Procesos de reflexión en estudiantes para profesor de matemáticas

5 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1), 5–16 PROCESOS DE REFLEXIÓN EN ESTUDIANTES PARA PROFESOR DE MATEMÁTICAS Peñas Troyano, María y Flores Martínez, Pablo Departamento de Didáctica de la Matemática Facultad de Ciencias de la Educación. Universidad de Granada [email protected] pfl [email protected] INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA Resumen. El objetivo de este trabajo es describir una investigación que estamos llevando a cabo en la Universidad de Granada, en la que analizamos el proceso de refl exión que realizan los estudiantes de 5º de Matemáticas del curso 2001-2002 sobre cuestiones profesionales relativas a la enseñanza de las matemáticas que les han surgido durante las prácticas de enseñanza. Para caracterizar la refl exión de los estudiantes nos basamos en la categorización que realiza Cooney (1999), centrándonos en las ideas que manifi estan acerca de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, las creencias que subyacen, a quién asignan la autoridad o qué aspectos encuentran problemáticos en su periodo de prácticas. Palabras clave. Formación inicial de profesores de secundaria, didáctica de la matemática, desarrollo profesional, práctica refl exiva, cuestiones profesionales. Summary. The objective of this work is to describe an investigation that we are carrying out at the University of Granada. In this work we analyze the refl ection process that the students of 5º of Mathematics of the course 2001-2002 carry out on a professional question that the students have perceived during the practices in schools of Secondary education. To characterize the refl ection of the students we base ourselves on the categorization carried out by Cooney (1999) centering us in the ideas that the students manifest about the teaching-learning of mathematics, where they place the authority, or what aspects they fi nd problematic in their period of practice. Keywords. Preservice secondary mathematics teacher education, mathematics education, professional development, refl exive practice, professional question. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 6ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) 1. INTRODUCCIÓN En el transcurso del último año de la licenciatura de Matemáticas los estudiantes comienzan a plantearse numerosas cuestiones sobre cómo enseñar, al encontrarse tan próximos a incorporarse a la práctica profesional. Las asignaturas de carácter didáctico en los planes de estudios son el entorno natural donde los estudiantes manifi estan estas cuestiones. Especial relevancia tiene la asignatura de Prácticas, ya que en ella se produce la primera experiencia profesional de estos estudiantes. Esta experiencia supone que los estudiantes no sólo se planteen preguntas sobre cómo enseñar y cómo aprenden los alumnos, sino que, al observar y experimentar en primera persona las difi cultades de enseñar acordes con sus expectativas, se incrementan los interrogantes y, desde la asignatura, se plantea ayudarles a hacer explícitas las cuestiones profesionales que les son confl ictivas con la intención de convertirlas en foco de atención para trabajar sobre ellas. Como formadores podríamos suministrar a los estudiantes respuestas a estas cuestiones, que derivarían de nuestras experiencias docentes y de un conocimiento teórico-práctico sobre la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Pero los estudiantes poseen sus propias experiencias derivadas de los muchos años como alumnos, que han dado lugar a ideas y creencias acerca de la enseñanza. Estas ideas se convierten en el fi ltro a través del que ellos seleccionan sus respuestas y establecen qué conocimientos son signifi cativos, así como la forma en que se asimilan estos conocimientos (Llinares, 2002). La refl exión sobre cuestiones profesionales resulta útil para afrontar estas cuestiones, ya que los procesos de refl exión suponen la manifestación y toma de conciencia por parte de los estudiantes de sus posiciones sobre la enseñanza y el aprendizaje, lo cual es un punto de partida para que los estudiantes profundicen en su práctica docente, tomando conciencia de sus ideas acerca de la enseñanza. En nuestra investigación analizamos cómo los estudiantes se relacionan con las cuestiones profesionales (cómo refl exionan sobre ellas), y qué expectativas y creencias subyacen y manifi estan cuando se relacionan con el conocimiento profesional. La experiencia se realiza con estudiantes de 5º curso de la licenciatura de Ciencias Matemáticas de la Universidad de Granada, de la especialidad de Metodología, en la que cursan dos asignaturas de carácter didáctico: Didáctica de la Matemática y Prácticas de Enseñanza. La investigación que vamos a describir se sitúa en la asignatura de Prácticas de Enseñanza. En un módulo de dicha asignatura, los estudiantes trabajan sobre cuestiones surgidas durante el periodo de prácticas. 