Spectre des laplaciens de Lichnerowicz sur les sphères et les projectifs réels

Publicacions Matem`atiques, Vol 43 (1999), 451–483. SPECTRE DES LAPLACIENS DE LICHNEROWICZ SUR LES SPH` ERES ET LES PROJECTIFS R´ EELS Mohamed Boucetta Abstract In this paper, we compute the spectrum of the Lichnerowicz laplacian on the symmetric forms of degree 2 on the sphere Snand the real projective space RPn. This is obtained by generalizing to forms the calculations of the spectrum of the laplacian on fonctions done via restriction of harmonic polynomials on euclidean space. 1. Introduction Soit (M,g) une vari´et´e riemannienne compacte. Pour tout p∈N,on notera Ωp(M) l’espace des p-formes diff´erentielles sur Met SpMl’espace des p-formes sym´etriques sur Mavec Ω0(M)=S0M=C∞(M). Pour tout 0 ≤p≤dim M,Ω p(M) est muni d’un op´erateur elliptique ∆p`a savoir le laplacien de Hodge-de Rham. dim Ker ∆p´etant le p-i`eme nombre de Betti de M, et pour d’autres propri´et´es, cet op´erateur a´et´e amplement ´etudi´e. Le spectre et les sous-espaces propres des ∆p sur la sph`ere Sn, munie de sa m´etrique canonique, ont ´et´ed´etermin´es dans [Be-Ga-Ma], [Be-Mi], [Ga-Me], [Ik-Ta], [Iw-Ka]. L’espace des tenseurs le plus simple `a consid´erer, apr`es les Ωp(M), est l’espace S2M. Dans [Be-Eb], cet espace a ´et´e´etudi´eetila´et´ed´emontr´e la d´ecomposition suivante: (H1)S2M= Ker δ1δ∗ 1(Ω1(M)), 452 M. Boucetta o`uδ∗ 1:Ω 1(M)−→ S 2Mest l’op´erateur diff´erentiel d´efini par δ∗ 1(α)=L#αg, (α∈Ω1(M)), #αest le champ de vecteurs associ´ee `a la 1-forme αgrˆace `alam´etrique g et δ1:S2M−→ Ω1(M) est l’adjoint formel de δ∗ 1pour les structures pr´ehilbertiennes sur Ω1(M)etS2Md´efinies par la m´etrique g. Dans le mˆeme papier, il a ´et´ed´emontr´e que Ker δ1est l’espace tangent en g`a l’espace des structures riemaniennes sur M. C’est l’espace des d´eformations infinit´esimales non-triviales de g. L’espace S2Madmet aussi la d´ecomposition (voir [Be2, p. 130]) (H2)S2M= Ker δ1∩Tr−1(0) δ∗ 1(Ω1(M)) + C∞(M)g, o`uTr :S2M−→ C∞(M) est la trace par rapport `a g. Ker δ1∩Tr−1(0) peut aussi ˆetre regard´e comme l’espace des d´eformations infinit´esimales non-triviales et non-conformes de g. Dans [L, p. 27], Lichnerowicz a introduit, pour tout p∈N, un laplacien ∆p M:SpM−→ S pM,∆ 0 Met ∆1 M´etant les laplaciens de Hodgede Rham respectivement sur C∞(M) et sur Ω1(M). Les laplaciens de Lichnerowicz poss´edent des propri´et´es remarquables et se sont av´er´es tr`es utiles pour l’´etude de diff´erents probl`emes g´eom´etriques (voir [Be-Eb], [Be2], [M]). Il est `a noter que le laplacien de Lichnerowicz ∆2 M:S2M−→ S 2Mrespecte les d´ecompositions (H1)et(H2)sila vari´et´e(M,g) est `a courbure de Ricci