op´erateur de translation Ψ et son dual, l’op´erateur Φ, qui ont de tr`es bonnes propri´et´es, mais ils travaillent dans un cadre L2qui n’est peut-ˆetre pas compl`etement appropri´e. Dans la section 2 nous rappellons tous ces concepts, et pr´esentons quatre lemmes sur les op´erateurs Φ et Ψ dont nous aurons besoin plus tard. La section 3 est consacr´ee `a la relation entre ces op´erateurs et les int´egrales trajectorielles dans un cadre g´en´eral, mais pour l’´etablir on a besoin de fixer une version concr`ete du processus et des conditions d’int´egrabilit´e. La formule `a laquelle nous arrivons g´en´eralise dans le cas Poisson (c’est `a dire avec φ=1,o`uφest le processus qui apparaˆıt dans l’´equation de structure), une expression bien connue pour les probabilistes quantiques (Prop. 18 de Biane [B]). The authors have been supported by DGICYT, grant PB93-0052, PB96-1182, and CIRIT, grant 97-SGR00144. Also, the first author has been partially supported by CONACyT. 326 J. A. Le´ on, J. L. Sol´ e, J. Vives En outre, cette formule et la relation entre l’int´egrale δ, d´efinie `a partir de la d´ecomposition chaotique, et l’op´erateur Φ dans L2[N-V-2], nous permettent de pr´eciser et de prouver aisement un th´eor`eme de NualartVives [N-V-1], qui lie cette int´egrale δavec l’int´egrale trajectorielle, publi´e dans le S´eminaire de Probabilit´es XXIV. Dans la section 4 on consid`ere les int´egrales progressive et r´etrograde dans le cas Poissonnien en un sens trajectoriel, et on donne un point de vue diff´erent sur la formule trouv´ee `a la section pr´ec´edente, pour des processus c`adl`ag avec certaines hypoth`eses suppl´ementaires. Notre int´erˆet pour les int´egrales r´etrogrades et progressives est motiv´e par le bien connu probl`eme des ´equations int´egrales au sens trajectoriel conduites par un processus de Poisson, qui n’ont pas de solution si l’int´egrale est r´etrograde, et qui en ont si elle est progressive. 2. Le calcul stochastique sur l’espace de Poisson canonique Consid´erons l’intervalle T=[0,1] avec sa tribu borelienne Bet la mesure de Lebesgue λ. On d´efinit Ω = ∞ n=0[0,1]n, espace de toutes les suites finies de points de [0,1], avec [0,1]0:= {e}o`ueest un point arbitraire. Soit Fla tribu {G⊆Ω:G∩[0,1]n∈B ⊗n,pour tout n≥1}. Finalement, soit λnla mesure produit sur [0,1]n, pour n≥1et λ0=δe. Sur (Ω,F)onpeutd´efinir la mesure de probabilit´e suivante: P(G)= ∞  n=0 e−1 n!λn(G∩[0,1]n). Soit Mp([0,1]) l’espace des mesures ponctuelles finies sur [0,1], et Mp([0,1]) la tribu engendr´ee par les applications m→m(F), avec F∈B et m∈Mp([0,1]). Il est bien connu (voir [Ne], [N-V-1]) que l’application N:Ω−→ Mp([0,1]) d´efinie par N(ω):=       0,si ω=e n  i=1 δsi,si ω=(s1,... ,s n) est un processus de Poisson qui a les propri´et´es suivantes: Certaines relations dans l’espace de Poisson 327 (1) Pour chaque bor´elien Bde [0,1], la variable al´eatoire N(B)d´efinie par N(B)(ω)=N(ω)(B) a une distribution de Poisson de moyenne λ(B). (2) Les variables al´eatoires N(B1),... ,N(Bn) sont ind´ependantes si B1,... ,B nsont des bor´eliens disjoints. De plus, si B⊗n Sest la sous-tribu des bor´eliens sym´etriques de [0,1]n, on peut d´efinir la tribu FS, associ´ee `a Ω, des G∈Ftels que G∩[0,1]n∈ B⊗n Spour n≥1. On a aussi que N−1(Mp)=FS. Dans la suite on travaillera sur (Ω,FS,P), c’est `a dire sur l’espace de Poisson canonique sur ([0,1],B,λ). Denotons par ˜ N={Ns−s, s ∈[0,1]}, le processus de Poisson compens´e, o`uNs=N([0,s]). Remarque 2.1.Dans l’espace de Poisson canonique, Ω∗= ∞  n=0 {(s1,... ,s n):0=s1=···=sn=1}∪{e} est un ensemble sym´etrique de FSqui a probabilit´e 1. Donc on ne consid´erera que des suites de ce type. Notons que si Fest une variable al´eatoire FS-mesurable, il suffit de d´efinir F(e)etF(s1,... ,s n) pour 0 <s 1<···<s n<1 et puis, comme cons´equence de la mesurabilit´eona F(sσ(1),... ,s σ(n))=F(s1,... ,s n) pour toute permutation σ. Remarque 2.2.La suite {s1,... ,s n}avec 0 <s 1<··· <s n<1 peut s’interpr´eter comme la suite des temps de saut du processus de Poisson et erepr´esente la trajectoire sans saut. Suivant [N-V-1] nous allons d´efinir un couple d’op´erateurs qui permettent de construire un calcul dans ce contexte. Si ω∈Ω, nous definissons ω+δt=(s1,...,s n,t),si ω=(s1,... ,s n) (t),si ω=e. Soit Fune variable al´eatoire FS-mesurable. On d´efinit l’op´erateur Ψ comme ΨtF(ω)=F(ω+δt)−F(ω), p.s. Notons que l’op´erateur Ψ est bien d´efini par le lemme suivant [L-R-T]. Lemme 2.3. Soit Aun ensemble mesurable de probabilit´e 1. Alors (A−{e})×{t}⊂Apour presque tout ω∈(A−{e})pour presque tout t∈T. 328 J. A. Le´ on, J. L. Sol´ e, J. Vives Soit par ailleurs u={us,s∈[0,1]}un processus stochastique mesurable avec trajectoires dans L1([0,1]), p.s. On d´efinit (Φ(u))(s1,... ,s n)= n  j=1 usj(s1,... ,ˆsj,... ,s n)−1 0 us(s1,... ,s n)ds, pour n≥2, o`u le chapeau veut dire que l’on omet sj, et (Φ(u))(s1)=us1(e)−1 0 us(s1)ds (Φ(u))(e)=−1 0 us(e)ds. Une adaptation du lemme pr´ec´edent o`u l’on enl`eve tau lieu de l’ajouter nous montre que l’op´erateur Φ est ´egalement bien d´efini. Alors, Ψ : L0(Ω) →L0(Ω ×[0,1]) et Φ : L0(Ω,L 1([0,1])) →L0(Ω) sont des op´erateurs duaux. Si E1 0 |F·ut|dt < ∞, on a F·Φ(u)∈L1(Ω) si et seulement si E1 0 |ΨtF·ut|dt < ∞, et dans ce cas E[F·Φ(u)] = E1 0 ΨtF·utdt (voir [N-V-1]). Il est connu aussi que Φ co¨ıncide avec l’int´egrale trajectorielle sur les processus pr´evisibles, par rapport au processus de Poisson compens´e ˜ Nt=Nt−t. Nous pr´esentons dans la suite quelques r´esultats dont nous aurons besoin dans les sections suivantes. Le premier et le second lemme se trouvent dans Le´on, Ruiz et Tudor (voir [L-R-T]). Le premier est un th´eor`eme de Fubini anticipatif: Lemme 2.4. Soit uun processus mesurable dans L1([0,1]2)ω-p.s. tel que Φ(u(s, ·)) ∈L1([0,1]) ω-p.s. Alors 1 0 Φ(u(s, ·)) ds =Φ1 0 u(s, ·)ds,ω-p.s. Le second lemme est une cons´equence de la d´efinition des op´erateurs Φ et Ψ. Certaines relations dans l’espace de Poisson 329 Lemme 2.5. Soit Gune variable al´eatoire et uun processus tels que uet ΨG·u={ΨsG·us,s∈[0,1]}sont deux processus mesurables `a trajectoires dans L1([0,1]). Alors Φ(G·u)=G·Φ(u)−Φ(ΨG·u)−1 0 usΨsG ds, ω-p.s. Le lemme suivant nous sera utile dans la derni`ere section. Lemme 2.6. Soient {u, un;n∈N}une famille de processus mesurables `a trajectoires dans L1([0,1]), tels que un t(w)−→ ut(w) ponctuellement et dans L1([0,1]),ω-p.s. Alors on a Φ(un)n→∞ −→ Φ(u),ω-p.s. Preuve: Etant donn´e ω=(s1,... ,s n), |Φ(u)−Φ(un)|≤ n  j=1 |usj(s1,... ,ˆsj,... ,s n)−un sj(s1,... ,ˆsj,... ,s n)| +1 0 |ut−un t|dt, et les hypoth`eses impliquent le r´esultat souhait´e. Les cas ω=eet ω∈Tse traitent de mani`ere analogue. 