2. MARCO TEÓRICO Profundizar en el desarrollo profesional del profesor implica tomar en consideración al profesor (en nuestro caso estudiantes para profesor) como elemento central del proceso investigador, para lo cual nos situamos dentro de la línea de investigación que considera al profesor como un agente cognitivo y refl exivo. Esta línea centra su interés en cómo el profesor adquiere el conocimiento profesional, mas que en cuál es la estructura de dicho conocimiento (su naturaleza) (Azcárate, 1999). En el siguiente apartado analizamos qué se entiende por profesor refl exivo. La intención en nuestro trabajo es estudiar el desarrollo profesional de los estudiantes, para lo que hacemos uso del constructo refl exión. 2.1. El profesor como profesional refl exivo Dewey afi rmaba que el principal propósito de los programas de formación de profesores debía ser ayudarlos a refl exionar sobre problemas de la práctica (Mewborn, 1999), ya que, para que el profesor adquiera el conocimiento de manera signifi cativa, tiene que relacionarlo con un problema profesional, distanciarse de él y organizar sus creencias, ideas y aportes externos en relación con el mismo. Desde esta perspectiva se concibe al profesor como un profesional refl exivo que resuelve problemas. En la actualidad, esta concepción del profesor como profesional refl exivo está tomando fuerza en numerosos trabajos sobre la formación de profesores de matemáticas, que toman como punto de partida una renovación de las ideas de Dewey (1989), a las cuales se incorpora la noción de refl exión de Von Glasersfeld (1991) y la concepción de prácticos refl exivos de Schön (1983, 1987). La idea de refl exión que utilizamos en este trabajo procede de las caracterizaciones de Dewey y Schön, en las que se destaca la necesidad de que la refl exión surja de un problema real, de un estado de duda, y se insta a que los profesionales refl exionen en su práctica diaria. Nosotros consideramos la refl exión como un proceso mental sistemático, que surge para clarifi car una situación de la práctica docente, que es vista como problemática, con la intención de reconstruir dicha práctica. La función del pensamiento refl exivo consiste en transformar una situación dudosa en una situación menos dudosa, por lo que hay que distanciarse de la situación, convertirla en objeto de análisis y organizar de forma coherente las ideas y las creencias relacionadas con dicha situación. Pero, ¿cómo favorecer que se produzca dicha refl exión? 2.1.1. El ciclo de refl exión de Smyth Para promover la refl exión de los futuros profesores no basta con partir de situaciones propias de los estudiantes, también es necesario buscar estrategias que los ayuden a llevar a cabo dicha refl exión. En el módulo de formación que analizamos en esta investigación, nos basamos en el esquema de refl exión del ciclo establecido por Smyth (1991), que se ciñe a nuestra concepción de refl exión (percibir el problema, distanciarse, analizar y reorganizar) para organizar la interacción con los estudiantes a raíz de que éstos sean capaces de detectar una situación problemática. Para ello tratamos de que los estudiantes recorran las siguientes fases del ciclo: • Descripción. Identifi cación de su práctica. Para ello hay que responder a cuestiones como: ¿Qué hago? ¿Qué situaciones encuentro problemáticas? INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 7 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) • Información. Soporte de las prácticas. Se trata de clarifi car los fundamentos de su práctica, respondiendo a cuestiones como: ¿Qué signifi cado tiene lo que hago? ¿Qué teorías generan la cuestión? ¿Qué ideas tengo acerca del docente? • Confrontación. Consiste en establecer una relación signifi cativa con otras prácticas y teorías relacionadas con la cuestión. • Reconstrucción. Elaboración de un nuevo plan de acción, respondiendo a cuestiones como: ¿Qué haría en una nueva ocasión? ¿Cómo respondería a la cuestión? Es necesario distinguir entre el propósito de los estudiantes de profundizar en las cuestiones profesionales seleccionadas y el de los formadores, que consiste en guiar dicha profundización dando coherencia y soporte a las inquietudes de los estudiantes. Como investigadores, el ciclo de Smyth nos permite distinguir los diferentes momentos de refl exión en el contexto docente, pudiendo profundizar en la refl exión de los estudiantes en cada una de las fases. En educación matemática hemos encontrado trabajos recientes que abordan la formación de profesores refl exivos y el análisis de la refl exión. Cooney (1994, 1999, 2001), Cooney y Shealy (1997) y Cooney, Shealy y Arvold (1998) emplean, para caracterizar la refl exión, las etapas de desarrollo (Perry, 1970, entre otros), los sistemas de creencias y la relación que establecen, con la autoridad, los profesores o estudiantes para profesor. En base a estos trabajos defi nimos nuestros objetivos de investigación, para lo cual precisamos estas dimensiones en el apartado 3.4. 3. CARACTERIZACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN 3.1. Descripción del contexto de la investigación La asignatura Prácticas de Enseñanza es un taller de formación profesional cuyo momento principal es cuando los estudiantes pasan por los centros de enseñanza (practicum), pero que permite, por su estructura, preparar dichas prácticas y emplearlas una vez fi nalizadas, para debatir sobre la experiencia (Flores, 1998). Estos estudiantes comienzan un módulo formativo que tiene como inicio la detección de situaciones problemáticas vividas durante las prácticas. Los estudiantes trabajan estas situaciones en grupos, guiados por el formador. El proceso pretende que cada grupo de estudiantes refl exione sobre una cuestión profesional, en un proceso que deberá concluir con la impartición de una clase a sus compañeros de la asignatura de Prácticas de Enseñanza, sobre la cuestión seleccionada (Flores 1998; Flores y Peñas, 2003). Figura 1 Módulo sobre cuestiones profesionales. práctica 1a sesión problema profesional comunicación reflexión – Descripción – Información reflexión – Información – Confrontación reflexión – Reconstrucción reflexión – Descripción – Información reflexión – Información – Confrontación reflexión – Reconstrucción 1a sesión guión de la clase comunicación Integración y transformación preparación de la clase Integración y transformación clase trabajo memoria reflexión – Reconstrucción LOS ESTUDIANTES SE RELACIONAN CON EL CONOCIMIENTO PRÁCTICO-PROFESIONAL Y DIDÁCTICO MATEMÁTICO nueva práctica INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 8ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) A partir de un análisis de las cuestiones de los estudiantes y la manera en que se han visto implicados en ellas (Flores, 2000), se ha diseñado un proceso formativo, tratando de generar un ciclo de refl exión en cada sesión de trabajo, con cada grupo de estudiantes de la asignatura. La refl exión permite profundizar en la cuestión que han seleccionado. En la fi gura 1 se presenta un esquema que recoge las intenciones formativas en relación con el ciclo de Smyth y los diferentes momentos que se producen de interacción entre el grupo de estudiantes y el formador. La investigación que presentamos consiste en el análisis de este proceso formativo en el que el investigador ha actuado como observador participante. 3.2. Objetivos de investigación El objetivo general de la investigación es analizar y caracterizar el proceso de refl exión de los estudiantes de la asignatura de Prácticas de Enseñanza, en un módulo de formación que trata de que profundicen sobre cuestiones profesionales prácticas del profesor de matemáticas. De acuerdo con las dimensiones establecidas del constructo refl exión, esto se concreta en describir las ideas y creencias, dónde sitúan la autoridad y con qué criterio la atribuyen, y qué constituyen situaciones problemáticas para un grupo de estudiantes (Peñas, 2002). 3.3. Metodología de la investigación Al considerar como principal objetivo la comprensión de los fenómenos, desde una concepción múltiple de la realidad, estando interrelacionados el investigador y el objeto de la investigación, esta investigación se realiza desde el paradigma cualitativo (Colás, 1998), con un carácter interpretativo (Gutiérrez, 1999). El diseño de la investigación interpretativa debe ser abierto y fl exible, siendo la observación y análisis de la realidad los que aportan los datos necesarios para la delimitación de qué investigar y para la planifi cación del proceso. Además, la muestra se va ajustando al tipo y cantidad de información que en cada momento se precisa. En nuestro trabajo la muestra es un grupo de cinco estudiantes, del que hemos realizado un estudio de caso, el cual constituye uno de los métodos más característicos de este enfoque (Colás, 1998). El análisis de la refl exión de los estudiantes se basa en la observación participante y el análisis de contenido de sus producciones. Además, en el proceso de una investigación interpretativa como la realizada aquí, es imprescindible la triangulación (Cohen y Manion, 1989). En nuestro caso se ha realizado triangulación mediante la presencia de varios observadores en la clase que imparten los estudiantes y por medio de una doble recogida de datos, empleando dos instrumentos, el análisis de la grabación en audio y el análisis de parrillas de observación cumplimentadas por varios observadores. En el cuadro I se presentan los instrumentos de recogida de información diferenciados según su origen. El proceso investigador analiza la información recogida en los distintos momentos del proceso formativo. Por ello