parall`ele. Dans cet article, on se propose de calculer le spectre avec multiplicit´e et les sous-espaces propres de ∆2 Snsur la sph`ere de dimension nmunie de sa m´etrique canonique. Par suite, on exhibe deuxe bases de vecteurs propres qui engendrent deux sous-espaces propres denses dans Ker δ1et dans Ker δ1∩Tr−1(0). Pour illustrer l’int´erˆet que peuvent avoir ces bases dans la r´esolution de versions infinit´esimales de diff´erents probl`emes g´eom´etriques, on retrouve des r´esultats bien connus `a savoir le th´eor`eme de repr´esentation conforme sur la sph`ere S2[Be-Eb] et la rigidit´e de la structure d’Einstein canonique sur la sph`ere Sn. Spectre des Laplaciens de Lichnerowicz 453 Finalement, en utilisant le revˆetement riemannien Sn−→ RPn,on d´eduit le spectre et les sous-espaces propres de ∆1 RPnet de ∆2 RPn. Le calcul du spectre de ∆2 Snn´ecessitant la connaissance du spectre de ∆1 Sn, nous donnons le spectre avec multiplicit´e et les sous-espaces propres de ∆1 Snen utilisant une m´ethode qui diff´ere l´eg´erement de celle utilis´ee dans [Ga-Me]. Pour ce travail, on g´en´eralise la m´ethode utilis´ee dans [Be-Ga-Ma] pour le calcul du spectre de ∆0 Snalors que les d´ecompositions (H1)et (H2) nous servent de guides. 2. Laplaciens de Lichnerowicz sur les tenseurs sym´etriques Soit (M,g) une vari´et´e riemannienne de dimension d. Soit Dla connexion de Levi-Civita associ´ee. Pour tout p∈N, le fibr´e vectoriel des p-tenseurs pT∗M−→ Mest muni d’une structure de fibr´e vectoriel euclidien donn´ee par h, fm= d  i1,... ,ip=1 h(ei1,... ,e ip)f(ei1,... ,e ip), o`um∈M,h, f ∈pT∗ mMet (e1,... ,e d) est une base orthonorm´ee quelconque de TmM. Pour tout entier naturel p, la connexion de Levi-Civita d´efinit un op´erateur diff´erentiel Dp:C∞(pT∗M)→C∞(p+1 T∗M). On notera D∗ pson adjoint formel. Soit SpMle C∞(M)-module des formes sym´etriques sur M. En sym´etrisant l’op´erateur D, on obtient un op´erateur diff´erentiel δ∗ p: SpM→S p+1Md´efini par δ∗ ph(X1,... ,X p+1)= p+1  i=1 DXih(X1,... , Xi,... ,X p+1). Soit δp:Sp+1M→S pMson adjoint formel. 454 M. Boucetta L’adjoint formel de δ∗ pest appel´e divergence et est donn´e par δpf(X1,... ,X p)=− d  i=1 DYif(Yi,X 1,... ,X p), o`uf∈S p+1M,(X1,... ,X p) est une famille quelconque de champs de vecteurs sur Met (Y1,... ,Y d) est une base orthonorm´ee de champs de vecteurs (locaux) sur M. Pour tout α∈S 1M,ona(voir[Be2, p. 35]) (1) δ∗ 1(α)=L#αg. #:T∗M→TM est l’inverse de l’homomorphisme musical ω:TM → T∗Mqui `a v→ g(v,.). Si la vari´et´e Mest compacte, en tant que R-espace vectoriel, C∞(pT∗M) est muni d’un produit scalaire donn´e par h, f=M h(m),f(m)mµg, o`uµgest la mesure canonique de (M,g). Dans le cas o`u Mest compacte, Dpet D∗ p;δpet δ∗ psont adjoints pour le produit scalaire ,. D´efinition 2.1 [L]. Le laplacien de Lichnerowicz sur les p-formes sym´etriques est l’op´erateur ∆p M:SpM−→ S pMd´efini par ∆p M=D∗ pDp+Kp, o`uKpest l’op´erateur d’ordre 0 d´efini par K0=0 Kp(h)(X1,... ,X p)= p  i=1 r(Xi,#iX1...  