3. La relation entre l’op´erateur Φ et l’int´egrale trajectorielle Proposition 3.1. Soit u={ut,t∈[0,1]}une version fix´ee d’un processus stochastique mesurable d´efini sur Ω×[0,1],ω-p.s., et pour tout t∈[0,1]. Supposons que les processus uet Ψu={Ψsus,s∈[0,1]}ont des trajectoires dans L1([0,1]),ω-p.s. Alors pour presque tout ω∈Ωon a 1 0 usd˜ Ns=Φ(u) + Φ(Ψu)+1 0 Ψsusds, ou 1 0usd˜ Nsest l’int´egrale trajectorielle. 330 J. A. Le´ on, J. L. Sol´ e, J. Vives Preuve: Si ω=(s1,... ,s n) avec n>1, 1 0 usd˜ Ns−Φ(u)= n  j=1 {usj(s1,... ,s n)−usj(s1,... ,ˆsj,... ,s n)} = n  j=1 Ψsjusj(s1,... ,ˆsj,... ,s n) = Φ(Ψu) +1 0 Ψsusds, et on proc`ede de mani`ere analogue pour ω=eet ω∈T. Remarque 3.2.Si ua des limites `a gauche qui satisfont les conditions de la Proposition 3.1 on a 1 0 us−d˜ Ns=Φ(u−) + Φ(Ψu−)+1 0 Ψsus−ds. Remarque 3.3.Notons que si uest un processus pr´evisible on a ut(e)=ut(t)etusj(s1,... ,s n)=usj(s1,... ,ˆsj,... ,s n) (voir Nualart et Vives [N-V-1]). Alors si usatisfait les conditions de 3.1, cette proposition implique que 1 0usd˜ Ns=Φ(u). Remarque 3.4.Notons que pour presque tout ωon doit prendre une version concr`ete du processus usur tout t∈[0,1] pour donner un sens `aΨ sus. Par ailleurs, la condition d’int´egrabilit´e des processus uet Ψuassure que tous les termes qui apparaissent dans la preuve existent. Remarque 3.5.Dans le domaine des probabilit´es quantiques, la formule de la Proposition 3.1 ´etait d´ej`a connue quand u=FKs, o`uKest un processus pr´evisible born´eetFune variable exponentielle (voir [B, Proposition 18]). Biane donne cette formule dans le cadre des martingales normales avec φ(processus qui apparaˆıt dans l’´equation de structure) plus g´en´eral qu’une constante. Nous nous sommes plac´es dans le cas Poissonnien (φ= 1), mais notre formule est valable pour une classe plus g´en´erale de processus u. Une preuve non quantique de la formule de Biane ainsi que certaines cons´equences int´eressantes peuvent se trouver dans [P-S-V]. Comme application de la Proposition 3.1 on peut ´etablir la relation entre l’int´egrale δet l’int´egrale trajectorielle dans le cas Poissonnien. Ceci corrige un r´esultat de Nualart et Vives ([N-V-1, Th´eor`eme 7.3]) Certaines relations dans l’espace de Poisson 331 publi´e dans le S´eminaire de Probabilit´es XXIV, qui est plac´e dans un cadre L2et o`u il y a des expressions telles que Dsuset DsDsus, o`uD est l’op´erateur d’annihilation, qui n’ont pas de sens dans ce cadre. Toujours dans un cadre L2, Nualart et Vives [N-V-2] donnent la proposition suivante qui lie l’int´egrale δ, d´efinie `a partir de la d´ecomposition chaotique, avec l’op´erateur Φ. Proposition 3.6. Soit u={ut,t ∈[0,1]}un processus stochastique de L2(Ω ×[0,1]). Alors Φ(u)∈L2(Ω) si et seulement si uest dans le domaine de δ, et dans ce cas δ(u)=Φ(u). Consid´erons donc un processus usatisfaisant les conditions de la Proposition 3.1 et supposons aussi qu’il soit dans L2(Ω ×[0,1]). Si Φ(u)∈L2(Ω), la Proposition 3.6 montre que Φ(u) est ´egal `a δ(u), et d’apr`es la Proposition 3.1 on a 1 0 usd˜ Ns=           δ(u)+ n  j=1 Ψsjusj(s1,... ,ˆsj,... ,s n),si ω=(s1,...,s n) δ(u)+Ψs1us1(e),si ω=s1 δ(u),si ω=e. Si nous d´efinissons le processus As(ω)≡     us(ω)−us(ω−{s}),si s∈ω=(s1,... ,s n),n>1 us(s)−us(e),si ω=(s) 0,dans les autres