en estos momentos presentamos las dimensiones que pretendemos estudiar. Tal como hemos señalado, para analizar la refl exión, hemos grabado en audio los seminarios formativos en los que los estudiantes defi nen la cuestión profesional y preparan una clase para impartirla a sus compañeros, así como la clase que fi nalmente llevaron a cabo. Igualmente recogimos una serie de documentos en los que se refl ejaba su diseño de clase y las opiniones sobre la misma. Posteriormente hemos realizado un análisis de contenido de estos documentos. Para ello hemos trascrito las grabaciones, con lo que hemos convertido todos los datos en documentos de texto. Estos escritos los hemos descompuesto en párrafos que encierran un desarrollo completo de ideas sobre las dimensiones que se van a analizar, con lo que estos párrafos constituyen las unidades de contenido. La visión global de los sucesos acaecidos durante el proceso de refl exión es una primera toma de contacto con la información, que es completada con un análisis de contenido atendiendo a unidades de información más precisas, para lo cual será necesario defi nir nuevas categorías de las dimensiones que a continuación vamos a describir y que utilizamos en nuestro estudio. PROCESO FORMATIVO (Secuenciación temporal) PROCESO INVESTIGADOR Instrumentos Procedimientos Variables Derivados de las producciones de los estudiantes Derivados de la observación participante Primer seminario Grabación de audio Registro de las tareas Pizarra de las sesiones Anotaciones del investigador Diario del investigador Análisis de contenido Ideas Creencias Autoridad Situaciones problemáticas Segundo seminario Clase Grabación de audio Rejilla de observación Memoria Trabajo fi nal de los estudiantes Cierre Cuestionario de valoración del módulo Cuadro I Instrumentos de recogida de datos según el momento del proceso formativo. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 9 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) Figura 2 Esquema de referentes empleados. 3.4. Dimensiones para el estudio de la refl exión La refl exión no es una predisposición natural, no es algo que se crea espontáneamente y, si no existe un compromiso para la refl exión en la estructura y en la base de los programas de formación, la disposición a refl exionar puede ser esporádica y superfi cial. Cómo crear estrategias de formación que favorezcan los procesos refl exivos en torno a situaciones de la práctica parece una cuestión clave en la formación inicial. La intención investigadora es analizar el proceso de refl exión de un grupo de estudiantes en un módulo formativo. Para ello prestamos especial atención al cómo refl exionan los estudiantes y al grado de refl exión que alcanzan, para lo cual necesitamos referentes que aclaren lo que ocurre. Analizaremos la refl exión atendiendo a las ideas con respecto a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas que manifi estan los estudiantes, a las creencias que podemos inferir de dichas ideas y que el formador comparte con ellos durante el proceso, a quién conceden la autoridad en su relación con el conocimiento profesional y a las características de la cuestión seleccionada (Fig. 2), prestando especial interés a los esquemas de desarrollo intelectual y la estructuración de las creencias como los dos elementos fundamentales a la hora de analizar el proceso refl exivo de los estudiantes (Peñas, 2002). La importancia que concedemos a estos dos últimos referentes proviene de su idoneidad para describir cómo los estudiantes refl exionan y el grado de refl exión que alcanzan. Los esquemas de desarrollo intelectual (Perry, 1970; Cooney, 1999) nos dan una idea de cómo el estudiante se relaciona con el conocimiento y su capacidad para profundizar, precisar y comprender las cuestiones que necesita responder. Cooney (1999, 2001) hace uso de este esquema, incorporando la estructuración de las creencias (Green, 1971) en un intento de comprender las distintas posiciones de los estudiantes durante la refl exión sobre problemas profesionales. La forma en que Green (1971) analiza la estructura de creencias permite a Cooney (2001) percibir cómo el estudiante se relaciona con la cuestión y pone en duda sus creencias, en el proceso de refl exión. A continuación profundizamos en los referentes utilizados para caracterizar la refl exión de nuestros estudiantes. 