Xi...Xph) −Trg[(U, V )→  i=j h(R(Xi,U)Xj,V,X 1,... , Xi,... , Xj,... ,X p)], Ret rd´esignent respectivement la courbure tensorielle et la courbure de Ricci de g,Trgd´esigne la trace par rapport `a g, # l’isomorphisme inverse de l’isomorphisme musical et iX1...  Xi...Xphle produit int´erieur de hpar X1... Xi...X p. Spectre des Laplaciens de Lichnerowicz 455 Dans le cas o`u Mest compacte, ∆p Mest un op´erateur auto-adjoint pour le produit scalaire ,. Remarques. i) ∆0 Met ∆1 Msont les laplaciens de Hodge-de Rham respectivement sur C∞(M)etS1M. La formule ∆1 M=D∗ 1D1+K1 n’est rien d’autre que la fameuse formule de Bochner [Boc], puisque K1(α)=r(#α, .), pour tout α∈S 1M. ii) On a clairement ∆1 M◦d=d◦∆0 M. Th´eor`eme 2.1. Les d´efinitions et notations sont celles ci-dessus. On a les propri´et´es suivantes: i) Si la m´etrique gest `a courbure de Ricci parall`ele, on a ∆2 M◦δ∗ 1=δ∗ 1◦∆1 Met ∆1 M◦δ1=δ1◦∆2 M. ii) Trg◦∆2 M=∆ 0 M◦Trg. iii) Pour toute fonction f∈C∞(M),ona∆2 M(fg)=∆ 0 M(f)g. Preuve: Pour i) et ii) voir [L, pp. 28–29]. Montrons, maintenant iii). Soit h∈S 2Mquelconque. On a ∆2 M(fg),h=fg,∆2 M(h)=M fTrg(∆2 M(h)µg. En utilisant ii), on obtient ∆2 M(fg),h=M f∆0 M(Trgh)µg=M Trgh∆0 M(f)µg=h, ∆0 M(f)g. D’o`uler´esultat. 456 M. Boucetta Lemme 2.1. Pour tout entier p>0et pour tout h∈S pM,ona δp◦δ∗ ph−δ∗ p−1◦δp−1h=D∗ pDph−Kp(h). Preuve: Pour ´etablir cette ´egalit´e, il suffit de la v´erifier pour les formes pˆolaires. Soit Xun champs de vecteurs et soit (E1,... ,E d) une base orthonorm´ee de champs de vecteurs (locaux). On a δp◦δ∗ ph(X,... ,X) =− d  i=1 DEiδ∗ ph(Ei,X,... ,X) =− d  i=1 Ei.δ∗ ph(Ei,X,... ,X)+ d  i=1 δ∗ ph(DEiEi,X,... ,X) +p d  i=1 δ∗ ph(Ei,D EiX,X, ... ,X) =− d  i=1 Ei.DEih(X,... ,X)−p d  i=1 Ei.DXh(Ei,X,... ,X) + d  i=1 DDEiEih(X,. . . ,X)+p d  i=1 DXh(DEiEi,X,... ,X) +p d  i=1 DEih(DEiX,X, . .. ,X)+p d  i=1 DDEiXh(Ei,X,... ,X) +p(p−1) d  i=1 DXh(Ei,D EiX,X, . .. ,X) =− d  i=1 Ei.DEih(X,... ,X)−p d  i=1 DEiDXh(Ei,X,... ,X) + d  i=1 DDEiEih(X,. . . ,X)+p d  i=1 DEih(DEiX,X, . .. ,X) p d  i=1 DDEiXh(Ei,X,... ,X) =D∗ pDph(X,. . . ,X)−p d  i=1 D2 (Ei,X)h(Ei,X,... ,X). Spectre des Laplaciens de Lichnerowicz 457 D’un autre cˆot´e et par un calcul direct, on obtient δ∗ p−1◦δp−1h(X,... ,X)=−p d  i=1 D2 (X,Ei)h(Ei,X,... ,X) −p d  i=1 (DEih(DXEi,X,... ,X) +DDXEih(Ei,X,... ,X)). En utilisant l’identit´e de Ricci, on obtient donc