cas. Alors 1 0 As(ω)dNs=         n j=1 Ψsjusj(s1,... ,ˆsj,... ,s n) =n j=1 Asj,si ω=(s1,... ,s n),n>1 Ψs1us1(e),si ω=s1 0,dans les autres cas et la proposition suivante est alors imm´ediate: Proposition 3.7. Soit u={ut,t∈[0,1]}un processus qui satisfait les conditions de la Proposition 3.1. Supposons que u∈L2(Ω×[0,1]) et que Φ(u)∈L2(Ω). Alors il existe un processus {At,t∈[0,1]}tel que δ(u)=1 0 usd˜ Ns−1 0 AsdNs,ω-p.s. 332 J. A. Le´ on, J. L. Sol´ e, J. Vives 4. Les int´egrales r´etrograde et progressive et l’int´egrale trajectorielle Dans cette section nous arriverons `a la relation donn´ee dans la Proposition 3.1 `a partir des d´efinitions de l’int´egrale progressive et r´etrograde d’un bon processus f, ce qui pr´esente un point de vue diff´erent et peutˆetre plus naturel. Soient Xet Ydeux processus index´es par [0,1] tels que leurs trajectoires et celles de XY appartiennent `a L1([0,1]) p.s. Alors Russo et Vallois [Ru-Va-1], d´efinissent les int´egrales progressive et r´etrograde respectivement comme les limites en probabilit´e suivantes lim n→∞ n1 0 Xt(Y(t+1 n)∧1−Yt)dt,(4.1) lim n→∞ n1 0 Xt(Yt−Y(t−1 n)∨0)dt,(4.2) lorsqu’elles existent. Si Yest le processus de Poisson et le processus Xa trajectoires c`adl`ag et si on d´efinit les int´egrales par des limites presque sˆures, c’est une cons´equence d’un lemme de Russo et Vallois [Ru-Va-2] que l’int´egrale progressive coincide avec l’int´egrale trajectorielle de Xs−par rapport au processus de Poisson compens´e. Dans la proposition suivante nous pr´esentons une preuve directe de ce r´esultat. Proposition 4.1. Soit f={ft,t ∈[0,1]}un processus mesurable `a trajectoires c`adl`ag. Alors lim n→∞ n1 0 ft(˜ N(t+1 n)∧1−˜ Nt)dt =1 0 ft−d˜ Nt,ω-p.s. Preuve: Pour ω={s1,s 2,... ,s n},0<s 1<s 2<··· <s nfix´e, nous consid`erons l’int´egrale n1 0 ft(ω)( ˜ N(t+1 n)∧1−˜ Nt)dt =n1 0 ft(ω)(t+1 n)∧1 t d˜ Nsdt, Certaines relations dans l’espace de Poisson 333 que l’on peut ecrire par application du lemme de Fubini n1 n 0s 0 ft(ω)dtd˜ Ns+n1 1 ns s−1 n ft(ω)dtd˜ Ns =n1 n 0s 0 ft(ω)dtdNs−n1 n 0s 0 ft(ω)dtds +n1 1 ns s−1 n ft(ω)dtdNs−n1 1 ns s−1 n ft(ω)dtds. Quand n→∞les deux premi`eres int´egrales tendent vers z´ero par bornitude des trajectoires. La troisi`eme int´egrale n1 1 ns s−1 n ft(ω)dtdNs=n si>1 nsi si−1 n ft(ω)dt, converge vers 1 0fs−dNs, et finalement la derni`ere int´egrale a pour limite 1 0fs−ds. Pour ω=ele r´esultat est ´egalement vrai. Remarque 4.2.Si on consid`ere le cas r´etrograde la limite est l’int´egrale trajectorielle 1 0ftd˜ Nt. Remarque 4.3.Dans le cas Poisson, pour passer de l’int´egrale progressive entre 0 et t`alar´etrograde on doit ajouter `a la premi`ere la variation quadratique [f,N]t. Kurtz, Pardoux et Protter [K-P-P] consid`erent des ´equations diff´erentielles Stratonovich conduites par des semimartingales g´en´erales que ont des solutions avec des bonnes propri´et´es, et o`u l’int´egrale Stratonovich n’est pas consistent avec la definition de Protter [P], et seulement est d´efinie pour des integrands qui sont solutions des ´equations. Dans le cas Poisson cette int´egrale est l’int´egrale progressive plus 1/2[f,N]. Dans la proposition suivante on arrivera `a la formule de la Proposition 3.1, pour des processus cadlag avec certaines hypoth`eses suppl´ementaires, mettant en ´evidence le passage `a la limite.