3.4.1. Ideas y creencias La fase de información del ciclo formativo implica que los estudiantes «informen» sobre el problema, es decir, analicen los elementos implicados, se distancien del problema y sean conscientes de sus ideas y creencias acerca de la enseñanza y aprendizaje, ya que éstas se convierten en el fi ltro a través del cual perciben el problema. Distinguimos entre ideas y creencias en este trabajo siguiendo el análisis de Ortega y Gasset (1986), quien distingue entre ocurrencias y creencias. «Las ideas-ocurrencias podemos decir que las producimos, las sostenemos, las discutimos, las propagamos, combatimos en su pro y hasta somos capaces de morir por ellas. Lo que no podemos es... vivir de ellas. Son obra nuestra y, por lo mismo, suponen ya nuestra vida, la cual se asienta en ideas-creencias que no producimos nosotros, que, en general, ni siquiera nos formulamos y que, claro está, no discutimos ni propagamos ni sostenemos. Con las creencias propiamente no hacemos nada, sino que simplemente estamos en ellas. [...] En efecto, en la creencia se está, y la ocurrencia se tiene y se sostiene. »Hay, pues, ideas con que nos encontramos –por eso las llamo ocurrencias– e ideas en que no nos encontramos, que parecen estar ahí ya antes de que nos ocupemos de pensar [creencia].» (p. 25) Por tanto, designaremos con el término idea todo aquello que el estudiante produce durante el estudio de la cuestión y que es sujeto de debate. Nuestros estudiantes llegan con unos conocimientos fruto de la relación entre sus creencias y sus experiencias. El conocimiento experiencial infl uye y es fi ltrado por las creencias (Llinares, 2002). Si las experiencias están en consonancia con creencias ya existentes, éstas pueden afi anzarse. Pero también pueden existir contradicciones entre la experiencia y las creencias, lo que podrá generar una modifi cación de las creencias existentes o la aparición de nuevas creencias que pueden coexistir con las existentes si éstas permanecen aisladas. Cuanto mayor sea el número y la importancia de las experiencias que refuercen y no supongan contradicciones con nuestras creencias, más se consolidarán dichas creencias (creencias centrales). La existencia de contradicciones entre experiencias y creencias dará lugar a dudas y dichas dudas generarán ideas en el individuo. La red de conocimiento experiencial de los estudiantes de nuestro caso con respecto a la enseñanza se limita a su papel como alumnos. Esta falta de vivencias docentes da lugar a que no se hayan encontrado experiencias inconsistentes con sus creencias, que le provoquen dudas y que den lugar a la generación de nuevas ideas (Peñas, 2002). Ante una duda o cuestión, el estudiante puede hacer uso del conocimiento experiencial que da lugar a ideas (ocurrencias según Ortega y Gasset, 1986), ideas que no están arraigadas y que el estudiante intenta sostener, defender... Pero la refl exión no es una mera sucesión de ideas («pensar», Dewey, 1933): para que exista refl exión, las ideas deben surgir con la intención de responder a las dudas que van apareciendo. NIVELES DE REFLEXIÓN autoridad cuestiones problemáticas esquemas de desarrollo intelectual ideas y sistemas de creencias INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 10 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) Esas ideas deben ser sometidas al proceso de confrontación y toma de conciencia de las creencias, implícitas en ellas. Al manifestarse las creencias, el estudiante trata de relacionarlas con sus ideas y comprobar la consistencia de estas últimas; es decir, el proceso de refl exión supone establecer conexiones entre las creencias y entre éstas y las ideas, de manera que haya una mejor comprensión de la experiencia. Si en todo este proceso de relación entre creencias e ideas propias éstas se relacionan con conocimiento profesional relativo a la experiencia, el estudiante puede incorporar ese conocimiento como meras ideas. Cuando se fundamenta la relación con este conocimiento, se dirá que el estudiante dispone de ese conocimiento profesional. 3.4.2. Situaciones problemáticas Ante las situaciones que percibe el estudiante en su experiencia práctica pueden acontecer diversas reacciones. Queremos destacar qué situaciones despiertan en el estudiante la necesidad de buscar una solución, pero también el proceso de refl exión que emprenden sobre ella. Para clasifi car el tipo de problema y el proceso de refl exión, vamos a utilizar la siguiente caracterización de Van Manen (1977) de los niveles de refl exión: • Racionalidad técnica. La refl exión se basa en la aplicación efi caz, en el ámbito del aula, de las habilidades y conocimientos técnicos así como de la selección y el uso adecuado de estrategias didácticas. • Acción práctica. La refl exión presta atención a cómo se produce la interacción entre los individuos. • Refl exión crítica. La refl exión del profesor se centra en el cuestionamiento de los criterios morales, éticos y normativos relacionados directa o indirectamente con el aula. El que nuestros estudiantes se plantean cuestiones de tipo crítico atendiendo a la clasifi cación de Van Manen (1977) no supondría necesariamente una mayor refl exión si no existe una vuelta al plano de la práctica docente, pues, si bien habrían sido capaces de distanciarse de la tecnología de la práctica, no habrían sido capaces de reconstruirla desde una perspectiva