δp◦δ∗ ph(X,... ,X)−δ∗ p−1◦δp−1h(X,. . . ,X)=D∗ pDph(X,... ,X) −[pr(X,#(ip−1 X...X h)) −p(p−1) d  i=1 h(R(Ei,X)X, Ei,X,... ,X)] +p d  i=1 (DEih(DXEi,X,... ,X)+DDXEih(Ei,X,... ,X)). Or, pour tout vvecteur tangent en un point m, il existe un champ de vecteurs Xet une base orthonorm´ee (Ei,... ,E d) tels que X(m)=vet (DXEi)m= 0 pour i=1,... ,d. Comme c’est une relation tensorielle, on a le lemme. Remarque importante. En vertu ce lemme, on obtient une expression plus fine du laplacien de Lichnerowicz `a savoir (2) ∆p M=δp◦δ∗ p−δ∗ p−1◦δp−1+2Kp. Cette expression nous sera tr`es utile par la suite. Proposition 2.1. Soit h= d  i1,... ,ip=1 hi1,... ,ipdxi1...dx ipune p-forme sym´etrique sur (Rd,can).Ona ∆p Rdh= d  i1,... ,ip=1 ∆0hi1,... ,ipdxi1...dx ip avec ∆0=−d i=1 ∂2 ∂x2 i . Preuve: Evidente. 458 M. Boucetta 3. Laplaciens de Lichnerowicz sur les sph`eres 3.1. Pr´eliminaires. On se place maintenant dans Rn+1 muni de sa m´etrique canonique qu’on notera indiff´eremment can ou ,. On notera  Dla connexion de Levi-Civita associ´ee, #r le champ de vecteurs radial et N=∂ ∂r le champ de vecteurs unitaire radial. #r = n+1  i=1 xi ∂ ∂xi ,N=1 r n+1  i=1 xi ∂ ∂xi , avec r=x2 1+...+x2 n+1 et (x1,... ,x n+1) les coordonn´ees canoniques de Rn+1. Pour tout champ de vecteurs Xsur Rn+1,ona (3)  DXN=1 r(X−X,NN). En particulier  DNN=0. Soit Dla connexion de Levi-Civita associ´ee `alam´etrique canonique de Sn. Pour tout champs de vecteurs X,Y tangents `a Sn,ona (4)  DXY=DXY−X,Y N. Proposition 3.1. Soit H∈S pRn+1 et soit (X,X1,... ,X p)une famille de champs de vecteurs tangents `a Sn. Soit hla restriction de H `a Sn. Alors, en restriction `a Sn, les formules suivantes sont v´erifi´ees:  DXH(X1,... ,X p)=DXh(X1,... ,X p) + p  i=1 X,XiH(N,X1,... ,  Xi,... ,X p),  DNH(X1,... ,X p)=LNH(X1,... ,X p)−ph(X1,... ,X p),  DNH(N,X1,... ,X p−1)=LN◦iNH(X1,... ,X p−1) −(p−1)H(N,X1,... ,X p−1). Spectre des Laplaciens de Lichnerowicz 459 Preuve: La premi`ere formule est une cons´equence imm´ediate de (3). On a  DNH(X1,... ,X p)=N.H(X1,... ,X p)− p  i=1 H(X1,... ,  DNXi,... ,X p). Or  DNXi=[N,Xi]+  DXiNet, en restriction `a Sn, on a en vertu de (3),  DXiN=Xi. Ceci permet d’´etablir la deuxi`eme formule. Un calcul analogue donnerait la troisi`eme formule. Dans tout ce qui suit, on notera  δ∗et  δrespectivement la codivergence et la divergence de (Rn+1,can) et δ∗et δceux de (Sn,can). Proposition 3.2. Soit H∈S p+1Rn+1 et soit hsa restriction `a Sn. Alors, la formule suivante est v´erifi´ee en restriction `a Sn:  δpH=δph−niNH−LN◦iNH. Preuve: Soit x∈Snet soit (E1,... ,E n) une base orthonorm´ee de champs de vecteurs au voisinage de xet tangents en x`a Sn. Soit (X1,... ,X p) une famille de