real. Consideramos que existe una trayectoria de refl exión deseable en el desarrollo profesional de profesores, que está relacionado con la tipología de Van Manen (1977). De acuerdo con ella, esta trayectoria de refl exión hipotética parte de una cuestión técnica y, a raíz de sucesivos distanciamientos del estudiante de la situación inicial, da lugar a cuestiones de carácter práctico y en un último nivel crítico. Desde este último nivel, el docente o el estudiante en formación debe ser capaz de trazar un plan de acción que le permita volver a la práctica para detectar nuevas cuestiones y volver a realizar el proceso (Peñas, 2003). Aunque el proceso de refl exión puede llevarse a cabo en los distintos niveles, la capacidad de refl exión es mayor en aquellos individuos que son capaces de establecer relaciones entre las diversas cuestiones (técnica, práctica y crítica). En este sentido se establecen dos dimensiones que nos ayudan a establecer la profundidad de la refl exión (Cuadro II): a) la capacidad de relacionar y tomar en consideración elementos que pertenecen a un mismo nivel; y b) la capacidad de relacionar y tomar en consideración elementos que pertenecen a distintas formulaciones de la cuestión en distinto nivel. Es decir, esta refl exión tiene que analizar si el estudiante relaciona «cómo enseñar ecuaciones» con «para qué enseñar ecuaciones» y con «qué efecto emancipador tiene el resolver ecuaciones». Pero también debe analizar si el estudiante profundiza en una cuestión técnica, «cómo enseñar ecuaciones» o sí se plantea una cuestión crítica pero realiza un análisis superfl uo de dicha cuestión. 3.4.3. Caracterización basada en la autoridad En el proceso de generar ideas y relacionarlas con las creencias, los sujetos se dejan infl uenciar por su experiencia pero también por a quién conceden y dónde sitúan la prioridad de convicción, es decir, a qué acontecimientos o sujeto le atribuyen autoridad para establecer la validez de las ideas. Por tanto, otro aspecto a tener en cuenta, en los procesos de refl exión, es el papel de la autoridad y dónde o en quién situamos dicha autoridad. La importancia del papel de la autoridad reside en la disposición del individuo a considerar perspectivas diferentes a las propias dependiendo de su origen o naturaleza. Cooney desarrolla en varios trabajos (Cooney et al., 1998; Cooney y Shealy, 1997; Cooney, 1994, 1999, 2001) una caracterización de profesores de matemáticas basándose en la teoría de desarrollo de Perry (1970), el trabajo de Belenchy y otros (1986), el desarrollo epistemológico de Baxter (1992) y el estudio sobre la estructura de las creencias de Green (1971). Su foco de atención es el cambio de los profesores y la relación que establecen con la autoridad. Desde esta perspectiva y a raíz de muchos años de trabajo con estudiantes y profesores en ejercicio, Cooney caracteriza a los profesores de matemáticas según cuatro tipologías: aislacionista, idealista ingenuo, conexionista ingenuo y conexionista refl exivo. Para poder diferenciar la refl exión de nuestros estudiantes, hemos analizado las variables consideradas (ideas, creencias y autoridad), generando una tabla que detalla los aspectos que diferencian cada uno de las tipologías de Cooney, y que sintetizamos en el cuadro III (Peñas, 2002). Todos estos referentes, ideas y creencias, autoridad y situaciones problemáticas utilizados para analizar la refl exión y que se refl ejan en el cuadro III nos permitirán caracterizar a nuestros estudiantes según las tipologías establecidas por Cooney (2001) y el proceso de refl exión que llevan a cabo sobre las distintas cuestiones profesionales surgidas de su experiencia en el periodo de prácticas. Cuadro II Situaciones problemáticas. PROFUNDIDAD PROFUNDIDAD Distinto nivel Mismo nivel ⫺⫹ ⫹ Técnica Práctica Crítica TIPO DE CUESTIÓN INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 11 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) AISLACIONISTA IDEALISTA INGENUO CONEXIONISTA INGENUO CONEXIONISTA REFLEXIVO IDEAS Estructura Separadas Separadas Algo relacionadas Relacionadas Evidentes Autoridad interna. Rechaza la evidencia empírica no consistente con sus ideas Autoridad interna y externa Comparación de autoridades externa e interna Pensamiento refl exivo No evidentes Autoridad externa Autoridades externas Comparación de autoridades externa e interna Pensamiento refl exivo Ideas propias Se mantienen fi rmes No incorpora, una más Relaciona y compara Relaciona, compara e integra Ideas nuevas Sólo admite las consistentes con sus creencias No rechaza, pero tampoco analiza No rechaza, pero compara con las propias No rechaza, analiza las diferencias e integra Actitud Sostiene sus ideas Todas son válidas, no hay tensiones No realiza esfuerzo para resolver las tensiones identifi cadas Realiza esfuerzo para resolver las tensiones CREENCIAS Creencias propias Poca capacidad crítica Poca capacidad crítica Poca capacidad crítica, se conforma con que no sean incompatibles Capacidad crítica Creencias ajenas Rechaza No rechaza No rechaza No rechaza Diferencia entre creencias No hay confl icto, sólo válidas las suyas No hay confl icto, todas valen Hay confl icto, pero no resuelve las diferencias Hay confl icto, intenta resolver las diferencias Inconsistencia en sus propias creencias No percibe inconsistencia No percibe inconsistencia Se percata de inconsistencias, pero no resuelve Se percata de la inconsistencia en sus creencias e intenta resolverlas Cambio de creencias Difi cultad para cambiar creencias periféricas Permeabilidad, creencias periféricas, desde una autoridad externa Permeabilidad de creencias periféricas Permeabilidad de creencias periféricas Imposibilidad de cambio de creencias centrales Imposibilidad de cambio, creencias centrales Difi cultad de cambio de creencias centrales Permeabilidad de creencias centrales AUTORIDAD Interna Fuerte, supeditada a una autoridad externa Débil Débil Fuerte, condicionada a la refl exión Externa Autoridad = Verdad absoluta Única autoridad Autoridad = Verdad Múltiples autoridades No existe autoridad Relaciona las distintas opciones con las propias. La autoridad se concede a la coherencia SITUACIONES PROBLEMÁTICAS Únicamente interesan las situaciones para las que hay una sola respuesta correcta Concibe el conocimiento como no problemático Percibe situaciones problemáticas, pero no resuelve Percibe las situaciones problemáticas y las asume para resolver mediante el pensamiento refl exivo Se compromete en la búsqueda de solución acorde con sus creencias Delegan el compromiso en la autoridad Delegan el compromiso en el relativismo de soluciones Compromiso con la búsqueda de soluciones Cuadro III Reinterpretación de la caracterización de Cooney (1999). INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 12 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) 4. DESARROLLO Y ANÁLISIS DE LA EXPERIENCIA La investigación que presentamos se realizó en el curso 2001-2002. En ese curso un grupo de estudiantes trataron la cuestión ¿Qué matemáticas se pueden enseñar en la ESO con el tangram? con la intención de centrarse en el contenido matemático «geometría plana». En el siguiente apartado analizaremos el nivel de refl exión de nuestros estudiantes, para lo cual utilizaremos las dimensiones anteriormente citadas: a) ideas, b) creencias, c) autoridad y d) situaciones problemáticas. 4.1. Análisis de la refl exión que se produce en las distintas fases del módulo Para estudiar la refl exión de los estudiantes, hemos procedido a realizar un análisis de contenido de las transcripciones de las sesiones de trabajo y de las producciones de los estudiantes (Cuadro I). Además de estos instrumentos también se ha procedido, en diferentes momentos del módulo, siguiendo las sugerencias de Villar (1995), a la realización de tareas que permitían que los estudiantes pusiesen por escrito sus refl exiones individuales a las diferentes cuestiones que surgían fruto del proceso de refl exión. El posterior análisis del contenido de las grabaciones de audio y los registros escritos nos han permitido describir e interpretar la refl exión de los estudiantes atendiendo a las variables mencionadas. 4.1.1. Ideas Para identifi car las ideas de los estudiantes hemos codifi - cado y agrupado sus intervenciones para posteriormente discernir qué unidades correspondían al debate sobre una misma cuestión y cuáles precisaban o completaban los argumentos de los estudiantes. En el cuadro IV resumimos las ideas que manifi estan los estudiantes durante el proceso y las unidades que corresponden a cada una (las unidades se codifi can atendiendo al orden de aparición). IDEAS Código de unidades1 Primer seminario ■ Los juegos nos parecen interesantes para la enseñanza. 3 ■ Se puede explicar y después jugar, o jugar y después explicar. 5, 37, 62, 125, 126, 130, 140, 142 ■ Se pueden utilizar muchos juegos en la enseñanza. 37 ■ Juegos en la enseñanza: ❍ Ventajas: para motivar, para ejercitar, para introducir, para enseñar de una manera diferente. ❍ Desventajas: provocan competitividad, no atienden a la diversidad del aula, no son para todas las edades, ni para todos los contenidos, ni para explicar conceptos, confunden al alumno, requieren más tiempo, es difícil enseñar con juegos. 31, 37, 60, 76, 125, 139, 37, 45, 46, 60, 69, 73, 76, 143, 203, 204 ■ Lo importante es explicar. 62, 126, 130, 140, 142, 150, 153 ■ No basta explicar para aprender. 209 ■ Es mejor que los alumnos adquieran más protagonismo en su aprendizaje. 210 ■ Los juegos atienden a diferentes formas de aprender. 307, 311, 322, 323 ■ Se puede explicar con juegos. 