champs de vecteurs tangents `a Sn.On a  δpH(X1,... ,X p)=− n  i=1  DEiH(Ei,X 1,... ,X p)− DNH(N,X1,... ,X p). Or, d’apr`es la Proposition 2.1, on a  DEiH(Ei,X 1,... ,X p)=DEih(Ei,X 1,... ,X p) +Ei,E iH(N,X1,... ,X p) + p  j=1 H(N,Ei,X jEi,X 1,... ,  Xj,... ,X p),  DNH(N,X1,... ,X p)=LN◦iNH(X1,... ,X p)−pH(N,X1,... ,X p). Ceci permet de conclure. On pourrait, de la mˆeme mani`ere, ´etablir une formule reliant  δ∗ pet δ∗ p; mais pour ce qu’on envisage de faire, on se contentera d’une formule dans les cas p=0,1,2. 466 M. Boucetta Proposition 3.11. Soit α∈S 1 Pket soit αsa restriction `a Sn.On a, en restriction `a Sn, ∆1 Rn+1 α=∆ 1 Snα−(k(k+n−1) + n−2)α−2dα(#r). Preuve: D’apr`es la Proposition 3.10, on a, en restriction `a Sn, LNα=(k+1)αet LN◦LNα=k(k+1)α. La proposition d´ecoule alors de la Proposition 3.5 et du fait, qu’en restriction `a Sn,dα(N)=dα(#r). Proposition 3.12. Soit fla restriction `a Snd’un ´el´ement de  Hk. On a ∆1 Sndf =k(k+n−1)df . Preuve: D´ecoule de la Proposition 3.9 et du fait que ∆1 Snet ∆0 Sn commutent avec d. D’apr`es (H3), cette proposition nous donne le spectre et les sousespaces propres de ∆1 Snrestreint `a dC∞(Sn). On va, dans ce qui suit, donner le spectre et les sous-espaces propres de ∆1 Snrestreint `a Ker δ0. Soit α∈S 1 Hk. Contrairement au cas du ∆0 Sn, la restriction αde α`a Snn’est pas un vecteur propre de ∆1 Sn. Dans ce qui suit, on va donner la d´ecomposition de αsuivant (H3). On a, d’apr`es la Proposition 3.8 ii), α(#r)= n+1  i=1 αixi=Q0+r2Q1avec Ql∈ Hk+1−2l. On pose (13) ωk(α)=α−1 k+1dQ0−1 2−k−ndr2Q1. ωk(α)∈S 1 Pket on notera ωk(α) sa restriction `a Sn. Proposition 3.13. On a ∆1 Snωk(α)=(k(k+n−1) + n−2)ωk(α). Spectre des Laplaciens de Lichnerowicz 467 Preuve: D’apr`es (13), on a ωk(α)(#r)=1−2k−n 2−k−nr2Q1, ∆1 Rn+1 ωk(α)=−1 2−k−nd∆0 Rn+1 (r2Q1) =−21−2k−n 2−k−ndQ1, d’apr`es i) Proposition 2.8. On aura donc 2dωk(α)(#r)=−∆1 Rn+1 ωk(α)=2 1−2k−n 2−k−ndQ1, et la Proposition 3.11 permet de conclure. Si α∈S 1 Hket si αest sa restriction `a Sn,lad´ecomposition de α selon (H3) est donn´ee par (14) α=ωk(α)+ 1 k+1dQ0+1 2−k−ndQ1. En plus, ωk(α), dQ0et dQ1sont des vecteurs propres de ∆1 Sn. On notera λ0 k=k(k+n−1), λ1 k=k(k+n−1) + n−2, Eλ0 k={df / f =F/Snet F∈ Hk}, Eλ1 k={ωk(α)/α∈S 1 Hk}, P1(Sn,can) = ∞  k=1 Eλ0 k∞  k=1 Eλ1 k. Proposition 3.14. dim Eλ0 k= dim  Hkpour k≥1, dim Eλ1 k=(n+ 1) dim  Hk−(dim  Hk+1 + dim  Hk−1). 468 M. Boucetta Preuve: La premi`ere ´egalit´e est triviale. Soit Φk: Hk+1 × Hk−1−→ S 1 Hkd´efinie par Φk(Q0,Q 1)= 1 k+1dQ0+1 2−k−ndr2Q1+1−2k−n 2−k−nQ1ir can . Il est facile de voir que Φk(Q0,Q 1)∈S 1 Hk. Soit ωk:S1 Hk−→ Eλ1 k α→ ωk(α). Pour avoir la proposition il suffit de montrer que la suite 0−→  Hk+1 × Hk−1−→ S 1 Hk−→ Eλ1 k−→ 0 est exacte. Ceci d´ecoule imm´ediatement du fait que Φk(Q0,Q 1)(#r)=Q0+r2Q1. Th´eor`eme 3.1. i) P1(Sn,can) est dense au sens de la convergence uniforme dans S1Sn. ii) Le spectre de ∆1 Snavec (n>2) est donn´epar Spec ∆1 Sn={k(k+n−1) k≥1,k(k+n−1) + n−2/k≥1}. Les multiplicit´es des valeurs propres sont donn´ees par multp(λ0 1)=n+1, multp(λ0 k)=n(n+1)...(n+k−3)(n+k−2) k!(n+2k−1),k>1, multp(λ1 1)=n(n+1) 2, multp(λ1 2)=(n−1)(n+ 1)(n+3) 3, multp(λ1 k)=(n−1)n(n+1)...(n+k−3) (k+ 1)! k(2k2+3(n−1)k+(n−1)2) pour k≥3. Spectre des Laplaciens de Lichnerowicz 469 Preuve: i) D´ecoule du fait que l’espace des polynˆomes homog`enes est dense dans C∞(Sn) de (12) et (14). ii) D´ecoule des Propositions 3.12, 3.13 et 3.14. Il reste `a calculer multp(λ1 k). On a dim  Hk=n(n+1)...(n+k−3)(n+k−2) k!(n+2k−1). On en d´eduit que (n+ 1) dim  Hk−(dim  Hk+1 + dim  Hk−1) =n(n+1)...(n+k−3) (k+ 1)! (A(n, k)−B(n, k)−C(n, k)) avec A(n, k)=(n+ 1)(n+k−2)(k+ 1)(n+2k−1), B(n, k)=(n+k−2)(n+k−1)(n+2k+1), C(n, k)=(n+2k−3)k(k+1). Un calcul simple donnerait A(n, k)=2(n+1)k3+3(n+ 1)(n−1)k2 +(n+ 1)(n2−3)k+(n−1)(n−2)(n+1), B(n, k)=2k3+5(n−1)k2+(4n2−7n+1)k+(n+ 1)(n−2)(n−1), C(n, k)=2k3+(n−1)k2+(n−3)k. Ceci permet de conclure. Remarque. Spec ∆1 S2={k(k+1) k≥1}, et multp(k(k+ 1)) = 2(2k+ 1). Proposition 3.15. On a i) #Eλ1 1est l’alg`ebre des champs de Killing de (Sn,can). ii) ∞ k=1 Eλ1 kest dense au sens de la convergence uniforme dans Ker δ0. 470 M. Boucetta Preuve: i) Soit Xun champ de Killing de (Sn,can) et soit α=ω(X). On a, d’apr`es (1), δ∗ 1(α) = 0. D’un autre cˆot´e, un calcul simple donne que δ0(α)=−1 2Trδ∗ 1(α)=0. Donc d’apr`es (5), on aura ∆1 Sn(α)=2(n−1)α. Or λ1 1=2(n−1) et donc, si G1d´esigne l’alg`ebre des champs de Killing de (Sn,can), ω(G1) est contenu dans Eλ1 1et, puisque ils ont la mˆeme dimension, ils sont ´egales. ii) D´ecoule de (H3) et de la Proposition 3.13. 3.7. Spectre et sous-espaces propres de ∆2 Sn. Comme pour ∆1 Sn, notre calcul sera guid´e par les deux d´ecompositions (H1)et(H2) donn´ees dans l’introduction et que nous rappelons i¸ci. S2Sn= Ker δ1δ∗ 1(Ω1(Sn)),(H1) S2Sn= Ker δ1∩Tr−1(0) δ∗ 1(Ω1(Sn)) + C∞(Sn) can.(H2) Proposition 3.16. Soit H∈S 2Rn+1.Ona LNH=N.H +2 rH−2(iNHiNcan), LN◦LNH=N.N.H +4 rN.H +2 r2H−2 rN.(iNHiNcan) −4 r(iNHiNcan) −2(iNLNHiNcan). Preuve: LNH∂ ∂xi ,∂ ∂xj=N.Hij −HN, ∂ ∂xi,∂ ∂xj−HN, ∂ ∂xj,∂ ∂xi. Or, d’apr`es (3), N, ∂ ∂xi=− D∂ ∂xi N=−1 r∂ ∂xi −N, ∂ ∂xiN. Ce qui permet d’avoir la premi`ere formule. La deuxi`eme est une application de la premi`ere. Spectre des Laplaciens de Lichnerowicz 471 Proposition 3.17. Soit H∈S 2 Pket soit hsa restriction `a Sn.On a, en restriction `a Sn, ∆2 Rn+1 H=∆ 2 Snh−(k(k+n−1) + 