393, 417, 419 Segundo seminario ■ Juegos en la enseñanza: ❍ Ventajas: para explicar conceptos, para motivar, ayudan a aprender, para enseñar de manera distinta, para divertir, para todo el proceso de enseñanza-aprendizaje. ❍ Desventajas: no sabemos si se pueden utilizar para todos los temas. 72, 102, 141, 193, 195 167, 169 ■ Cada uno decidirá si es posible o no dar clase con juegos. 117 ■ Con juegos se puede enseñar. 173 ■ El profesor no debe decir sus intenciones. 256 Clase ■ Nos gustan los juegos para enseñar. ■ Ventajas: para motivar, provocan ambiente distendido, enseñar conceptos (polígono, semejanza...), introducir, para todo el proceso. ■ Desventajas: Necesidad de trabajarlo mucho el profesor. ■ Juegos para 1º y 2º ESO Trabajo ■ Ventajas de enseñar con juegos: para motivar, para divertir, provocan curiosidad, una actitud favorable y conceden mayor protagonismo al alumno. ■ Se puede hacer una enseñanza con juegos. Cuadro IV Ideas de los estudiantes durante el proceso. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 13 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) 4.1.2. Creencias Las creencias de los estudiantes sobre las matemáticas, su enseñanza y aprendizaje se manifi estan a lo largo de todo el proceso. Durante la fase de información, el formador escribe en la pizarra algunas de estas creencias, y provoca el debate sobre ellas. Este momento en que se hacen explícitas a los estudiantes sus posibles creencias se convierte en fundamental porque nos permite percibir sus reacciones. Para identifi car las creencias buscamos las ideas que persisten en varias unidades de análisis y los principios en los que se basan esas ideas, aunque los estudiantes no los expliciten. Cuando el formador incorpora al debate las que él considera como creencias del grupo, en el análisis de contenido podemos percibir el grado de acuerdo de los estudiantes con esas creencias. Para analizar la evolución de las creencias más representativas a lo largo del proceso no sólo identifi camos las creencias explicitadas durante el mismo sino también aquéllas que inferimos de las ideas manifestadas por los estudiantes y de su actitud ante las tareas, la planifi cación y la puesta en marcha de la clase a sus compañeros. Estas creencias las recogemos en el cuadro V y, para su análisis, distinguimos los momentos en que son percibidas y su evolución en las distintas fases del proceso. Podemos observar que se mantienen algunas de las creencias de los estudiantes durante todo el módulo a la vez que se aprecian nuevas creencias derivadas de las interacciones entre los estudiantes y el formador. 4.1.3. Autoridad Siguiendo a Cooney (1999), vamos a analizar la disposición del estudiante al considerar perspectivas diferentes a las propias dependiendo de su origen y naturaleza. En determinados instantes ellos pueden considerarse a sí mismos con capacidad para juzgar la pertinencia de sus ideas (autoridad interna). En otros momentos delegan la autoridad en otras personas (autoridad externa). Otro factor relacionado con la autoridad consiste en las razones que llevan al estudiante a elegir dicha autoridad. Es diferente que los estudiantes acepten ideas por evidencia empírica, por la existencia de argumentos consensuados, por el prestigio que se concede a quien se delega la autoridad, por la refl exión realizada por el sujeto, etc. CREENCIAS INFERIDAS Primer seminario ■ El profesor organiza los contenidos de aprendizaje y los transmite mediante exposición, utilizando estrategias organizativas o expositivas que procura que sean atractivas. ■ La enseñanza requiere la repetición sucesiva de ejercicios tipo. ■ El profesor procura utilizar estrategias organizativas o expositivas que sean atractivas. ■ La enseñanza se basa en la explicación y transmisión verbal, clara y precisa de los contenidos. ■ El alumno adquiere conocimientos porque el profesor se los presenta. ■ La explicación hace que se enseñe en menos tiempo y con menos esfuerzo. ■ El alumno debe ser un sujeto activo en el proceso de enseñanza-aprendizaje. ■ El profesor debe atender a las diferentes capacidades y necesidades de los alumnos. Segundo seminario ■ El profesor considera importante que los alumnos utilicen diversidad de recursos didácticos. ■ El profesor debe utilizar estrategias organizativas o expositivas que procura que sean atractivas. ■ La explicación hace que se enseñe en menos tiempo y con menos esfuerzo. ■ El profesor tiene el control del proceso de enseñanza-aprendizaje. El alumno no participa en su organización. Clase ■ El profesor utiliza estrategias organizativas o expositivas que procura que sean atractivas. ■ El profesor considera importantes los juegos. ■ La explicación hace que se enseñe en menos tiempo y con menos esfuerzo. Trabajo ■ El profesor utiliza estrategias organizativas o expositivas que procura que sean atractivas. ■ El alumno debe ser un sujeto activo en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Cuadro V Evolución de las creencias de los estudiantes.