2(n−1))h −2δ∗ 1(irH)−2H(#r,#r) can +2Trhcan . Preuve: D’apr`es la Proposition 3.16, on a, en restriction `a Sn, LNH=(k+2)h, LN◦LNH=(k(k+3)+2)h. La Proposition 3.7 permet alors de conclure. Proposition 3.18. Soit F∈ Hk, soit fsa restriction `a Snet soit α∈S 1 Hk.Ona ∆2 Sn(fcan) = k(k+n−1)fcan, ∆2 Snδ∗ 1(df )=k(k+n−1)δ∗ 1(df ), ∆2 Snδ∗ 1(ωk(α)) = (k(k+n−1) + n−2)δ∗ 1(ωk(α)). Preuve: Ces ´egalit´es d´ecoulent du Th´eor`eme 2.1 et des Propositions 3.9, 3.12 et 3.13. Cette proposition nous donne le spectre et les sous-espaces propres de ∆2 Snen restriction `aImδ∗ 1+C∞(Sn) can. Dans ce qui suit, on va donner le spectre et les sous-espaces propres de ∆2 Snen restriction `a Ker δ1∩Tr−1(0) et ce en vertu de (H2). Soit H∈S 2 Hket soit hsa restriction `a Sn. Comme pour le calcul du spectre de ∆1 Sn,hn’est pas un vecteur propre de ∆2 Sn. On se propose, dans ce qui suit, de d´ecomposer hsuivant (H2) et trouver un vecteur propre de ∆2 Snpour la valeur propre λ2 k=k(k+n−1)+2(n−1). Pour cela, si H∈S 2 Pket si hest sa restriction `a Sn, on pose Φ(H)=∆ 2 Rn+1 H+2δ∗ 1(irH)+2H(#r,#r) can −2Trhcan . φ(H) est une 2-forme sym´etrique sur Sn. Soit H∈S 2 Hket soit hsa restriction `a Sn.Ona irH= n+1  i=1 n+1  j=1 Hijxjdxi. 472 M. Boucetta Or, d’apr´es la Proposition 3.8, on a, pour tout i=1...n+1 n+1  j=1 Hijxj=α0 i+r2α1 i, avec α0 i∈ Hk+1 et α1 i∈ Hk−1. On pose α0= n+1  i=1 α0 idxi,et α1= n+1  i=1 α1 idxi. Toujours d’apr`es la Proposition 3.8, on a α0(#r)=P0 0+r2P0 1et α1(#r)=P1 0+r2P1 1, avec P0 0∈ Hk+2,P0 1∈ Hk,P1 0∈ Hket P1 1∈ Hk−2. On a, d’apr`es (13), irH=α0+r2α1 =ωk+1(α0)+r2ωk−1(α1) +1 k+2dP0 0+1 1−k−ndr2P0 1+r2 kdP1 0+r2 3−k−ndr2P1 1, H(#r,#r)=P0 0+r2(P0 1+P1 0)+r4P1 1. En remarquant que, en restriction `a Sn,TrH =Trh+H(#r,#r), on obtient que Φ(H)=2δ∗ 1(ωk+1(α0))+2δ∗ 1(ωk−1(α1)) +2 k+2δ∗ 1(dP0 0)+ 2 1−k−nδ∗ 1(dr2P0 1) +2 kδ∗ 1(dP1 0)+ 2 3−k−nδ∗ 1(dr2P1 1) +4(P0 0+P0 1+P1 0+P1 1) can −2TrHcan . Spectre des Laplaciens de Lichnerowicz 473 On pose, maintenant (15) Ωk(H)=h−1 kδ∗ 1(ωk+1(α0)) + 1 k+n−1δ∗ 1(ωk−1(α1)) −1 2(k+ 1)(k+2)δ∗ 1(dP0 0)+ 1 (n−1)(1 −k−n)δ∗ 1(dP0 1) +1 (n−1)kδ∗ 1(dP1 0)+ 1 2(k+n−2)(3 −k−n)δ∗ 1(dP1 1) +−1 k+1P0 0+2 n−1(P0 1+P1 0) +1 k+n−2P1 1+1 1−nTrHcan,  Ωk(H)=H−1 k δ∗ 1(ωk+1(α0)) + r2 k+n−1 δ∗ 1(ωk−1(α1)) −1 2(k+ 1)(k+2) δ∗ 1(dP0 0)+ r2 (n−1)(1 −k−n) δ∗ 1(dP0 1) +r2 k(n−1) δ∗ 1(dP1 0)+ r4 2(k+n−2)(3 −k−n) δ∗ 1(dP1 1) −2k2+3(n−1)k+(n2−1) k(n−1)(1 −k−n)P0 1can + 1 1−nTrHcan +2k2+(3n−7)k+n2−4n+7 (3 −k−n)(k+n−1)(k+n−2)r2P1 1can . Un calcul direct utilisant la Proposition 3.3 permet de v´erifier que  Ωk(H)∈S 2 Pket que sa restriction `a Snest exactement Ωk(H). Proposition 3.19. Soit H∈S 2 Hk.Ona ∆2 SnΩk(H)=(k(k+n−1)+2(n−1))Ωk(H). Preuve: D’apr`es la Proposition 3.17, il suffit de v´erifier que Φ(˜ Ωk(H)) = 0. 474 M. Boucetta Or Ωk(H)−h, restriction de ˜ Ωk(H)−H, est la somme de vecteurs propres de ∆2 Sndont les coefficients on ´et´ed´etermin´ee pour que justement Φ(˜ Ωk(H)) soit ´egale `a0. Lav´erification peut se faire, en remarquant que, si φest un vecteur propre de ∆2 Snpour la valeur propre λet  φest une 2-forme homog`ene de degr´e kqui prolonge φ, on a, en vertu de la Proposition 3.17, que Φ( φ)=(λ−(k(k+n−1)+2(n−1)))φ. Proposition 3.20. Soit H∈S 2 Hk.Ona TrΩk(H)=0 et δ1(Ωk(H)) = 0. Preuve: D’apr`es la proposition pr´ec´edente, Ωk(H) est un vecteur propre de ∆2 Snpour la valeur propre k(k+n−1)+2(n−1) et donc, d’apr`es la Proposition 3.18, on a Ωk(H),fcan=Ωk(H),δ∗ 1(df )=Ωk(H),δ∗ 1(ωk(α))=0 pour tout f∈ Hket tout α∈S 1 Hk. Par un argument de densit´e, on d´eduit que Ωk(H) est orthogonal `a C∞(Sn) can et `a δ∗ 1(S1Sn), ce qui prouve la proposition. Soit H∈S 2 Hket si hest sa restriction `a Sn,lad´ecomposition de h suivant (H2) est donn´ee par (16) h=Ω k(H)+1 kδ∗ 1(ωk+1(α0)) −1 k+n−1δ∗ 1(ωk−1(α1)) +1 2(k+ 1)(k+2)δ∗ 1(dP0 0)−1 (n−1)(1 −k−n)δ∗ 1(dP0 1) −1 (n−1)kδ∗ 1(dP1 0)−1 2(k+n−2)(3 −k−n)δ∗ 1(dP1 1) ++1 k+1P0 0−2 n−1(P0 1+P1 0)−1 k+n−2P1 1−1 1−nTrHcan . Spectre des Laplaciens de Lichnerowicz 475 D’un autre cˆot´e et puisque TrΩk(H)=0,TrH ne d´epend que de α0et α1. Pour calculer la multiplicit´e des valeurs propres, on d´efinit alors (17) Ψk(α0,α 1)=−1 k δ∗ 1(ωk+1(α0)) + r2 k+n−1 δ∗ 1(ωk−1(α1)) −1 2(k+ 1)(k+2) δ∗ 1(dP0 0)+ r2 (n−1)(1 −k−n) δ∗ 1(dP0 1) +r2 k(n−1) δ∗ 1(dP1 0)+ r4 2(k+n−1)(3 −k−n) δ∗ 1(dP1 1) −2k2+3(n−1)k+(n2−1) k(n−1)(1 −k−n)P0 1can + 1 1−nTrHcan +2k2+(3n−7)k+n2−4n+7 (3 −k−n)(k+n−1)(k+n−2)r2P1 1can . On notera λ0 k=k(k+n−1), λ1 k=k(k+n−1) + n−2, λ2 k=k(k+n−1)+2(n−1), Gλ0 k={fcan +δ∗ 1(dq)/f =F/Sn,q=Q/Snet F,Q ∈ Hk}, Gλ1 k={δ∗ 1(ωk(α))/α∈S 1 Hk}, Gλ2 k={Ωk(H)/H ∈S 2 Hk}, P2(Sn,can) = ∞  k=0 Gλ0 k∞  k=2 Gλ1 k∞  k=2 Gλ2 k. Proposition 3.21. On a dim Gλ0 0=1, dim Gλ0 1=n+1, dim Gλ0 k= 2 dim  Hkpour k≥2, dim Gλ1 k=(n+ 1) dim  Hk−(dim  Hk+1 + dim  Hk−1)pour k≥2, dim Gλ2 k=1 2(n+ 2)(n+ 1) dim  Hk−(n+ 1)(dim  Hk+1 + dim  Hk−1). 482 M. Boucetta Proposition 4.2. On a i) #Eλ1 1est l’alg`ebre des champs de Killing de (RPn,can). ii) ∞ k=0 Eλ1 2k+1 est dense au sens de la convergence uniforme dans Ker δ0. Th´eor`eme 4.3. i) N+∞ k=1 Gλ2 2kest dense au sens de la convergence uniforme dans Ker δ1. ii) ∞ k=2 Gλ2 2kest dense au sens de la convergence uniforme dans ker δ1∩Tr−1(0). R´ef´erences [Be1] A. Besse,“Manifolds all of whose geodesics are closed,” Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1978. [Be2] A. 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